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2.2不等式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，，且，则的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
二、多选题
9．若a，b，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．设，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知关于x的不等式的解集是，则（ ）
A． B． C． D．
12．设正实数满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题
13．设实数x，y满足，，则的取值范围为 .
14．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 .
15．阅读下面一段材料：已知三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的面积为，其中．这个公式被称为海伦-秦九韶公式．根据此材料解答：已知△ABC中，，，则面积的最大值为 ．
16．已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最小值为 ；的最小值为 .
四、解答题
17．已知关于x的不等式.
(1)若该不等式的解集为，求实数a；
(2)若该不等式的解集为，求实数a的取值范围.
18．已知函数，且的解集为．
(1)求a，b的值；
(2)当时，求的最小值及取得最小值时x的值．
19．已知关于的不等式.
(1)若不等式的解集是，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求关于的不等式的解集.
(2)解关于的不等式.
20．中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】将等式两边同除以得，再由基本不等式“1”的代换求解即可得出答案.
【详解】因为，两边同除以得，
所以，
当即时等号成立.
故选：A．
2．A
【分析】根据不等式的解集求出，再解一元二次不等式即可得解.
【详解】因为不等式的解集是，
所以且，
解得，
所以即为，
化简可得，
解得，
即不等式解集为
故选：A
3．B
【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.
【详解】解不等式可得或；
显然是或的真子集，
所以可得“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．C
【分析】利用韦达定理建立方程求出，的值，再根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由已知可得，和是方程的两根，则由韦达定理可得：，
解得，，所以不等式化为：，
即，解得，所以不等式的解集为：.
故选：C.
5．D
【分析】先应用新定义列式再结合一元二次不等式恒成立计算判别式即可.
【详解】：由已知得，
则对任意实数x恒成立，
整理得对任意实数x恒成立，
故，解得
故选：
6．B
【分析】将化简得，利用作差法、基本不等式和绝对值性质判断即可.
【详解】因为，所以，
对于A，因为，，即，故A错误；
对于B，因为，，即，故B正确；
对于C，因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，
又因为，所以，故C错误；
对于D，因为，，，即，故D错误.
故选：B.
7．D
【分析】举反例即可求解ABC,分类讨论，结合不等式的性质即可求解D.
【详解】若，满足，但不成立，故A错误，
若，满足，但，不成立，故B错误，
当时，不成立，故C错误，
当时，，显然成立，
当时，则，又，故成立，
当时，，显然成立，
故时都有，故D正确，
故选：D
8．C
【分析】由题意，代入，利用基本不等式的性质即可得出.
【详解】因为，，所以，
故，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，则此三角形面积的最大值为12.
故选：C
9．CD
【分析】由不等式的性质进行证明或举例判断即可.
【详解】对于A，若，令，，则，，，故选项A是假命题；
对于B，若，令，则，故选项B是假命题；
对于C，若，则，故选项C是真命题；
对于D，若，则，，从而，故选项D是真命题.
故选：CD.
10．BC
【分析】由已知结合不等式得性质分别检验各项即可判断.
【详解】对于A，因为，，所以，所以，故A错误；
对于B，因为，，所以，，，所以，即，故B正确；
对于C，因为，所以，则，故C正确；
对于D，取，，可得，，此时，故D错误.
故选：BC
11．ABD
【分析】根据不等式的解集是得且是方程的两根，利用根与系数的关系判断BCD，设，根据的解集是的解集的子集得判断A.
【详解】不等式等价于不等式，
因为关于x的不等式的解集是，
所以，且，，
则，故B，D正确，C错误.
设，，则不等式的解集是.
又关于x的不等式即的解集是，
所以是的真子集，所以，则A正确.
故选：ABD.
12．BD
【分析】对于B，直接由即可判断B正确，对于A，由B中结论可得，从而判断A错误，对于C，利用将变形为结合可判断C错误，对于D，利用结合立方差公式将变形为，结合即可判断D正确.
【详解】正实数满足，即有，可得，B正确，
而，即有最大值，当且仅当时等号成立，A错误，
由，当且仅当时等号成立，C错误，
由，当且仅当时等号成立，D正确.
故选：BD.
13．
【分析】利用待定系数法得出，结合不等式的基本性质即可得解.
【详解】设，
则，解得，所以，
因为，，所以，，
所以，即.
因此的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】由题意得到，6为方程的两根，利用根与系数的关系可得到a，b，c之间的关系，然后求出方程的根，得到解集.
【详解】因为不等式的解集为：，
所以得：，且，6为方程的两根，
由根与系数的关系得：，得：，，
设方程的两根分别为
由根与系数的关系得：，即：，
解之得：
又因为：，，所以得：
所以得：不等式的解集为：
故答案为：.
15．
【分析】根据题意分析可得，利用基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．
故答案为：．
16． 9 /
【分析】根据题意转化为一元二次方程有唯一的实根，且，得到，再对和化简，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意可知，一元二次方程有唯一的实根，
所以，所以，
因为，
则，
当且仅当，即时等号成立, 的最小值为9.
,
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以，
的最小值为.
故答案为：9；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到和为方程的两根，根据韦达定理，即可得出结果；
（2）根据题意，得到恒成立，分别讨论和 两种情况，即可得出结果；
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根，因此 ，解得；
（2）因为不等式的解集为，
①当时，原不等式化为，符合题意；
②当时，只需，解得 ；
综上，实数的取值范围是；
18．(1)
(2)当时，取到最小值1
【分析】（1）根据一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系，结合韦达定理计算即可求解；
（2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）由题意知，
因为一元二次不等式的解集为，
所以是方程一元二次方程的两个根，
则，解得，
即a的值为1，b的值为；
（2）由（1）知，，
则，
当且仅当即时等号成立，
所以当时，取到最小值1.
19．(1)（ⅰ）；（ⅱ）
(2)答案见解析
【分析】（1）（ⅰ）利用二次不等式与二次方程根的关系，分类讨论求解即可；（ⅱ）代入，解二次不等式即可得解；
（2）分类讨论两根的大小关系，从而得解.
【详解】（1）（ⅰ）因为的解集是，
所以是方程的两根，
而解，得或，
当，即时，，不满足题意；
当，即时，，满足题意；
综上，；
（ⅱ）因为，所以可化为，
整理得，解得，
所以的解集为.
（2）因为的解为或，
当，即时，无解；
当，即时，的解集为；
当，即时，的解集为；
综上，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
20．(1)40元；
(2)至少应达到10.2万件，每件定价30元.
【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；
（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.
【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得，
则，解得，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
（2）依题意，时，不等式有解 ，
等价于时，有解，
因为（当且仅当时等号成立），
所以，此时该商品的每件定价为30元，
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
答案第1页，共2页
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