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第18讲 复数教师版
【知识必备】
1.复数的一般形式：（其中为实部， 为虚部）
2.复数的化简：
3.复数的分类：
（1）当为实数时
（2）当为虚数时
（3）当为纯虚数时
（4）当为一般虚数时
4.复平面的对应：复数与复平面上的点一一对应
备注：实轴即轴，虚轴即轴
5.复数相等：
6.复数的模：
7.共轭复数：
8.复数的运算性质：
【题型精讲】
【题型一 复数的运算】
1．计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）；
（2）
2．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，所以虚部为，
3．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，
4．复数z满足：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设，则，由得，，解得，
．
5．已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，，则，，
∴.
6．若复数（其中i为虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】因为，则.
7．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意．
8．已知复数，则复数z的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以．
9．复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以复数的共轭复数是.
10．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，则.
11．设复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】由可得，故，则的虚部为2，
12．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解析：因为，所以，
13．若，则等于（ ）
A．2 B．6 C． D．
【答案】B
【详解】,所以.
14．已知复数z满足，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
【答案】D
【详解】由，则有，所以.
15．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】，故复数z在复平面内所对应的点位于第二象限,
16．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，，所以.
17．若(为实数，为虚数单位)，则________.
【答案】3
【详解】因为，所以.又因为都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以.
18．已知复数、满足，且．求的值．
【答案】
【详解】因为，所以．又，所以，所以，所以．因为，所以．
【题型二 复数的分类】
19．已知复数，其中.
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的值.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）若z为实数，则，解得．（2）若为纯虚数，则，解得，∴，故，
20．若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】为纯虚数，，，
21．已知复数，其中，若是实数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】因为复数，且是实数，则，
22．已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】复数是纯虚数，，且，故，
.故复数在复平面内对应的点在第一象限，
23．设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题知，，
因为存在实数，使得为实数，所以关于的方程有实数根，
所以，有实数根，所以，即所以，的取值范围是
24．已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
【答案】C
【详解】因为为纯虚数，所以，解得.
25．已知，且为实数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为为实数，所以.
26．已知复数是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－ B． C．－2 D．2
【答案】A
【详解】由题意设，则，因为是实数，所以，得，所以，所以，
27．若复数为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】,
因为复数为纯虚数，，解得
28．若为纯虚数，则复数的虚部为__________.
【答案】1
【详解】，因为纯虚数，所以，且，解得，得，所以虚部为1.
【题型三 复数的几何意义】
29．已知，则对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】,，在复平面对应的点为，在第四象限.
30．复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，该复数在复平面内对应的点的坐标为．
31．在复平面内，复数对应的点为，设是虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题设，，所以，，
故.
32．已知复平面内点对应的复数为z，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，则，其虚部为.
33．若，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】由得，复数所对应的点为，位于第一象限
34．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由已知，则z的共轭复数为，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.
35．已知复数，i是虚数单位），是实数.
(1)求b的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）∵，∴∵是实数，∴，解得.
（2）由（1）知,∴，
∵复数在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得，
故实数m的取值范围是.
36．已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】根据题意，得，所以．
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限．
37．已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】，对应点坐标为，位于第二象限.
38．如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由图形知，点，复数，，
所以复数的虚部为.
39．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】因为，所以z在复平面内对应的点为，位于第四象限，
40．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________.
【答案】##0.28
【详解】因为，，，所以，，
，所以，所以.
【题型四 复数对应方程问题】
41．已知复数 是方程 的一个根， 求 和 的值．
【答案】p=6，q=10
【详解】由一元二次方程根的性质可知： 是方程 的另一个根，由韦达定理知： ；综上， .
42．若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数，故该方程的另一个复数根是.
43．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】设复数的平方根为，则，
化简，所以，，解得
，或，，即复数的平方根为或，
44．方程的解为______．
【答案】或
【详解】，故方程的两根为或.
故答案为：或.
45．若实系数一元二次方程的一个根是，则这个方程可以是______．
【答案】
【详解】设一元二次方程为，设这个一元二次方程的一个根是，另一个根为，
由韦达定理可得：，，这个一元二次方程的系数都为实数，
，都是实数，则与都是实数，则一定为虚数，设，
则为实数，得，解得，
为实数，得，解得，则，
则，，即，，则一元二次方程为，
化简为：，
46．设复数满足，使得关于的方程有实根，求所有满足条件的复数的和.
【答案】满足条件的复数之和为.
【详解】设则原方程变为，所以
若，则，但当时，①无实数解，从而，
此时存在实数满足①②，故满足条件.若，则由②知，但显然不满足①，故只能是，代入①解得，进而，相应有.
综上所述，满足条件的复数之和为.
【多选练习】
47．若复数，，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
C．的实部为13
D．的虚部为
【答案】ABC
【详解】由题意得，，故A正确；在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，故B正确；∵，∴的实部为13，虚部为11，故C正确，D错误．
48．已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A．z的虚部为1
B．
C．为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】AC
【详解】，则z的虚部为1，选项A正确；，选项B错误；为纯虚数，选项C正确；在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；
49．已知复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．z对应的点位于第二象限 B．的虚部为2
C． D．
【答案】CD
【详解】，所以，z对应的点位于第一象限，A错误；
的虚部为,B错误；，C正确；，D正确，
50．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；对于C：，则，C错误；
对于D：，则，D正确.
51．已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
【答案】BD
【详解】设则，
不满足，也不满足，故选项AC错误；
对于B，设在复平面内对应的向量分别为，且，
由向量加法的几何意义知，故，故选项B正确；
对于D，设，则
，
所以，
，故选项D正确；
52．已知复数z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限
C．复数z的共轭复数为 D．
【答案】AD
【详解】因为，所以，，
有，故A正确；复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故B错误；
复数的共轭复数为，故C错误；因为，故D正确，
53．欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BC
【详解】对于A，由，得，故A错误；对于B，由，得，故B正确；对于C，因为，所以，
所以，故C正确；对于D，由，得，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误.
54．已知复数，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【详解】对于A， 设，若，则，所以，即，所以，
若，则成立，此时；若，由得，由得，此时；若，由得，所以，此进，
所以若，则或，故A正确；对于B，设则，故B不正确；对于C，设，所以，若，则或，所以，故C正确；对于D， 由，取，满足条件，而，
故D不正确.
55．已知非零复数（a，，且），是z的共轭复数，则下列各项中，结果是实数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】由题意可得，则，虚部为0，A项正确；，虚部为0，B项正确；
，因为，所以，虚部不为0，C项错误；
，因为，所以，虚部不为0，D项错误．
56．设，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】令，对A，表示圆，A对.
对B，，则，则不是圆，B错.对于C，，则化简得表示圆，C对.对于D，表示线段，D错.第18讲 复数教师版
【知识必备】
1.复数的一般形式：（其中为实部， 为虚部）
2.复数的化简：
3.复数的分类：
（1）当为实数时
（2）当为虚数时
（3）当为纯虚数时
（4）当为一般虚数时
4.复平面的对应：复数与复平面上的点一一对应
备注：实轴即轴，虚轴即轴
5.复数相等：
6.复数的模：
7.共轭复数：
8.复数的运算性质：
【题型精讲】
【题型一 复数的运算】
1．计算．
(1)；
(2)．
2．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B．
C． D．
4．复数z满足：（ ）
A． B． C． D．
5．已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．若复数（其中i为虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．4
7．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知复数，则复数z的模为（ ）
A． B． C． D．
9．复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．设复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
12．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
13．若，则等于（ ）
A．2 B．6 C． D．
14．已知复数z满足，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
15．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
17．若(为实数，为虚数单位)，则________.
18．已知复数、满足，且．求的值．
【题型二 复数的分类】
19．已知复数，其中.
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的值.
20．若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知复数，其中，若是实数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
22．已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
25．已知，且为实数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
26．已知复数是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－ B． C．－2 D．2
27．若复数为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．2 D．3
28．若为纯虚数，则复数的虚部为__________.
【题型三 复数的几何意义】
29．已知，则对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
30．复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
31．在复平面内，复数对应的点为，设是虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
32．已知复平面内点对应的复数为z，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
33．若，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
34．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
35．已知复数，i是虚数单位），是实数.
(1)求b的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
36．已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
37．已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
38．如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
39．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
40．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________.
【题型四 复数对应方程问题】
41．已知复数 是方程 的一个根， 求 和 的值．
42．若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
43．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
44．方程的解为______．
45．若实系数一元二次方程的一个根是，则这个方程可以是______．
46．设复数满足，使得关于的方程有实根，求所有满足条件的复数的和.
【多选练习】
47．若复数，，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
C．的实部为13
D．的虚部为
48．已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A．z的虚部为1
B．
C．为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第一象限
49．已知复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．z对应的点位于第二象限 B．的虚部为2
C． D．
50．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．
51．已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
52．已知复数z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限
C．复数z的共轭复数为 D．
53．欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
54．已知复数，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
55．已知非零复数（a，，且），是z的共轭复数，则下列各项中，结果是实数的是（ ）
A． B． C． D．
56．设，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（ ）
A． B．
C． D．

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