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牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3，考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：选择性必修第一册（第二章~第三章）.
一 选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.直线经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.直线的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
4.已知双曲线过点且渐近线为，则双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知直线和抛物线（）交于两点，为坐标原点，且交于点，点的坐标为，则的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
7.若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上异于顶点的一定点，若为内切圆上一动点，且的最大值为4，则的内切圆半径为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A.若，则表示双曲线
B.可能表示一个圆
C.若是椭圆，则其长轴长为
D.若，则中过焦点的最短弦长为
11.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（ ）
A. B.
C. D.
12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的渐近线方程为
B.双曲线的方程为
C.为定值
D.存在点，使得
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为4，则线段的长度为__________.
14.已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则__________.
15.已知点，直线，动圆过点且与直线相切，其圆心的轨迹为曲线.上的动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________.
16.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，直线（为坐标原点）与抛物线的准线相交于点，则面积的最小值为__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（10分）
双曲线的离心率，且过点.
（1）求的值；
（2）求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
18.（12分）
已知圆，直线.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）判断直线与圆的位置关系；
（3）当时，求直线被圆截得的弦长.
19.（12分）
已知直线恒过定点且分别交轴 轴的正半轴于两点.
（1）求过定点且与直线垂直的直线的方程；
（2）求当面积最小时，直线的方程.
20.（12分）
如图，是过抛物线（）焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，为垂足，点坐标为.
（1）求抛物线的方程；
（2）求的面积（为坐标系原点）.
21.（12分）
已知过的直线与圆相交于不同两点，且点在轴下方，点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）证明：；
（3）求三角形面积的最大值.
22.（12分）
已知椭圆的方程为，右焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的两点，直线与曲线相切.证明：三点共线的充要条件是.
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数学
参考答案 提示及评分细则
1.D 的准线方程为.
2.C 由得两直线交点为，直线斜率与相同，为，则直线方程为，即.
3.A 可得直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得，又.
4.A 由，可得，可设双曲线的方程为，又双曲线经过点，可得，即，所以双曲线的方程为.
5.B 圆的标准方程为，圆心为，设的中点为，由垂径定理可知，所以直线的斜率为，所以直线的斜率为-1，所以直线的方程为，即.
6.B ，即，联立直线和抛物线方程得.设，则，解得.
7.C 记椭圆的焦距为，因为椭圆的短轴长是焦距的2倍，所以，即，所以，即，即，所以，因此椭圆的离心率为.
8.D 设的内切圆分别与切于点，与切于点，则.又点在双曲线右支上，，即，而，设点坐标为，解得，由双曲线的方程知，所以，所以，故内切圆的圆心与在直线上，设内切圆的半径为，由的最大值为4知，所以，解得.
9.AC 直线倾斜角的取值范围为当时，旋转后得到的倾斜角为：；当时，旋转后得到的倾斜角为：.故选AC.
10.对选项，，又表示双曲线，选项正确；对选项，令，无解，不可能表示一个圆，选项错误；对C选项，若是椭圆，则，又椭圆的长轴长为，C选项错误；对D选项，若，则可化为中过焦点的最短弦长为通径长，选项正确.
11.AC 因为的焦点重合，所以，即，所以，故A正确；
，故C正确.故选AC.
12.BCD 因为双曲线的离心率为，所以，渐近线方程为，故A错误；又，则，所以双曲线方程为，故B正确；因为，设，则，故C正确；，因为点在第一象限，渐近线方程为，所以，则2，所以，所以存在点，使得，故D正确.故选BCD.
13.9 设，则，即.
14.3或7 由双曲线定义知：，而或7.
15. 设动圆的圆心为，依题意可知，点到点的距离等于点到直线的距离，则，两边平方化简得，即点的轨迹为抛物线，方程为.如图所示，由抛物线的定义可知，点到直线的距离为（当且仅当共线时取等号），即的最小值为.
16. 如图所示，直线斜率不为0，令，联立抛物线，，不妨设，又抛物线准线方程为，直线，又，则，即轴，综上，，而，则，由，则，令，令，则，当时，，则递增；当时，，则递减；，故最小值为，此时（由对称性最小值也成立）.故答案为.
17.解：（1）因为离心率，所以.
又因为点在双曲线上，所以.
联立上述方程，解得，即.
（2）设所求双曲线的方程为，
由双曲线经过点，得，即.
所以双曲线的方程为，其标准方程为.
18.（1）证明：直线的方程可化为：，
令解得直线恒过定点.
（2）解：圆的圆心，半径，
点与圆心的距离，
点在圆内，即直线与圆相交.
（3）解：当时，直线的方程为，
由圆心到直线的距离为，半径，
直线被圆所截得的弦长为.
19.解：（1）直线，
，
由，得直线恒过定点.
又直线与直线垂直，故，所以直线的方程为，
即.
（2）可设直线的方程为，则，
又，即，当且仅当时取等号，
.
所以当面积最小时，直线的方程为，即.
20.解：（1）点在准线上，所以准线方程为：，
则，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）设，由在抛物线上，所以
则.
又，所以点纵坐标为是的中点，所以，
所以，即.
又知焦点坐标为，则直线的方程为：.
联立抛物线的方程，得，解得或，
所以，所以.
21.（1）解：由题知，故设直线的方程为，
联立故，
，即，
故直线的斜率的取值范围为.
（2）证明：设，则，
，
故.
（3）解：设，则由（1）知，
.
设，则，
，当且仅当，即时取等号，
故三角形面积的最大值为.
22.（1）解：由题意，椭圆半焦距，且，所以，
又，所以椭圆方程为.
（2）证明：由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设.
充分性的证明：设直线，即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
，即，所以.
，
化简得，所以，
所以或所以直线或，
所以直线过点，即三点共线，充分性成立.
必要性的证明：当三点共线时，可设直线，即，
由直线与曲线相切，可得，解得，
联立整理可得，显然成立，且，所以
，所以必要性成立.
所以三点共线的充要条件是.

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