资源简介

计数原理与概率统计
随机变量及其分布 学案
思维导图
夯实基础
【核心知识整合】
考点1：离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量的分布列
（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
（2）一般地，若离散型随机变量X的可能取得不同值为取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
X … …
P … …
2.离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；
（2）；
（3）.
3.常见的离散型随机变量的概率分布模型
（1）两点分布：若随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1-p p
则称X服从两点分布.
（2）超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品，则，其中，且，，，则称分布列
X 0 1 … m
p …
为超几何分布.
考点2：离散型随机变量的均值与方差
1.离散型随机变量的均值
（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X …
P …
则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
（2）两点分布的均值：.
（3）均值的性质：；；.
2.离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差与标准差：
称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
（2）方差的性质：；；.
考点3：事件的相互独立性
1.相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.
2.相互独立事件的性质
当事件A与事件B相互独立时，则事件A与相互独立，事件与B相互独立，事件与相互独立.
考点4：条件概率
1.条件概率
一般地，设，为两个随机事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
2.条件概率与事件相互独立性的关系
当时，当且仅当事件与相互独立时，有.
3.概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则.上式称为概率的乘法公式.
4.概率的性质
设，则
（1）；
（2）如果和是两个互斥事件，则；
（3）设和互为对立事件，则.
5.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.
考点5：二项分布
1.二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作.
2.二项分布的均值与方差.
如果，那么，.
考点6：正态分布
1.正态分布
，，为参数)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布.
2.正态分布的均值与方差
若，则.
3.原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则.
探究提升
[典型例题]
1.已知随机变量X服从二项分布，则等于( )
A. B. C. D.
[答案]D
[解析].故选D.
2.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别是，，则密码被破译的概率为( )
A. B. C. D.
[答案]D
[解析]因为甲、乙两人独立地破译一份密码，且甲、乙能破译的摡率分别是，，所以密码被破译的概率为，故选D.
3.若随机变量，且，则等于_________.
[答案]0.6
[解析]，，
.
4.某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为90%，最终的检测结果的次品率为，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为_________.
[答案]
[解析]设该芯片智能自动监测合格为事件A，人工监测一枚芯片恰好合格为事件B，，，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率.
[变式训练]
1.盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]设事件A为“甲取出的有红球”，事件B为“取出两个红球”，则，，由条件概率公式能求出甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为，故选B.
2.设随机变量，则( )
A.10 B.30 C.15 D.5
[答案]A
[解析]由随机变量满足二项分布，
所以，
所以.故选A.
3.已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
P b a
则最大值( )
A. B. C.1 D.不是定值
[答案]B
[解析]根据已知可得，，，.
，
，
当时，取最大值，最大值为.故选B.
4.某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 8 12
米色内饰 2 3
现将这25个汽车模型进行编号.
(1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求和，并据此判断事件A和事件B是否独立.
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元.请你分析奖项对应的结果，设X为奖金金额，写出X的分布列，并求出X的数学期望.
[解析](1)由题意得，，
，，则.
，事件A和事件B独立.
(2)记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件，
则，，
，
，
一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色.
X的分布列如表：
X 150 300 600
P
.
规律总结
【规律总结】
1.离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略
（1）与排列组合有关的分布列的求法.可由排列组合、概率知识求出概率，再求出分布列.
（2）与频率分布直方图有关的分布列的求法.可由频率估计概率，再求出分布列.
（3）与互斥事件有关的分布列的求法.弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列.
（4）与独立事件（或独立重复试验）有关的分布列的求法.先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列.
2.概率与统计解答题的解题策略
（1）准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等；
（2）理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等；
（3）明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等；
（4）准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率；
（5）确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求期望；
（6）会套用求、的公式求值，再作进一步分析.

展开更多......

收起↑