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高三5月回归课本知识点总结
集合与逻辑
1集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。
集合元素的互异性：如：，，求；
2、区分集合中元素的形式：
如：—函数的定义域；—函数的值域；
—函数图象上的点集，
如:（1）设集合，集合N＝，则___（答：）；
（2）设集合，，，则_____（答：）　
3、条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况
空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）
如：，如果，求的取值。（答：a≤0）
4、;
CUA={x|x∈U但xA};;真子集怎定义？
含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足集合M有______个。　（答：7）
5、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;
6、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U
7、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。　（答：）
8、原命题: ;逆命题: ;否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题是等价的.
如：“”是“”的 条件。（答：充分非必要条件）
9、若且;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;
10、注意命题的否定与它的否命题的区别:
命题的否定是；否命题是
命题“p或q”的否定是“┐P且┐Q”，“p且q”的否定是“┐P或┐Q”
注意：如 “若和都是偶数，则是偶数”的
否命题是“若和不都是偶数，则是奇数”
否定是“若和都是偶数，则是奇数”
11.真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
12.常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有（）个
小于
不小于
至多有个
至少有（）个
对所有，
成立
存在某，
不成立
或
且
对任何，
不成立
存在某，
成立
且
或
二、函数与导数
13、指数式、对数式：
，，，，，，，，，。
如的值为________(答：)
14、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数;
15、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);
顶点式f(x)=a(x-h)2+k;
零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0偶函数;
②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若，则；
，，.
(2)当a<0时，若，则，若，则，
如：若函数的定义域、值域都是闭区间，
则＝ （答：2）
③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
依据：若，则方程在区间内至少有一个实根 .
设，则
（1）方程在区间内有根的充要条件为或；
（2）方程在区间内有根的充要条件为或或或；
（3）方程在区间内有根的充要条件为或
16、反比例函数:平移(中心为(b,a))
17、对勾函数是奇函数,

18、单调性①定义法;
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
②导数法. 如：已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：))；
注意①：能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）
③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式. 如函数的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
19、奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。
20．多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
21、周期性。（1）类比“三角函数图像”得：
①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；
②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；
③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴
则函数必是周期函数，且一周期为；
如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：①函数满足，则是周期为2的周期函数；②若恒成立，则；③若恒成立，则.
如(1) 设是上的奇函数，，当时，，则等于_____(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_________(答：)；
22、常见的图象变换
①函数的图象是把函数的图象沿轴向左或向右平移个单位得到的。如要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：；右)；（3）函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)
②函数+的图象是把函数助图象沿轴向上或向下平移个单位得到的；如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 　(答：C)
③函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。如（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：)；（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______(答：)．
④函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.
23、函数的对称性。
①满足条件的函数的图象关于直线对称。如已知二次函数满足条件且
方程有等根，则＝_____(答：)；
②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；
⑤点关于直线的对称点为；
曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。如己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是___________（答：）；
若f(a－x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=对称。
提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形。
⑥曲线关于点的对称曲线的方程为。如若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则＝______（答：）
⑦形如的图像是双曲线，对称中心是点。如已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）
⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。如（1）作出函数及的图象；（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于____对称 （答：轴）
24.求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型： ---------------；
②幂函数型： --------------，；
③指数函数型： ----------，；
④对数函数型： ---，；
⑤三角函数型： ----- 。
如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则__（答：0）
25、题型方法总结
Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同
Ⅱ求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：）。如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（答：）
（2）代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，则函数=_____（答：）；（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________（答：）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。
（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（1）已知，求的解 析式
（答：）；（2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= （答：）。
Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；
如：若函数的定义域为，则的定义域为__________（答：）；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为________（答：[1,5]）．
Ⅳ求值域:
①配方法：如：求函数的值域（答：[4,8]）；
②逆求法（反求法）：如：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围（答：（0,1））；
③换元法：如（1）的值域为_____（答：）；（2）的值域为_____（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
如：的值域（答：）；
⑤不等式法――利用基本不等式求函数的最值。如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求，，的值域为______（答：、、）；
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
如（1）已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；（2）求函数的值域（答：）；
⑧判别式法：如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：）如求的值域（答：）
⑨导数法;分离参数法;―如求函数，的最小值。（答：－48）
用2种方法求下列函数的值域：①②（；③
Ⅴ：解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.
Ⅵ：恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
Ⅶ：任意定义在R上函数f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f（x）＝
其中g（x）＝是偶函数，h（x）＝是奇函数
Ⅷ：利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若，满足
，则的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若，满足，则的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；（4）设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式.（答：）．
26、（1）函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
（2）导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
V＝s/(t)表示t时刻即时速度,a=v′(t)表示t时刻加速度。如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
27.几种常见函数的导数
(1) （C为常数）. (2) .
(3) . (4) .
(5) ；. (6) ; .
28.导数的运算法则
（1）.
（2）.（3）.
29.复合函数的求导法则
设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.
30.判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
31、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数
过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：或）。
⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)≥0得增区间;解不等式f/(x)≤0得减区间;注意f/(x)=0的点; 如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围______（答：）；
⑶求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；）；（2）已知函数在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最__值__答：大，）（3）方程的实根的个数为__（答：1）
特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）
三、数列、
32、等差数列中an=a1+(n-1)（叠加法）
;Sn====（倒序相加法）
等比数列中an= a1 qn-1;（叠乘法）当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn==（错位相减法）
33.常用性质、结论：
（1）等差数列中, an=am+ (n－m)d, ;当m+n=p+q,am+an=ap+aq；
等比数列中，an=amqn-m; 当m+n=p+q ，；
如①在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；
②各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。
（2）.常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比;{an}等差,则(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c1)等差。
（3）在等差数列中：
①若项数为，则
②若数为则， ，
在等比数列中：
若项数为，则 ②若数为则，
（4）. 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
如：公比为-1时，、-、-、…不成等比数列
34.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
35、等差、等比数列的判定：
（1）
（2）
如若是等比数列，且，则＝ （答：－1）
36、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式,或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由
此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006）
37.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.
分组法求数列的和：如an=2n+3n 、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n、裂项法求和：如求和： （答： ）、倒序相加法求和：
如①求证： ；②已知，则＝___（答：）
38.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：
①an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
39、求通项常法: （1）已知数列的前n项和,求通项，可利用公式:
如：数列满足，求（答：）
（2）先猜后证
（3）递推式为＝＋f(n) (采用累加法)；＝×f(n) (采用累积法)；
如已知数列满足，，则=________（答：）
（4）构造法形如、（为常数）的递推数列如①已知，求（答：）；
（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运用
an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1 ； an＝
（6）倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知，求（答：）；②已知数列满足=1，，求（答：）
(7)、常见和：，，
四、三角
40、终边相同(β=2kπ+α);
弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad). 如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）
41、函数y=b（）①五点法作图;
②振幅?相位?初相?周期T=,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.
对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比.
如（1）函数的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数为常数），且，则______（答：－5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：、）；（4）已知为偶函数，求的值。（答：）
④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;

42、正弦定理:2R===; 内切圆半径r=余弦定理：a=b+c-2bc,;
术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°
43、同角基本关系：如：已知，则＝____；
＝_________（答：；）；
44、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视(为锐角)
45、重要公式： ；．；;
如：函数的单调递增区间为___________（答：）
巧变角：如，，，，等），
如：（1）已知，，那么的值是_____（答：）；
（2）已知为锐角，，，则与的函数关系为______（答：）
46、辅助角公式中辅助角的确定：(其中)
如：（1）当函数取得最大值时，的值是______(答：)；（2）如果是奇函数，则= (答：－2)；
五、平面向量
47、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)、共线向量、相等向量
注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）
48、加、减法的平行四边形与三角形法则:;
49、,）
如：在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）
解：，，所以。
50、（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同
向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；③。如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；
51、向量b在方向上的投影︱b︱cos＝
52、 和是平面一组基底,则该平面任一向量(唯一)
特别：. ＝则是三点P、A、B共线的充要条件如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______（答：直线AB）
53、在中，①为的重心，特别地为的重心；②为的垂心；
③向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
④的内心；
⑤S⊿AOB＝;
如：（1）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____（答：直角三角形）；（2）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：2）；（3）若点是的外心，且，则的内角为____（答：）；
54、 P分的比为,则=,＞0内分;＜0且≠-1外分.
＝;若λ＝1 则＝(+);设P(x,y),P1(x1,y1),
P2(x2,y2)则;中点重心
55、点按平移得,则＝ 或 函数按平移得函数方程为：如（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________（答：）
56.“按向量平移”的几个结论
（1）点按向量a=平移后得到点.
(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
57. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
（5）为的的旁心.
六、不等式
58、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab>0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知，，则的取值范围是______（答：）；
59、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）
60、常用不等式：若，（1）（当且仅当时取等号） ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。
如：如果正数、满足，则的取值范围是_________（答：）
基本变形：① ； ；
注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数的最小值 。（答：8）
②若若，则的最小值是______（答：）；
③正数满足，则的最小值为______（答：）；
61、(何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a
62、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有：
⑴添加或舍去一些项，如：；
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如：；
⑷利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（5）换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
（6）最值法,如：a>fmax(x),则a>f(x)恒成立.
63、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方
④公式法：|f(x)|>g(x) ;|f(x)|64、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回
如（1）解不等式。（答：或）；（2）解不等式（答：时，；时，或；时，或）
七、立几
65. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a∥α、a∩α=A (aα) 、aα③平面与平面:α∥β、α∩β=a
66. 常用定理:①线面平行;;
②线线平行:;;;
③面面平行:;;
④线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理?
⑤线面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角900; ;
67. （要求不高）异直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：平移以及补形法、向量法。如（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为______（答：arcsin）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）；③二面角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法： 、转化为法向量的夹角。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为________（答：）；（2）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______（答：）；（3）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是______（答：）；
68. 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系
三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S侧cosθ=S底;正三角形四心?内切外接圆半径?;
69.（选修）距离①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法.③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;
70. 求球面两点A、B距离①求|AB|②算球心角∠AOB弧度数③用公式L球面距离=θ球心角×R;纬线半径r＝Rcos纬度。S球=4πR2;V球＝πR3;
71. 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;
72. 从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若A到OB与OC距离相等,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上；
73. 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开 为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行线面平行面面
平行⑥线线垂直线面垂直面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.
74.三面角公式:AB和平面所成角是θ,AB在平面内射影为AO,AC在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则cosβ=cosθcosα;长方体:对角线长;若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α,β,γ,则有cos2α+cos2β+cos2γ=1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;
特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：

(说明：65---74根据文理科和自己的能力有选择的掌握)
八、解几
75.倾斜角α∈[0,π],α=900斜率不存在;斜率 k=tanα=
76.直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0
两点式:;截距式:(a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为=(A,-B)
77.两直线平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2k1k2=-1
②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2A1A2+B1B2=0；
③若A1、A2、B1、B2都不为零l1∥l2;
④l1∥l2则化为同x、y系数后距离d=
78.点线距d=;
79.
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
80.若(x0-a)2+(y0-b)2r2),则 P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外)
81.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，又:ｄ>r相离;d=r相切;d82.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R两圆相离;d＝r+R两圆相外切;|R－r|83.把两圆x2+y2+D1x+E1y+C1=0与x2+y2+D2x+E2y+C2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f1(x,y)=0与曲线f2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f1(x,y)+λf2(x,y)=0
84.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)
85.椭圆①方程(a>b>0);参数方程②定义:=e<1; |PF1|+|PF2|=2a>2c③e=,a2=b2+c2④长轴长为2a，短轴长为2b⑤焦半径左PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦点弦,右焦点弦⑥准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=⑦=,当P为短轴端点时∠PF1F2最大,近地a-c远地a+c;
86.双曲线①方程(a,b>0)②定义:=e>1;||PF1|-|PF2||=2a<2c③e=,c2=a2+b2④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=⑦=⑧渐进线或;焦点到渐进线距离为b;
87.抛物线①方程y2=2px②定义:|PF|=d准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点F(,0),准线x=-,④焦半径;焦点弦＝x1+x2+p;y1y2=－p2,x1x2=其中A(x1,y1)、B(x2,y2)⑤通径2p,焦准距p;
88. 或所表示的平面区域
设直线，则或所表示的平面区域是：
若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
89. 或所表示的平面区域
设曲线（），则
或所表示的平面区域是：
所表示的平面区域上下两部分；
所表示的平面区域上下两部分.
求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.
90.过圆x2+y2=r2上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r2;过圆x2+y2=r2外点P(x0,y0)作切线后切点弦方程:x0x+y0y=r2;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.
91.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题.
92.相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式②涉及弦中
点与斜率问题常用“点差法”.如: 曲线(a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为M(x0,y0),则KABKOM=;对抛物线y2=2px(p≠0)有KAB＝
93.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用x、y表示x1、y1,再将x1、y1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等.
94.解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax2+Bx2＝1;共渐进线的双曲线标准方程可设为为参数,≠0);抛物线y2=2px上点可设为(,y0);直线的另一种假设为x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义.
95．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
96. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是
,其中是直线的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
97.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
98.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
其中.
99.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
100.圆的切线方程
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
101.椭圆的参数方程是.
102.椭圆焦半径公式
，.
103．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
104. 椭圆的切线方程
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）椭圆与直线相切的条件是.
105.双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
106.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
107. 双曲线的切线方程(仅供参考)
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）双曲线与直线相切的条件是.
108. 抛物线的焦半径公式
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
109.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .
110.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.
111.抛物线的内外部
(1)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(2)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(3)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(4) 点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
112. 抛物线的切线方程（不要求掌握）
(1)抛物线上一点处的切线方程是.
（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）抛物线与直线相切的条件是.
113.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线,的交点的曲线系方程是
(为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.
114.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.
九、排列、组合、二项式定理
115、计数原理：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；
116、排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=(m≤n,m、n∈N*),
0!=1; =n!; n.n!=(n+1)!-n!;;
117、组合数公式：=（m≤n）,
;;;
118、（选修内容）主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先。如：某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；.②捆绑法如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生
要排在一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；（2）某人射击８枪
，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：20）；③插空法如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）。
④间接扣除法如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____（答：15）。
⑤隔板法如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）
⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题) 如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：576）。
119、二项式定理　
特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
120、二项展开式通项: Tr+1= Cnran－rbr ;作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的系数；
94、二项式系数性质:①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.Cnm=Cnn－m
②中间项二项式系数最大:n为偶数,中间一项;若n为奇数,中间两项(哪项?)
③二项式系数和
121、f(x)=(ax+b)n展开各项系数和为f(1);奇次项系数和为;偶次项系数和为;展开各项系数和,令可得.
122、二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和。
十、概率与统计
123、随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；
124、等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n;如： 设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：①；②；③；④） 互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B); 如：有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：）；对立事件(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生):P(A)+P()＝1;独立事件(事件A、B的发生互不影响):P(A?B)＝P(A)·P(B); 如（1）设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A
发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答：）；（2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）；独立事件重复试验：:Pn(K)=Cnkpk(1-p)n-k 为A在n次独立重复试验中恰发生k次的概率。如（1）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：）；（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答：）
125、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时). 共同点：每个个体被抽到的概率都相等。如：某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= _______（答：200）；
126、总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）
直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率
样本平均数：
样本方差：；
＝(x12+x22+ x32+…+xn2－n)
方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。
提醒：若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为。如已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为
A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22， 36 （答：B）
127.回归直线方程
，其中.
128.相关系数
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
130.复数的相等
.（）
131.复数的模（或绝对值）
==.
199.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4).

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