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5.1.1 任意角
【学习目标】
1.了解任意角的概念；
2.理解象限角与轴线角的概念；
3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
【教材知识梳理】
一． 任意角
1.角的概念：
角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .
2.角的表示：
角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，点 .
3.角的分类：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
这样，我们就把角的概念推广到了任意角（要注意旋转方向和大小）.
二．象限角
1.把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的 在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限，一般称之为__________.
2.象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°-90°<α三．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
【概念辨析】(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角.(　　)
(2)终边相同的角一定相等．(　　)
(3)终边与始边重合的角为零角.(　　)
(4)三角形的内角必是第一、二象限角.(　　)
【教材例题变式】
【源于P170例1】例1.求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.
【源于P171例2】例2.如图所示，求终边落在直线y＝x上的角的集合．
【源于P171例3】例3.已知θ＝－290°.
(1)把θ改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求α，使α与θ终边相同，且－1 000°<α<－300°.
【教材拓展延伸】
例4.写出终边落在阴影部分的角的集合.
例5.（1）若α是第二象限角，求角2α的终边的位置．
（2）若α是第一象限角，是第几象限角？
【课外作业】
基础过关：
1．是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
3．与405°角终边相同的角是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
5．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝（ ）
A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角} D．以上都不对
6．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．小于90°的角是锐角 B．钝角是第二象限的角
C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，那么
7．与1991°终边相同的最小正角是______.
8．若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．
9．已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合M中有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)求集合M中的第二象限角．
能力提升：
10．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　)
A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z
11.（多选）已知，，，则，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角或轴负半轴上
13．若角的终边与角的终边关于轴对称，且，则角的值为_______．
14．若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为_______．
15．已知角β的终边在直线x－y＝0上.
（1）写出角β的集合S；（2）写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.
16．写出终边在如图所示阴影部分的角α的取值集合.
（1） ；(2)5.1.1 任意角
【学习目标】
1.了解任意角的概念；
2.理解象限角与轴线角的概念；
3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
【教材知识梳理】
一. 任意角
1.角的概念：
角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .
2.角的表示：
如图：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点 .
3.角的分类：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
这样，我们就把角的概念推广到了任意角（要注意旋转方向和大小）。
二．象限角
1.把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的 在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限，一般称之为__________.
2.象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°-90°<α三．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
【概念辨析】(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角.(　　)
(2)终边相同的角一定相等．(　　)
(3)终边与始边重合的角为零角.(　　)
(4)三角形的内角必是第一、二象限角.(　　)
【答案】一.射线 旋转 图形 OA.OB.O逆时针 顺时针 没有
原点 终边 象限角 坐标轴上 轴线角
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
概念辨析：（1）√ （2）× （3）× （4）×
【教材例题变式】
【源于P170例1】例1.求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.
【答案】，角是第四象限角，与角终边相同的角可以表示为，当时，；当时，；
与角终边相同的最小正角为，最大负角为.
归纳：终边相同角常用的三个结论：
1.终边相同的角之间相差360°的整数倍；
2.终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
3.终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．
【源于P171例2】例2.如图所示，求终边落在直线y＝x上的角的集合．
【答案】
终边落在射线y＝x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，
于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.
【源于P171例3】例3.已知θ＝－290°.
(1)把θ改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求α，使α与θ终边相同，且－1 000°<α<－300°.
【答案】(1)因为θ＝－290°＝－360°＋70°.所以把θ改写成
k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式为θ＝－360°＋70°，它是第一象限角．
(2)与－290°角终边相同的角为α＝k·360°＋70°(k∈Z)，
由－1 000°因为k∈Z，所以k＝－2，此时α＝－650°.即所求满足条件的α为－650°.
【教材拓展延伸】
例4.写出终边落在阴影部分的角的集合.
【答案】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：
；
（2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．
角的集合为．
归纳：区域角的表示
区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角.表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
注意：区分边界是实线（包含）还是虚线（不包含）.
例5.（1）若α是第二象限角，求角2α的终边的位置．
（2）若α是第一象限角，是第几象限角？
【答案】（1）∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
（2）∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜＜k·120°＋30°(k∈Z)．
当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜＜n·360°＋30°，∴是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜＜n·360°＋150°，∴是第二象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜＜n·360°＋270°，∴是第三象限角．
综上可知：是第一、二或第三象限角．
【课外作业】
基础过关：
1．是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【详解】由题意知，，所以和的终边相同，为第二象限角，
故为第二象限角.故选：B.
2．下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】与角终边相同的角的集合为，
取时，. 故选：D
3．与405°角终边相同的角是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由于，故与405°终边相同的角应为．故选：C
4．若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【详解】解：因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
故选：A.
5．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝（ ）
A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角} D．以上都不对
【答案】D
【详解】解：∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，
∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，
对于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；
对于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；
对于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，
故选D．
6．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．小于90°的角是锐角 B．钝角是第二象限的角
C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，那么
【答案】ACD
【详解】小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，故A不正确．钝角是第二象限的角，故B正确；第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如：150°是第二象限的角，390°是第一象限的角，故C不正确．
7．与1991°终边相同的最小正角是______.
【答案】
【详解】解：因为，所以与1991°终边相同的最小正角为
故答案为：
8．若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．
【答案】一
【详解】若α是第二象限角，则，，
所以，，
即，，
所以180°－α是第一象限角． 故答案为：一.
9．已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合M中有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)求集合M中的第二象限角．
【答案】（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）令，得，
又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以，.
能力提升：
10．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　)
A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z
【答案】B
解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z．
11.（多选）已知，，，则，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为，，，
所以除了包括锐角，还包括其他角，比如角，故A选项错误；
锐角是大于且小于的角，故B选项正确；锐角是第一象限角，故C选项正确；
，，中角的范围不一样，所以D选项错误. 故选：BC.
12．（多选）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角或轴负半轴上
【答案】BD
【详解】因为是第二象限角，可得,
对于A中，可得，此时位于第三象限，所以A错误；
对于B中，可得，
当为偶数时，位于第一象限；当为奇数时，位于第三象限，所以B正确；
对于C中，可得，
即，所以位于第一象限，所以C不正确；
对于D中，可得，所以位于第三、第四象限角或轴负半轴，所以D正确.
13．若角的终边与角的终边关于轴对称，且，则角的值为_______．
【答案】或
【详解】设75°角的终边为射线OA，射线OA关于x轴对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{|＝k·360°－75°，k∈Z}．
又－360°<α<360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°.
14．若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为_______．
【答案】20°，140°，260°
解析：设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，则＝20°＋k·120°，则当k＝0,1,2时，＝20°，140°，260°．
15．已知角β的终边在直线x－y＝0上.
（1）写出角β的集合S；（2）写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.
【答案】（1）如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.
（2）由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.
16．写出终边在如图所示阴影部分的角α的取值集合.
（1） ；(2)
【答案】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，
与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.
所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}.
（2）终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为，
终边在角的终边所在直线上的角的集合为，
因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为.

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