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第二章 匀变速直线运动的研究
2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
李华在以2m/s的速度过马路时，李明同学从他身后以6m/s的速度跑来并拍了下他的头，李华气不过开始以加速度2m/s-2追赶李明。若李明整个过程中速度不变，请问：
①在整个追赶过程中，两人最远相聚多少米？
②当李华追上李明时，李华的跑过的距离是多少米？
李华在以2m/s的速度过马路时，李明同学从他身后以6m/s的速度跑来并拍了下他的头，李华气不过开始以加速度2m/s-2追赶李明。若李明整个过程中速度不变，请画出两者的 v-t 图像。
t/s
0
v
李明
v/m·s-1
t/s
0
李华
v/m·s-1
v0
经过4秒后李华追上了李明，那李明的位移大小是多少？
t/s
0
v
李 明
v/m·s-1
t
S
公式法：
图像法：
匀速直线运动的位移就是v – t 图线与t轴所夹的矩形“面积”S 。
甲、乙两个物体的运动方向相同吗？两者的位移相同吗？
t/s
O
4
v/m·s-1
t
S1
S2
-4
甲
乙
“面积”也有正负,
面积为正,表示位移的方向为正方向,面积为负,表示位移的方向为负方向
匀变速直线运动的位移与它的v－t 图象是否也有类似的关系？
t
0
v
李 明
v/m·s-1
t
S
t/s
0
李 华
v/m·s-1
v0
t
位移？
面积S=位移？
能不能用 x=vt 去估算匀变速直线运动的位移？
t/s
0
v/m·s-1
v0
t
准确吗？
S
李 明
①将运动时间2等分， 即粗略认为 内为匀速运动
t/s
0
v/m·s-1
2
4
S1
S2
准确吗？
稍微准确一些
时刻（ s）
0
2
速度（m/s）
2
4
6
2
t/s
0
v/m·s-1
2
2
S1
S2
1
6
准确吗？
稍微更准确一些
4
8
3
4
S3
S4
②将运动时间4等分，即粗略认为 内为匀速运动
时刻（ s）
0
1
2
3
速度（m/s）
2
4
6
8
t
v
0
v0
△t
△t→0时，把这一小段时间内的匀变速直线运动近似看作是匀速直线运动
v
按照这个思路，怎么把“粗略”变为“近似”？
t
t+△t
②想要更精确，就要分割的更多
①把过程分割成几个部分，粗略认为每部分做匀速直线运动，用x=vt求位移
③如果分隔为无穷多份，即每一份的△t→0，这无穷多份“匀速运动”的位移求和，就能准确代表整个匀变速直线运动的位移了
微元法
无穷多份“匀速运动”的位移求和，在v-t图像中就是哪一块的面积？
t
0
v
C
A
S
B
匀变速直线运动的位移与时间的关系式
v
v0
s1=v0t
s2=????????at2
?
v
s1
s2
C
B
D
t
v
O
t
v0产生的位移
t
v
O
t
+
匀变速直线运动的位移与时间的关系式
v0、a、x均为矢量，使用 公式时应先规定正方向，各物理量统一单位。常用国际单位制中的单位。
说明：
当 ，物体做初速度为0的匀加速直线运动；

当 ，物体做匀速直线运动
李华在以2m/s的速度过马路时，李明同学从他身后以6m/s的速度跑来并拍了下他的头，李华气不过开始以加速度2m/s-2追赶李明。若李明整个过程中速度不变，请问：
①在整个追赶过程中，两人最远相聚多少米？
②当李华追上李明时，李华的跑过的距离是多少米？
t/s
O
v
v/m·s-1
v0
t
在李华的速度跟李明相等前，两者间的距离在不断变大
李华在以2m/s的速度过马路时，李明同学从他身后以6m/s的速度跑来并拍了下他的头，李华气不过开始以加速度2m/s-2追赶李明。若李明整个过程中速度不变，请问：
①在整个追赶过程中，两人最远相聚多少米？
例:在平直公路上，一汽车的速度为15 m/s.从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2 m/s2的加速度运动，问刹车后10 s末车离开始刹车点多远？
由
说明刹车后7.5 s 汽车停止运动
正确解析：设车实际运动时间为t0，以汽车初速度方向为正方向
位移
则：v0 =15 m/s a= - 2 m/s2
方向与正方向相同
得运动时间
初速度、末速度、加速度已知，但时间未知
匀变速直线运动的位移与时间的关系式：
未知量
用已知量表示
时间 t 可以用已知的v0、v、a怎么去表示呢？
匀变速直线运动的位移与时间的关系式：
匀变速直线运动的位移与时间的关系式：
匀变速直线运动的速度与位移的关系式：
如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB：BC等于( )
A.?1：1 B.?1：2 C.?1：3 D.?1：4
C
三个匀变速直线运动公式的选用方法
1、如果题中无位移x，也不让求位移，一般选用速度公式：
2、如果题中无末速度v，也不求，一般选用位移和时间公式：

3、如果题中无运动时间t，也不用求，一般选用位移和速度公式：
拓展学习
试求初速为v0末速为v，所用时间为t，通过路程为x的匀变速直线运动的平均速度
匀变速直线运动平均速度：
拓展学习
试求初速为v0末速为v的匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度
A
B
C
因为B为中间时刻，由匀变速直线运动的特点知：
拓展学习
结论：匀变速直线运动某段时间的中点时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，也等于初、末速度之和的一半。
拓展学习
一匀变速直线运动的初速度为v0、末速度为v，求中点位置处的瞬时速度。
A
B
C
解：设AC的位移为x，由速度位移公式
对前半段位移：
对后半段位移：
匀变速直线运动的推论
1.在匀变速直线运动中，某段位移中间位置的瞬时速度与这段位移的初、末速度有什么样的关系？
2.在匀变速直线运动中，某段时间中间时刻的瞬时速度与全程的平均速度有什么样的关系？
你能比较
的大小吗？
x/2
x/2
v
v/（m·s-1）
0
t/s
t
v0
vt/2
vx/2
vx/2
v
v/（m·s-1）
0
t/s
t
v0
vt/2
匀加速直线运动
匀减速直线运动
一列从车站开出的火车,在平直轨道上做匀加速直线运动,已知这列火车的长度为x,火车头经过某路标时的速度为v1,而车尾经过此路标时的速度为v2,求
(1)列车的加速度a;
(2)列车中点经过此路标时的速度v.
(3)整列火车通过此路标所用的时间t.
x
一列从车站开出的火车,在平直轨道上做匀加速直线运动,已知这列火车的长度为l,火车头经过某路标时的速度为v1,而车尾经过此路标时的速度为v2,求
(1)列车的加速度a;
(2)列车中点经过此路标时的速度v.
(3)整列火车通过此路标所用的时间t.
l
l
一列从车站开出的火车,在平直轨道上做匀加速直线运动,已知这列火车的长度为l,火车头经过某路标时的速度为v1,而车尾经过此路标时的速度为v2,求
(1)列车的加速度a;
(2)列车中点经过此路标时的速度v.
(3)整列火车通过此路标所用的时间t.
l
一列从车站开出的火车,在平直轨道上做匀加速直线运动,已知这列火车的长度为l,火车头经过某路标时的速度为v1,而车尾经过此路标时的速度为v2,求
(1)列车的加速度a;
(2)列车中点经过此路标时的速度v.
(3)整列火车通过此路标所用的时间t.
x1
T
x2
T
x3
T
匀变速直线运动
求任意连续相等时间间隔内位移差
······
x1
T
x2
T
x3
T
匀变速直线运动
求任意不连续相等时间间隔内位移差
例.一物体做匀加速直线运动，头4s位移为24m，第二个4s的位移为60m，求该物体的加速度多大？8s到12s的位移多大？
解：依题意知，头4s、第二个4s、8s到12s为三个连续相等的时间，T=4s.相邻的4s的位移差 .由匀变速直线运动的判别式 得该物体的加速度为：
设8s到12s的位移为x3，则有：
初速度为零的匀加速直线运动的特殊推论
（1）求：T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1
0
v2
2T
v3
3T
T
初速度为零的匀加速直线运动的特殊推论
（2）求：1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1
T
x2
2T
x3
0
3T
初速度为零的匀加速直线运动的特殊推论
（3）求：第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，
第N个T内位移之比
X1
T
X2
2T
X3
0
3T
做匀减速直线运动的物体经4s后停止，若在第1s内的位移是14m，则最后1s内位移是(　 )
A．3.5 m B．2 m
C．1 m D．0 m
逆 向 思 维
一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s。求：
(1)第6 s末的速度；
(2)前6 s内的位移；
(3)第6 s内的位移。
一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s。求：
(1)第6 s末的速度；
(2)前6 s内的位移；
(3)第6 s内的位移。
(2)第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62
故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比
x1∶x6＝1∶(2×6－1)
故第6 s内的位移x6＝11x1＝5.5 m。
答案：(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m
（3）求：通过连续相等的位移所用时间之比（若已知a、x）
t2
x
T1
x
x
T2
T3
x
T4
A
B
C
D
t3
（3）求：通过连续相等的位移所用时间之比（若已知a、x）
x
t1
x
x
t2
t3
x
t4
A
B
C
D
已知物体在斜面上做匀变速直线运动，它从斜面底端经2s时间恰好运动到顶端，求从斜面中点运动到顶端的时间。
方法一：运用基本公式，并设从从中点至顶端时间为t则有：
方法二：物体在斜面上做末速度为零的匀减速直线运动，逆向看成初速度为零的匀加速直线运动。设从顶端至中点、从中点至底端时间分别为t1、t2,则有：

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