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专题三十一 直线与圆、圆与圆的位置关系
知识归纳
一、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二、直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
三、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
方法技巧与总结
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
典例分析
题型一、直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题）
【例1-1】已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【例1-2】（多选题）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与圆相离
B．若直线是圆的一条对称轴，则
C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为
D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为
【例1-3】（多选题）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B．存在圆经过点（3，0）
C．存在定直线始终与圆相切
D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则
【例1-4】（多选题）已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则直线恒过定点
B．若，则圆可能过点
C．若，则圆关于直线对称
D．若，则直线与圆相交所得的弦长为2
【例1-5】（多选题）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形面积的最小值为4
B．当直线的方程为时，最小
C．已知圆上有且仅有两点到直线l的距离相等且为d，则
D．若动直线，且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线纵截距的取值范围为
【例1-6】（多选题）已知圆的方程为，则（ ）
A．若过点的直线被圆截得的弦长为，则该直线方程为
B．圆上的点到直线的最大距离为
C．在圆上存在点，使得到点的距离为
D．圆上的任一点到两个定点、的距离之比为
【例1-7】（多选题）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是( )
A．圆的方程为：
B．弦AE的长度的最大值为
C．四边形ABEF面积的最大值为
D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点
【例1-8】若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值
范围 ．
【例1-9】已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.
【例1-10】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________.
【例1-11】在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______．
【例1-12】已知直线：和圆：.
（1）求圆的圆心、半径
（2）求证：无论为何值，直线总与圆有交点；
（3）为何值时，直线被圆截得的弦最短？求出此时的弦长.
【方法技巧与总结】
（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系．
（2）弦长问题
①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
题型二、直线与圆的相切关系、切点弦问题
【例2-1】过点与圆相切的直线是_________．
【例2-2】已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________.
【例2-3】已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________.
【例2-4】已知直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-5】过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______．
【例2-6】已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
【例2-7】已知直线是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【例2-8】已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
【例2-9】已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为__________.
【例2-10】设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（ ）．
A． B． C． D．2
【例2-11】已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-12】（多选题）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为 B．最大度数为60°
C．直线AB过定点 D．的最小值为
【方法技巧与总结】
（1）圆的切线方程的求法
①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
题型三、直线与圆的相离关系
【例3-1】由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
A． B． C． D．
【例3-2】已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为　 ．
【例3-3】已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为　 　．
【例3-5】（多选题）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为 ，则直线的方程为
D．的最小值是
题型四、圆与圆的位置关系
【例4-1】圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【例4-2】在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【例4-3】圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-4】已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.
【例4-5】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【例4-6】已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【例4-7】若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-8】已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4-9】已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【例4-10】下列方程中，圆与圆的公切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-11】图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为的圆的一段圆弧，且弧所对的圆周角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五、两圆的公共弦问题
【例5-1】圆与圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例5-5】已知圆与圆交于不同的，两点，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【例5-5】已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六、与圆有关的最值问题
【例6-1】若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【例6-3】在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【例6-4】若M，N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例6-5】已知实数满足.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题三十一 直线与圆、圆与圆的位置关系
知识归纳
一、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二、直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
三、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
方法技巧与总结
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
典例分析
题型一、直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题）
【例1-1】已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设圆的半径为，由可得，
因为是正三角形，所以点到直线的距离为
即，两边平方得，
【例1-2】（多选题）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与圆相离
B．若直线是圆的一条对称轴，则
C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为
D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】当时，直线：，圆心，半径，圆心到直线的距离，
所以直线与圆心相离，故A正确；
若直线是圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即，解得，故B正确；
当与圆相切时，取得最大值，只需此时，
即时，故圆心到直线的距离，解得，故C错误；
设的中点为，，则，，
故，
当且仅当且点在点正上方时，等号成立，故D正确．
【例1-3】（多选题）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B．存在圆经过点（3，0）
C．存在定直线始终与圆相切
D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则
【答案】ACD
【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径为2，
对于A，圆心为，其圆心在直线上，A正确；
对于B，圆，
将代入圆的方程可得，
化简得，，方程无解，
所以不存在圆经过点，B错误；
对于C，存在直线，即或，
圆心到直线或的距离，
这两条直线始终与圆相切，C正确，
对于D，若圆上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆与圆有两个交点，
圆心距为，则有，解可得：或，D正确．
【例1-4】（多选题）已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则直线恒过定点
B．若，则圆可能过点
C．若，则圆关于直线对称
D．若，则直线与圆相交所得的弦长为2
【答案】ACD
【解析】当时，点恒在上，故选项正确；
当时，将点代入，得，该方程无解，故选项错误；
当时，直线恒过圆的圆心，故选项C正确；
当时，与相交所得的弦长为2，故选项D正确.
【例1-5】（多选题）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形面积的最小值为4
B．当直线的方程为时，最小
C．已知圆上有且仅有两点到直线l的距离相等且为d，则
D．若动直线，且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线纵截距的取值范围为
【答案】ACD
【解析】四边形面积的最小值即为时，而，，所以，A正确；
当直线的方程为时，此时最小，最大，且为，B错误；
圆上点到直线l的距离取值范围为，除去最远以及最近距离外均有两点到直线的距离相等，即为，C正确；
设M到直线的距离为d，因为，且，所以，则，
设，即，所以，D正确．
【例1-6】（多选题）已知圆的方程为，则（ ）
A．若过点的直线被圆截得的弦长为，则该直线方程为
B．圆上的点到直线的最大距离为
C．在圆上存在点，使得到点的距离为
D．圆上的任一点到两个定点、的距离之比为
【答案】BD
【解析】圆的圆心为，半径为.
对于A选项，若过点的直线的斜率不存在，则该直线的方程为，
由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，
而圆心到直线的距离为，合乎题意.
若所求直线的斜率存在，设直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为.
综上所述，满足条件的直线的方程为或，A错；
对于B选项，圆心到直线的距离为，
因此，圆上的点到直线的最大距离为，B对；
对于C选项，记点，，即点在圆内，
且，如下图所示：
当、、三点不共线时，根据三角形三边关系可得
，即，
当、、三点共线且当点在线段上时，，
当、、三点共线且当点在线段上时，.
综上所述，，C错；
对于D选项，设点，则，即，
整理可得，即点的轨迹为圆，D对.
【例1-7】（多选题）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是( )
A．圆的方程为：
B．弦AE的长度的最大值为
C．四边形ABEF面积的最大值为
D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点
【答案】AD
【解析】设圆心为C，圆的半径为r，
由题可知，，
∴圆的方程为：，故A正确；
当AE过圆心C时，AE长度最长为圆的直径4，故B错误；
如图，线段AE、BF的中点分别为M、N，设，
则，
，，
，
∴时，四边形ABEF面积有最大值，故C错误；
∵四边形MDNC为矩形，则MN与CD互相平分，即MN过CD中点()，故D正确.
【例1-8】若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围__．
【答案】
【解析】由圆的标准方程，
可得圆心坐标为，半径为，
圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，
则圆心到直线的距离应不大于等于，即，
整理得，解得，
即实数的取值范围是.
【例1-9】已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.
【答案】或1
【解析】设，则有
整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆
点到直线的距离
直线交于，两点，则
则的面积，解之得或
【例1-10】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________.
【答案】
【解析】由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，.因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号）
所以，两式消去，得，满足，所以.
【例1-11】在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______．
【答案】
【解析】设，由题意得，
化简得的方程为，；
直线的方程可化为，由
解得，所以直线过定点，
又，所以点在圆的内部；
作直线，垂足为，
设，易求，所以，
所以，
所以，
所以当，即时，.
【例1-12】已知直线：和圆：.
（1）求圆的圆心、半径
（2）求证：无论为何值，直线总与圆有交点；
（3）为何值时，直线被圆截得的弦最短？求出此时的弦长.
【解析】（1）因为
所以，，所以，
所以半径.
（2）由得，
由得，所以直线经过定点，
因为，所以定点在圆内，
所以无论为何值，直线总与圆有交点.
（3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦为，
则，则当最大值时，弦长最小，
因为，当且仅当时，取最大值，
取最小值，此时，所以.
所以时，直线被圆截得的弦最短，弦长为.
【方法技巧与总结】
（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系．
（2）弦长问题
①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
题型二、直线与圆的相切关系、切点弦问题
【例2-1】过点与圆相切的直线是_________．
【答案】
【解析】由题意，因为，所以点在圆上，
所以过点与圆相切的直线的斜率，
所以切线方程为，即.
【例2-2】已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________.
【答案】或.
【解析】由题意：当切线斜率不存在时，方程为：，满足与圆相切，
当斜率存在时，设切线方程为：，
则，解得，此时切线方程为：，即.
【例2-3】已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________.
【答案】
【解析】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，
即.又到的距离，故切线长的最小值是.
【例2-4】已知直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圆的方程，则其圆心为，半径为，
由直线方程，整理可得，则，
整理可得，由配方法可得，
，，
由，则，即，解得.
【例2-5】过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______．
【答案】
【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，同理可得，
所以直线的方程为.
【例2-6】已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
【答案】(1，－1)
【解析】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，
过点Q作圆O：的切线，切点分别为A，B，
则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，
则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有，解得，
则直线AB恒过定点(1，－1).
【例2-7】已知直线是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】圆即，圆心为，半径为，
由题意可知过圆的圆心，
则，解得，点的坐标为，
作示意图如图所示：
，切点为，则，
所以．
【例2-8】已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
【答案】
【解析】圆，即，
由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，
，，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，即，
所以最短时，最短，
点C到直线的距离即为的最小值，
所以，所以的最小值为
【例2-9】已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为__________.
【答案】
【解析】的圆心，半径，
四边形面积，
要使最小，则需最小，
当与直线垂直时，最小，此时直线的方程为，
联立，解得，则以为直径的圆的方程为，
则两圆方程相减可得直线的方程为．
【例2-10】设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】圆的方程为：，圆心、半径.
根据对称性可知，四边形PACB的面积为，
要使四边形面积最小，则最需最小，
即最小时为圆心到直线，
所以四边形PACB的面积的最小值为.
【例2-11】已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，则动圆心的轨迹方程为.
EMBED Equation.DSMT4 为圆上的动点，又，∴，
∵，，，∴，
∴当最小时，最小，当最大时，最大.
当时，取最大值，
△的外接圆以线段为直径，
而中点，即中点为，
∴外接圆方程为，即.
【例2-12】（多选题）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为 B．最大度数为60°
C．直线AB过定点 D．的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A选项，由题意可知，
当时，有最小值，即，此时，
所以四边形MACB面积的最小值为，故选项A正确；
对于B选项，当时，最大，此时，
此时，故选项B错误；
对于C选项，设点，，，则，
易知在点A、B处的切线方程分别为，，
将点分别代入两切线方程得，，
所以直线方程为，整理得，
代入，得，
解方程组得所以直线AB过定点，故选项C错误；
对于D选项，设直线AB所过定点为P，则，当时，弦长最小，此时，则的最小值为，故选项D正确.
【方法技巧与总结】
（1）圆的切线方程的求法
①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
题型三、直线与圆的相离关系
【例3-1】由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要使切线长最小，需直线上的点和圆心之间的距离最短，
此最小值即为圆心到直线的距离，，
故切线长的最小值为．
【例3-2】已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为　 ．
【答案】
【解析】圆心到直线的距离等于，
故圆上的动点到直线的距离的最小值为．
【例3-3】已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为　2　．
【答案】2
【解析】圆的圆心，半径是，
由圆的性质知：，四边形的最小面积是2，
的最小值是切线长）
圆心到直线的距离就是的最小值，
，
【例3-5】（多选题）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为 ，则直线的方程为
D．的最小值是
【答案】ACD
【解析】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．A正确；
对B，设点，则，且，由题意，
两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个．B错误；
对C，设，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为．C正确；
对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，
则有，即，∴，则，
所以，所以D正确．
题型四、圆与圆的位置关系
【例4-1】圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
【解析】由与圆，
可得圆心，半径，
则，且，
所以，所以两圆相交.
【例4-2】在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】A
【解析】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
，显然，即圆与圆外离，
所以两圆的公切线的条数是4.
【例4-3】圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将化为标准方程得，即圆心为半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆至少有三条公切线，
所以两圆的位置关系为外切或相离，
所以，即，解得.
【例4-4】已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.
【答案】
【解析】根据题意作出如下图形：
AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.
当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即
不妨设
过作AB的平行线交于点E，
则：，且
,
直线的斜率为：，
所以直线AB与直线的夹角正切为：.
在直角三角形中，，所以，
又,整理得：，
解得：，又，解得：，，
所以=.
【例4-5】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为，所以，
设方程为
O到l的距离，解得，
所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为.
【例4-6】已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】设点，则，
且，由，得，
即，故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.
【例4-7】若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为．
【例4-8】已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知圆O的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，
切点分别为A，B，使得，则，
在中，，
所以点在圆上，
由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.
又圆M的半径等于1，圆心坐标，
，
∴，
∴.
故选：D.
【例4-9】已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】D
【解析】因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，
所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知，
当且仅当a2＝2b2时等号成立．
【例4-10】下列方程中，圆与圆的公切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可知，，
如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，
与x轴相交于点P，
由几何关系可知，，，，
所以，，，，l的斜率为，
则l的方程为，即，
根据对称可得出另一条公切线方程为.
【例4-11】图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为的圆的一段圆弧，且弧所对的圆周角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，弧的中点为弧所对的圆周角为，则弧所对的圆心角为，
圆的半径为，在弧上取两点、，则，
分别过点、作圆的切线，并交直线于点，
当过点、的切线刚好是圆与圆的外公切线时，
劣弧上一定还存在点、，使过点、的切线为两圆的内公切线，
则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点，
过点，分别向、作垂线，垂足为、，则即为圆的半径，
此时圆与圆皆满足题意：弧上存在四点、、、，
过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切.
线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度.
在直角中，，
，
即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故选：.
题型五、两圆的公共弦问题
【例5-1】圆与圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将两圆的方程相减得到两个圆公共弦所在直线方程为.
【例5-2】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
两式相减得公共弦所在直线方程为：，
分别取，得，解得，即.
【例5-3】圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
【例5-4】设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于PA，PB是圆C：的两条切线，A，B是切点，
所以，
当最小时，四边形PACB的面积取得最小，
此时PC：，即，
联立得所以，
PC的中点为，，
以PC为直径的圆的方程为，即，
与圆C：两圆方程相减可得直线AB的方程．
【例5-5】已知圆与圆交于不同的，两点，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】两圆方程相减可得直线的方程为，即，故C不正确；
连立可得中点，易知A、B错误.
∴，两式相减可得，故D正确.
【例5-5】已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据条件易知，，所以，
圆的半径为2，
圆与圆相交于点，，
的方程为：.即，圆到的距离为：
于是，
因为，
所以四边形的面积为：.
题型六、与圆有关的最值问题
【例6-1】若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆的标准方程为，圆心为，
将直线的方程变形为，
由得，故直线过定点，如下图所示：
当为射线与圆的交点且时，点到直线的距离最大，
因为，则直线的斜率为.
【例6-2】已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意可得的圆心到直线的距离为
，即与圆相离；
设为直线上的一点，则，
过点P作圆的切线，切点分别为，则有，
则点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为 ，
半径为，
则其方程为，
变形可得 ，
联立，可得：，
又由，则有 ，
变形可得 ，
则有，可得，故直线恒过定点，
设，由于，故点在内，
则时，C到直线的距离最大，
其最大值为.
【例6-3】在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为，设动点满足，
所以点在圆内部和圆周上，
因为动点满足，
所以点的轨迹是以的直径的圆，
如图，延长交圆于点，
设的中点为，的中点为，
则，
若点在圆上时，两点重合，两点重合，
若点在圆内时，则，
所以，当且仅当点在圆上时，取等号，
则，当且仅当三点共线时，取等号，
因为，当且仅当重合时，取等号，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，此时，
所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时，
取等号，所以的最大值为.故选：C.
【例6-4】若M，N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过P作圆的两条切线，切点为M，N，
根据切线的性质得，
在中，根据已知可得，
则当越小，则越大，
，
越大，越大，
则当PC与直线垂直时，此时最大，
根据切线的性质可得此时最大，
此时，则，即，
则的最大值为，故选：B.
【例6-5】已知实数满足.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）表示圆上的点与点连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，解得：，，
即的最大值为，最小值为.
（2）设，，，
则，
，，，，
即的最大值为，最小值为.
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