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2.3 《简谐运动的回复力和能量》习题课
一、学习目的
1.通过实例分析，理解回复力的概念及性质。
2.通过对弹簧振子模型的分析，理解简谐运动的规律(位移、回复力、加速度、速度的变化规律)。
3.通过阅读教材内容，能够定性说明简谐运动的能量转化。
二、课前预习
（一）、简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到 的力．
(2)方向：指向 ．
(3)表达式：F＝ .
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 ，并且总是指向 ，质点的运动就是简谐运动．
说明：(3)式中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关．
（二）、简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程．
(1)在最大位移处， 最大， 为零．
(2)在平衡位置处， 最大， 最小．
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型．
三、课堂检测
1.(多选)关于简谐运动,以下说法正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.回复力总指向平衡位置
B.加速度、速度方向永远一致
C.在平衡位置加速度、速度均达到最大值
D.在平衡位置速度达到最大值,而加速度为零
2.
(多选)某质点做简谐运动的图像如图所示,以下说法正确的是(　　)
A.t1、t2时刻的速度相同
B.从t1到t2这段时间内,速度与加速度同向
C.从t2到t3这段时间内,速度变大,加速度变小
D.t1和t3时刻的加速度相同
3．(多选)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时,下列说法正确的是(　　)
A.振子在振动过程中,速度相同时,弹簧的长度一定相等,弹性势能相同
B.振子从最低点向平衡位置运动过程中,弹簧弹力始终做负功
C.振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供
D.振子在运动过程中,系统的机械能守恒
4．一弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之三周期，振子受到沿x轴正方向的最大回复力。则下列能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是（　　）
B．
C． D．
5．如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长。振动过程中弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则在振动过程中(　　)
A．弹簧的最大弹性势能等于mgA
B．弹簧的弹性势能和物体的动能总和保持不变
C．物体在最低点时所受弹簧的弹力大小为2mg
D．物体在最低点时的加速度大小为2g
6．(多选)如图所示，一质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从质点通过O点时开始计时，经过0.9 s 质点第一次通过M点，继续运动，又经过0.6 s质点第二次通过M点，该质点第三次通过M点经过的时间可能是(　　)
A.1 s　　　B．1.2 s　　　C．2.4 s　　　D．4.2 s
7．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．从t＝0到t＝1.6 s过程中，振子通过的路程为48 cm
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
8．如图所示，质量为m1的物体A置于质量为m2的物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连。在弹性限度内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止。则下列说法正确的是（　　）
A．A的运动不是简谐运动，B是简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．当振幅为A时，A的静摩擦力大小为kA
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功
二、解答题
9．.如图所示,三角架质量为M,沿其中轴线用两根轻弹簧拴一质量为m的小球,上、下两弹簧的劲度系数均为k,重力加速度大小为g,原来三角架静止在水平面上。现使小球做上下振动,振动过程中发现三角架对水平面的压力最小为零但不离开水平面,求:
(1)三角架对水平面的压力为零时小球的瞬时加速度大小;
(2)小球做简谐运动的振幅。
10.如图为水平放置的两个弹簧振子A和B的振动图像，已知两个振子质量之比为mA∶mB＝2∶3，弹簧的劲度系数之比为kA∶kB＝3∶2，则它们的周期之比TA∶TB是多少？它们的最大加速度之比aA∶aB是多少？
答案
1．AD
【详解】回复力是使物体回到平衡位置的力,选项A正确;加速度方向始终指向平衡位置,速度方向可能指向平衡位置,也可能背向平衡位置,选项B错误;平衡位置位移为零,据a=-知加速度为零,势能最小,动能最大,速度最大,选项C错误,D正确。
2．CD
【详解】t1时刻振子速度最大,t2时刻振子的速度为零,故A不正确;t1到t2这段时间内,质点远离平衡位置,故速度背离平衡位置,而加速度指向平衡位置,所以二者方向相反,故B不正确;在t2到t3这段时间内,质点向平衡位置运动,速度在增大,而加速度在减小,故C正确;t1和t3时刻振子在平衡位置,故加速度均为零,选项D正确。
3．CD
【详解】振子在平衡位置两侧往复运动,速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点,这时弹簧长度不等,A错;振子由最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧对振子施加的力指向平衡位置,应做正功,B错;振子运动中的回复力由弹簧振子所受合力提供且运动中机械能守恒,故C、D对。
4．A
【详解】根据简谐运动的特征
可知，经过四分之三周期，振子具有沿x轴正方向的最大回复力，则此时振子的位移为负向最大
故选A。
5．C
【详解】如图所示：物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，回复力是弹力和重力的合力，当物体振动到最高点时，弹簧处于原长，回复力等于重力，k·A＝mg时是振动平衡位置，根据振动对称性，最低点与最高点关于平衡位置对称，最低点时弹簧形变量为2A。振动最低点，弹簧的弹性势能最大，系统机械能守恒，重力势能转化为弹性势能，mg·2A＝Ep，故A错误；系统机械能守恒，动能、重力势能、弹性势能总量不变，振动过程中重力势能一直变化，弹簧的弹性势能和物体动能总和一直变化，故B错误；最低点时弹簧形变量为2A，弹力k·2A＝2mg，故C正确；最低点时弹簧形变量为2A，弹力与重力合力k·2A－mg＝mg向上，加速度为g向上，故D错误。
6．AD
【详解】若质点开始运动的方向向左，再向M点运动，运动路线如图1所示。得到振动的周期为：T＝0.9 s＋0.6 s＋×(0.9 s－0.6 s)＝1.6 s。质点从第二次经过M点到第三次经过M点的时间：t＝T－0.6 s＝1.6 s－0.6 s＝1.0 s；若质点开始运动的方向向右直接向M点运动，如图2，振动的周期为T＝4×(0.9 s＋ s)＝4.8 s。
质点从第二次经过M点到第三次经过M点的时间：t＝T－0.6 s＝4.8 s－0.6 s＝4.2 s；故A、D正确，B、C错误。
7．A
【详解】根据图像读出周期为1.6 s，所以从t＝0到t＝1.6 s的过程中，振子的路程为四个振幅，即s＝4A＝48 cm，故A正确；在0～0.4 s内，振子做变减速运动，不是匀速运动，前0.2 s时间内的平均速度大于后0.2 s内的平均速度，所以t＝0.2 s时，振子不在O点右侧6 cm处，故B错误；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移方向相反，由a＝－，知加速度方向相反，故C错误；t＝0.4 s到 t＝0.8 s的时间内，振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，故D错误。
8．B
【详解】A．以AB为系统，其合外力为
x是弹簧的形变量，所以两物体均做简谐运动。A错误；
B．对整体由牛顿第二定律得
对A，有
联立解得
B正确；
C．由选项B可知，当振幅为A时，A的静摩擦力大小为
C错误；
D．当A远离平衡位置时，B对A的静摩擦力做负功，当A衡位置时，B对A的静摩擦力做正功。D错误。
故选B。
计算题
9．解析：(1)三角架对水平面的压力为零时,对三角架进行受力分析有F弹=Mg
对m进行受力分析有mg+F弹=ma
解得a=
则三角架对水平面的压力为零时小球的瞬时加速度大小为。
(2)最大回复力为F回=mg+Mg
根据简谐运动回复力公式得F回=2kA
解得A=
则小球做简谐运动的振幅为。
答案：(1)　(2)
10.解析：由题图可知，A振子的周期为0.4 s，B振子的周期为0.6 s，故周期之比为TA∶TB＝2∶3；最大加速度时，有mAaA∶mBaB＝10kA∶5kB，故最大加速度之比aA∶aB＝9∶2。
答案：2∶3 　9∶2

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