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专题二十九 直线的方程
知识归纳
一、直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
二、直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于轴的直线
斜截式 不含垂直于轴的直线
两点式 不含直线和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
3．求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，
则，此公式为线段的中点坐标公式．
5．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
典例分析
题型一、倾斜角与斜率的计算
【例1-1】（多选题）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【答案】ACD
【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误.
【例1-2】过点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为．
【例1-3】若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于、、三点共线，则，即，解得.
【例1-4】如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由斜率的定义可知，.
【例1-5】若，且为第二象限角，则角的终边落在直线（ ）上.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由为第二象限角可得，则，
则角的终边落在直线即上.
【例1-6】已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由直线的方程为，所以，
即直线的斜率，由.
所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.
【例1-7】设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线的方程是倾斜角为，
当时，直线的斜率不存在，则；当时，.
若，则，求得；
若，则，求得.
综上可得，的取值范围为.
【例1-8】已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______．
【答案】 或.
【解析】由题易知直线l的斜率存在，故.
则，
当且仅当，即时，等号成立.
所以或，即直线l的倾斜角的取值范围是或.
故答案为：；或.
【例1-9】已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线方程变形得：.
由得，∴直线恒过点，，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，
∴或，即或，
又时直线的方程为，仍与线段相交，
∴的取值范围为.
【例1-10】已知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】如图，作出直线及，
它们的交点为，
直线上满足的点在点右下方，
，又直线的斜率为，，
由图可得的范围是．
故答案为：．
【例1-11】点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为点在函数的图象上，所以时， ；当时，；
故设 ，而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率，
故时，,而 ,所以
【例1-12】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，两直线平行，无交点，不合题意，故，
由，得，则两直线的交点为，
依题意得，解得，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
【例1-13】，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线方程为，
则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，
则，解得，即，，
同理可得：点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，
则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.故选：D
【例1-14】（多选题）已知直线：，直线：，过点的直线与，的交点分别为.且，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，且直线与直线之间的距离.
设直线的倾斜角为，斜率，所以，
又，所以直线的倾斜角为或.
当直线的倾斜角为时，设斜率为，
则，
所以直线的方程为，即；
当直线的倾斜角为时，设斜率为，
则.
所以直线的方程为，即.故选：AC.
题型二、直线的方程
【例2-1】下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两点的直线都可以用方程表示；
③不经过原点的直线都可以用方程表示；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
【答案】1
【解析】①由于直线过定点，当直线斜率存在时，可用方程表示，
当直线斜率不存在时，方程是，①不正确；
②当时，经过任意两个不同的点的直线方程是，满足方程，
当时，经过任意两个不同的点的直线的斜率是，
则直线方程是，整理得，②正确；
③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是，不可以用方程表示，
当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程表示，③不正确；
④当直线斜率不存在时，经过点的直线方程是，不可以用方程表示，
当直线的斜率存在时，经过点的直线可以用方程表示，④不正确，
所以给定的4个命题中，真命题只有1个.
【例2-2】过两点和的直线在y轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知直线方程为：，即，
令x=0，则，故直线在y轴上的截距为.
【例2-3】已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把坐标代入两条直线和,得,,
,过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
【例2-4】已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【答案】D
【解析】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
【例2-5】已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．
【答案】
【解析】由题意得直线恒过定点，且斜率为，
∵直线不通过第一象限，∴，解得，
故实数的取值范围是．
【例2-6】直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因为直线经过第一、二、四象限，则该直线的斜率，可得，
该直线在轴上的截距，可得.
故选：C.
【例2-7】（多选题）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，
当截距不为0时，设直线方程为，可得，
∴，所以直线方程为.
【例2-8】（多选题）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】若直线过原点，则直线的方程为，
将点代入得，所以直线方程为，即；
若直线不过原点，根据题意，设直线方程为，
将点代入得，故直线的方程为；
所以直线的方程为：或．
【例2-9】已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为.
【例2-10】过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．
【答案】x＋4y－4＝0
【解析】
设l1与l的交点为A(a,8－2a)，求得关于的对称点坐标，利用对称点在直线上求得，即得点坐标，从而得直线方程．
【详解】
设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
故答案为：x＋4y－4＝0.
题型三、直线的平行与垂直问题
【例3-1】已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，
即，即，整理可得，
所以，
当且仅当时，等号成立；因此的最小值为.故选：D
【例3-2】是直线与直线垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线垂直，
则，解得或，
所以由能够推出两直线垂直，故充分性成立；
由两直线垂直得不到，故必要性不成立，
故是直线与直线垂直的充分不必要条件.
【例3-3】若直线与直线平行，其中、均为正数，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】由已知两直线平行可得，则，
因为、均为正数，利用基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
【例3-4】函数在处的切线与直线平行，则a＝______．
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以函数在处的切线斜率为，
因为该切线与直线平行，故，解得
题型四、两直线的夹角问题
【例4-1】直线与的夹角为________．
【答案】
【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，所以，
又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为.
【例4-2】两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________．
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，
且由解得两直线的交点坐标为，
所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．
∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．
【例4-3】已知直线，，若直线l过且与直线m n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】根据题意，设直线的斜率为，
直线，，两直线相交于点，
设，点在直线上，直线与直线相交于点，
为等腰锐角三角形，则，则，
故必为顶点，必有，则有，必有，解可得：或，
则．
【例4-4】若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ）
A．或2 B．或3 C．或4 D．或5
【答案】C
【解析】因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，即，
设其倾斜角为，则，
因为斜边与直角边的倾斜角相差45°，则斜边的倾斜角为或，
所以，，
所以斜边所在直线的斜率为或4．
题型五、直线过定点问题
【例5-1】直线经过的定点坐标是______．
【答案】
【解析】把直线的方程改写成：，
由方程组，解得：，所以直线总过定点.
【例5-2】已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．
【答案】
【解析】由已知得，代入直线得，即，
由，解得，直线必过定点.
【例5-3】对任意的实数，，直线恒经过的一个定点的坐标是________．
【答案】
【解析】由直线整理得
对任意的实数，，直线恒经过的一个定点.
所以，解得
由点代入直线，
满足
所以点在直线上，
即直线恒过定点
【例5-4】已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】由，得．
∴直线恒过定点，即，
∵点A在直线上，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号．∴的最小值为：8．
【例5-5】已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，故，整理得到：，故定点为：.
【例5-6】已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
【解析】
则直线过定点
设直线与直线交于点，与轴交于点，
依题意为中点在中,
令，则，即
所以，
即，将其代入直线中可得
解之得
题型六、轨迹方程
【例6-1】直线＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是________．
【答案】x＋y＝1(x≠0，x≠1)
【解析】
【详解】
直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0,2－a)，
设AB的中点为M(x，y)，
则x＝，y＝1－，
消去a，得x＋y＝1．
∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1．
【例6-2】在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．
【答案】
【解析】由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．
【例6-3】直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，且λ+μ＝1，
得，
∴，即，则C、A、B三点共线．
设C（x，y），则C在AB所在的直线上，
∵A（2，1），B（4，5），
∴AB所在直线方程为 ，整理得：．
故的轨迹方程为：．
例61．（2022·全国·高三专题练习）过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程.
【解析】设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形，
化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程.
综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.
题型七、直线与坐标轴围成的三角形问题
【例7-1】在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（ ）
A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条
B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条
C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条
D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条
【答案】A
【解析】由题意，直线与轴、轴交点分别为，，
∴，作出其图象如图所示，
由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解.
【例7-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
【例7-3】已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．
(1)试用k来表示点M和N的坐标；
(2)求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；
(3)当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．
【解析】(1)由已知得直线l斜率存在，设．
由，得；又，所以.
由，得．
(2).
(3)设，则．
，
当且仅当时，等号成立．
【例7-4】直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)求的最小值及此时直线l的方程.
【解析】(1)设直线，且
∵直线过点
则
当且仅当即时取等号
所以的最小值为，
直线1即.
(2)由
∴，
当且仅当即时取等号，
∴此时直线,
故的最小值为9，此时直线l的方程.
【例7-5】设直线的方程为．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程；
(2)若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．
【解析】(1)对于直线的方程为，
当直线经过原点时，，求得，此时它的方程为；
当直线不经过原点时，它的方程即，由于它两坐标轴上的截距相等，
故有，求得，它的方程为，
综上可得，的一般式方程为，或．
(2)因为，令，则，令，则，所以，，
与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，
的横坐标，的纵坐标，求得．
所以
，当且仅当时取等号，
故为坐标原点）面积的最小值为6．
【例7-6】过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点．
(1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程．
【解析】(1)根据题意可设直线l的方程为,则,
直线l过点,,
又(当且仅当,即时取等号),
,即,
的最小值为8,此时直线l的截距式方程为.
(2)由（1）可知,,则,
(当且仅当,即时取等号).
的最小值为4,此时直线l的截距式方程为.
【例7-7】已知，为实数，过原点分别作直线，的垂线，垂足分别为， .
（1）若，且直线与轴、轴交于,两点，当面积最小时，求实数的值；
（2）若直线过点，设直线与的交点为，求证：点在一条直线上.
【解析】（1）
直线，
令，
令，
，
，
当时，，
面积最小时，实数的值为；
（2）原点的直线距离为，
同理原点的直线距离为，所以为圆的切线，
为切点，直线过点，且直线与相交于，
不在轴上，设，
所以直线化为，整理得，
同理方程为，设与的交点为，
所以有，
所以直线方程为，且过点，
，即点在直线上.
【例7-8】已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以经过的定点坐标；
（2）直线：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面积
，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
此时直线的方程为：即；
②设直线的倾斜角为，则，可得，，
所以，
令，
因为，可得，，
，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以
，所以，此时，
可得，所以，
所以直线的方程为.
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专题二十九 直线的方程
知识归纳
一、直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
二、直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于轴的直线
斜截式 不含垂直于轴的直线
两点式 不含直线和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
3．求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，
则，此公式为线段的中点坐标公式．
5．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
典例分析
题型一、倾斜角与斜率的计算
【例1-1】（多选题）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【例1-2】过点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C．1 D．
【例1-3】若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【例1-5】若，且为第二象限角，则角的终边落在直线（ ）上.
A． B． C． D．
【例1-6】已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-7】设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-8】已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______．
【例1-9】已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例1-10】已知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______．
【例1-11】点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-12】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例1-13】，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例1-14】（多选题）已知直线：，直线：，过点的直线与，的交点分别为.且，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型二、直线的方程
【例2-1】下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两点的直线都可以用方程表示；
③不经过原点的直线都可以用方程表示；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
【例2-2】过两点和的直线在y轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【例2-5】已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．
【例2-6】直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例2-7】（多选题）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【例2-8】（多选题）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-9】已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【例2-10】过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．
题型三、直线的平行与垂直问题
【例3-1】已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
【例3-2】是直线与直线垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【例3-3】若直线与直线平行，其中、均为正数，则的最小值为______．
【例3-4】函数在处的切线与直线平行，则a＝______．
题型四、两直线的夹角问题
【例4-1】直线与的夹角为________．
【例4-2】两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________．
【例4-3】已知直线，，若直线l过且与直线m n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【例4-4】若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ）
A．或2 B．或3 C．或4 D．或5
题型五、直线过定点问题
【例5-1】直线经过的定点坐标是______．
【例5-2】已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．
【例5-3】对任意的实数，，直线恒经过的一个定点的坐标是________．
【例5-4】已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【例5-5】已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-6】已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
题型六、轨迹方程
【例6-1】直线＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是________．
【例6-2】在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．
【例6-3】直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
例61．过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程.
题型七、直线与坐标轴围成的三角形问题
【例7-1】在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（ ）
A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条
B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条
C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条
D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条
【例7-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．
(1)试用k来表示点M和N的坐标；
(2)求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；
(3)当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．
【例7-4】直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)求的最小值及此时直线l的方程.
【例7-5】设直线的方程为．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程；
(2)若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．
【例7-6】过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点．
(1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程．
【例7-7】已知，为实数，过原点分别作直线，的垂线，垂足分别为， .
（1）若，且直线与轴、轴交于,两点，当面积最小时，求实数的值；
（2）若直线过点，设直线与的交点为，求证：点在一条直线上.
【例7-8】已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
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