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2.2 简谐运动的描述
【学习目标】
1．知道什么是振动的振幅、周期和频率。
2．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。
3．知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，明确图象的物理意义及图象信息。
4．能用公式描述简谐运动的特征。
【重点难点】
能用公式描述简谐运动的特征。
【预习导航】
一、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式
描述简谐运动的物理量
振幅：
定义： 叫振幅，用A表示
单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（m）
物理意义： 的物理量。同一振动系统，振幅越大，振动越强。
（4）振幅、位移和路程的关系
①振幅与位移
●振幅是 的最大距离，位移是 的位置变化。
●振幅是表示 的物理量，在同一简谐运动中振幅是不变的，而位移却时刻变化。
●振幅是标量，位移是矢量。
●振幅在数值上等于位移的 值。
②振幅与路程
●振动物体在一个周期内的路程一定为 个振幅，在半个周期内的路程一定为 振幅。
●振动物体在T内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅。只有当T的初时刻，振动物体在平衡位置或最大位移处时，T内的路程才等于一个振幅。
周期T和频率f：
（1）全振动：简谐运动是一种周期运动。振子以 的过程称为一个全振动。
（2） 的时间，叫做振动的周期，单位是s。
（3）单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率。
（4）周期和频率的关系为f＝。
（5）单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。
（6）物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。
（7）圆频率：，
3、相位：
（1）相位：描述 的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
（2）初相位：式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态为初相位或初相。
（3）相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。
（4）同频率的两简谐运动作比较时，相位差的取值范围，当时，两运动步调完全相同，称为同相；当=（或）时，两运动步调相反，称为反相。
【课堂探究】
一、简谐运动的对称性和周期性
做简谐运动的物体，运动过程中各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，其加速度、速度大小相等，动能相等，势能相等。对称性还表现在过程量的相等上，如：从某点到达最大位置和从最大位置再回到该点所需要的时间相等，质点从某点向平衡位置运动时到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做出如下判断：
1．若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。
2．若t2－t1＝nT＋，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。
3．若t2－t1＝nT＋或t2－t1＝nT＋，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。
【典型例题】
例1．弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2 s时,振子速度第一次变为-v;在t=0.5 s时,振子速度第二次变为-v。
①求弹簧振子振动周期T。
②若B、C之间的距离为25 cm,求振子在4.0 s内通过的路程。
③若B、C之间的距离为25 cm,从平衡位置计时,写出弹簧振子的位移表达式,并画出弹簧振子的振动图象。
【课堂达标】
1．一质点做简谐振动,从平衡位置运动到最远点需要周期,则从平衡位置走过该距离的一半所需时间为 (　　)
A.周期　　　 B.周期
C.周期 D.周期
2.质点沿x轴做简谐运动,平衡位置为坐标原点O。质点经过a点(xa=-5 cm)和b点(xb=5 cm)时速度相同,时间tab=0.2 s;质点从b点回到a点所用的最短时间tba=0.4 s;则该质点做简谐运动的频率为 (　　)
A.1 Hz　　 B.1.25 Hz
C.2 Hz　　　　 D.2.5 Hz
3.如图所示,虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象。已知甲、乙两个振子质量相等,则 (　　)
A.甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm
B.甲、乙两个振子的相位差总为π
C.前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值
D.第2秒内甲、乙振子速度方向相同,都指向平衡位置
4.(2019·河南洛阳模拟)简谐运动的振动图线可用下述方法画出:如图甲所示,在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P,让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动,笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象。取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向,纸带运动的距离代表时间,得到的振动图线如图乙所示。则下列说法中正确的是(　　)
A.弹簧振子的周期为2 s
B.弹簧振子的振幅为10 cm
C.t=17 s时振子相对平衡位置的位移是10 cm
D.2.5 s时振子正在向x轴正方向运动
5.(2019·辽宁鞍山模拟)弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过点O时开始计时,经过0.3 s,第一次到达点M,再经过0.2 s,第二次到达点M,则弹簧振子的周期可能为(　　)
A.0.53 s B.1.4 s C.3 s D.2 s
6.一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin(2.5πt),位移y的单位为m,时间t的单位为s。则(　　)
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零
D.在任意0.2 s时间内,振子的位移均为0.1 m
答案：
【典型例题】
例1：【答案】见解析
【解析】①弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示。
由对称性可得:T=0.5×2 s=1.0 s。
②B、C间的距离为2个振幅,则振幅A=×25 cm=12.5 cm。振子4.0 s内通过的路程为:s=4×4×12.5 cm=200 cm。
③根据x=Asinωt,A=12.5 cm,ω==2π rad/s,
得x=12.5sin2πt (cm)。
振动图象如图乙所示。
【课堂达标】
1.【答案】D
【解析】由简谐振动的表达式有A=Asint,解得t=,D正确。
故选D。
2.【答案】B
【解析】由题意可知:a、b点在O点的两侧,相对于O点对称,通过a、b点时速度大小相等、方向相同;质点由a到b所用时间tab=0.2 s,由b点回到a所用最短时间tba=0.4 s,表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动,振幅大于5 cm;设质点做简谐运动的四分之一周期为T=tab+(tba-tab),解得周期T=2[tab+(tba-tab)]=2×[0.2 s+(0.4 s-0.2 s)]=0.8 s。频率f== Hz=1.25 Hz。
故选B。
3.【答案】A
【解析】根据振动图象,甲振子的振幅为2 cm、乙振子的振幅为1 cm,A正确。由于两个振子的周期和频率不同,其相位差亦会变化,B错。前2秒内,甲在平衡位置的上方,加速度指向平衡位置,方向为负方向;而乙在平衡位置的下方,加速度指向平衡位置,方向为正方向,C错。第2秒内甲从正向最大位移处向平衡位置运动,速度方向为负方向,指向平衡位置;乙向负向位移最大处运动,速度方向为负方向,但指向负向最大位移处,D错。
故选A。
4.【答案】B
【解析】周期是振子完成一次全振动的时间,由题图知,弹簧振子的周期为T=4s,故A错误;振幅是振子离开平衡位置的最大距离,由图知,弹簧振子的振幅为10cm,故B正确;振子的周期为4s,由周期性知,t=17s时振子相对平衡位置的位移与t=1s时振子相对平衡位置的位移相同,故C错误;由图乙可知2.5s时振子正在向x轴负方向运动,故D错误。
故选B。
5.【答案】A
【解析】如图甲所示,设O为平衡位置,OB(OC)代表振幅,振子从O→C所需时间为。因为简谐运动具有对称性,所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等,故=0.3s+s=0.4s,解得T=1.6s。如图乙所示,若振子一开始从平衡位置向点B运动,设点M'与点M关于点O对称,则振子从点M'经过点B到点M'所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等,即0.2s。振子从点O到点M'、从点M'到点O及从点O到点M所需时间相等,为s,故周期为T=0.5s+s≈0.53s,所以A正确。
故选A。
6.【答案】C
【解析】由y=0.1sin(2.5πt)知,弹簧振子的振幅为0.1m,选项A错误;弹簧振子的周期为T=s=0.8s,选项B错误;在t=0.2s时,y=0.1m,即振子到达最高点,此时振子的运动速度为零,选项C正确;只有当振子从平衡位置或者从最高点(或最低点)开始计时时,经过0.2s,振子的位移才为A=0.1m,选项D错误。
故选C。

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