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对数函数
一、学习目标
1．通过具体实例，了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，重点培养数学抽象核心素养．
2．探索对数函数的图像与性质，并能简单应用，重点提升直观想象核心素养．
3．理解对数函数的单调性，并能用单调性比较大小，解不等式，提升逻辑推理核心素养 ．
4．掌握对数函数的性质和图像，并能综合应用，提升数学运算核心素养．
二、重点难点
1、对数函数的概念及应用
2、对数函数的图像问题
3、对数函数的性质及应用
三、核心知识
　对数函数的概念
我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函数？为什么？
提示：是．由对数的定义可知y＝log2x(x＞0) x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x＞0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞)．
　一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.x是自变量．
　对数函数的图像与性质
在同一坐标系中，对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx的图像如图所示，说出这四个函数图像的特征．
提示：(1)这四个图像都在y轴右侧，即定义域为(0，＋∞)．
(2)y＝log2x与y＝logx的图像关于x轴对称，y＝log3x与y＝logx的图像关于x轴对称．
(3)函数y＝logx与y＝logx的图像从左到右是下降的，即函数的减区间为(0，＋∞)．
(4)这四个图像均过定点(1，0)
对数函数的图像和性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性 质 定义域 (0，＋∞)
值域 (－∞，＋∞)
过定点 (1，0)，即当x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞) 上是增函数 在(0，＋∞) 上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
三　对数函数的性质与图像
当x为何值时，y＝logx大于零？小于零？
提示：由logx＞0得0＜x＜1；由logx＜0得x＞1.
a＞1 0＜a＜1
x＞1 logax＞0 logax＜0
0＜x＜1 logax＜0 logax＞0
三、核心例题
题型1 对数函数的概念及应用
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是，
对于A，满足，故A正确；
对于B，C，D，形式均不正确，均错误.
故选：A
2．函数的定义域为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题得，解得且.
故选：A.
3．已知偶函数在上单调递增，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是偶函数，所以，
因为，
所以，
因为在，上的单调递增，
所以，
即．
故选：B．
4．函数f(x)＝log2(x2＋8)的值域为（ ）
A．R B．[0，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
【答案】C
【详解】解：设t＝x2＋8，则t≥8，又函数y＝log2t在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥log28＝3．
故选：C．
5．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是（ ）
A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5)
【答案】C
【详解】解：令x－1＝1，即x＝2．则f(x)＝4．即函数图象恒过定点Q(2，4)．
故选：C．
题型2对数函数的图像问题
6．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意可将指数函数化为，由可知；
由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC，
由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D，
故选：A
7．已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】因为函数为幂函数，所以，得，即，
函数且的定点为，
即.
故选：D
8．已知，且，则函数与的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1；
当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，
故选：C．
9．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，根据函数的图象，可得，
根据指数函数的图象与性质，
结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.
故选：C.
10．已知函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，
因此，，，
，，，即，
故选：C．
题型3对数函数的性质及应用
11．已知，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为在上递减，，
所以，解得，
即的取值范围是．
故选：A．
12．设，若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，设，由题意知在上是增函数，
则有，即，于是．
又是对数函数，故在上恒成立，
由前面分析可知，在上是增函数，
所以，解得.
综上，得实数的取值范围是.
故选：A
13．关于函数，下列描述不正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象与x轴有且仅有两个交点 D．若，但，则
【答案】D
【详解】因为，
将关于y轴对称，可得，
将位于x轴下方的部分对折至x轴上方，可得，
将向右平移2个单位，可得，据此可得的图象，

结合图象可知：函数在区间上单调递增，函数的图象关于直线对称，函数的图象与x轴有且仅有两个交点，故A、B、C正确；
例如：，可得满足选项D条件，
但，故D错误；
故选：D.
14．已知函数在定义域内单调递减，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意，函数的定义域为，即函数在上单调递减，
因此，不等式化为：，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
15．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】,
,
所以为奇函数,
为单调增函数,
,
,恒成立,
,
.
故选：D.
当堂达标
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知：.
故选：A.
2．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，，所以.
故选：A
3．函数在区间上的值域是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】在上是减函数，
，即值域为.
故选：A.
4．下列函数中，在上单调递减的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A选项，的图象如下：

故在上单调递增，A错误；
B选项，在上单调递减，B正确；
C选项，定义域为，在处无意义，C错误；
D选项，定义域为，在处无意义，D错误.
故选：B
5．函数（且）恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于（且），
则函数（且）恒过定点．
故选：D．
6．已知，，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，则，又，
所以原函数可变为，，
所以，，所以的值域为.
故选：A.
7．已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，单调递增且，
所以当时，也单调递增，
则解得，所以.
故选：B.
8．已知，则的减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，可得，
当时，，方程不成立；
当时，方程显然不成立；
当时，，方程不成立；
所以，即，可函数为单调递减函数，
由函数，则，解得或，
当时，单调递减，所以单调递增；
当时，单调递增，所以单调递减，
所以函数的递减区间为.
故选：C.
二、多选题
9．给出下列结论，其中正确的是（　　）
A．函数的最大值为；
B．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是；
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；
D．函数在上是增函数.
【答案】CD
【详解】A中，由，可得，所以函数的最小值为，所以A错误；
B中，由函数在上是减函数，则满足，解得，所以B错误；
C中，函数与互为反函数，其图象关于对称，所以C正确；
D中，幂函数为偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，所以D正确.
故选：CD.
10．已知函数在上是减函数，则实数可能值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】CD
【详解】函数的图象开口向上，对称轴为.
在上单调递减.
要使在上是减函数，根据复合函数单调性同增异减可知：
，解得，
所以CD选项符合，AB选项不符合.
故选：CD
三、填空题
11．设函数（且），若，则的值等于 ．
【答案】16
【详解】
.
故答案为：.
12．已知函数的定义域为，则函数的值域是 ．
【答案】
【详解】∵，∴，即，
即，则函数的值域为.
故答案为：
四、解答题
13．已知函数（，且）
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性并证明.
【详解】（1）由题可得，
或，
所以函数定义域为.
（2）由（1）知的定义域关于原点对称，
可得
所以为奇函数.
14．已知指数函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)求关于的不等式的解集．
【详解】（1）由题知指数函数，则，得或，又，
图象经过，则，解得；
（2），以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，
∴满足条件，
∴不等式的解集为．
15．已知函数是的反函数且，且函数的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）是的反函数，且，
又的图象过点，的图象过点，
，解得：，.
（2）由得：，
，解得：或，
即实数的取值范围为.
16．已知函数，．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)讨论函数的值域．
【详解】（1）且，得，即定义域为.
（2）因为定义域关于原点对称，且，
所以函数为偶函数.
（3），
令，由，得，
则，，
当时，，所以原函数的值域为；
当时，，所以原函数的值域为.对数函数
一、学习目标
1．通过具体实例，了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，重点培养数学抽象核心素养．
2．探索对数函数的图像与性质，并能简单应用，重点提升直观想象核心素养．
3．理解对数函数的单调性，并能用单调性比较大小，解不等式，提升逻辑推理核心素养 ．
4．掌握对数函数的性质和图像，并能综合应用，提升数学运算核心素养．
二、重点难点
1、对数函数的概念及应用
2、对数函数的图像问题
3、对数函数的性质及应用
三、核心知识
　对数函数的概念
我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函数？为什么？
提示：是．由对数的定义可知y＝log2x(x＞0) x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x＞0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞)．
　一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.x是自变量．
　对数函数的图像与性质
在同一坐标系中，对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx的图像如图所示，说出这四个函数图像的特征．
提示：(1)这四个图像都在y轴右侧，即定义域为(0，＋∞)．
(2)y＝log2x与y＝logx的图像关于x轴对称，y＝log3x与y＝logx的图像关于x轴对称．
(3)函数y＝logx与y＝logx的图像从左到右是下降的，即函数的减区间为(0，＋∞)．
(4)这四个图像均过定点(1，0)
对数函数的图像和性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性 质 定义域 (0，＋∞)
值域 (－∞，＋∞)
过定点 (1，0)，即当x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞) 上是增函数 在(0，＋∞) 上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
三　对数函数的性质与图像
当x为何值时，y＝logx大于零？小于零？
提示：由logx＞0得0＜x＜1；由logx＜0得x＞1.
a＞1 0＜a＜1
x＞1 logax＞0 logax＜0
0＜x＜1 logax＜0 logax＞0
三、核心例题
题型1 对数函数的概念及应用
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知偶函数在上单调递增，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数f(x)＝log2(x2＋8)的值域为（ ）
A．R B．[0，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
5．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是（ ）
A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5)
题型2对数函数的图像问题
6．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知，且，则函数与的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ）
B．
C． D．
10．已知函数的图象如图所示，则（ ）
B．
C． D．
题型3对数函数的性质及应用
11．已知，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
12．设，若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
13．关于函数，下列描述不正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象与x轴有且仅有两个交点 D．若，但，则
14．已知函数在定义域内单调递减，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
当堂达标
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数在区间上的值域是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，在上单调递减的是（ ）．
A． B． C． D．
5．函数（且）恒过定点（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的减区间为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给出下列结论，其中正确的是（　　）
A．函数的最大值为；
B．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是；
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；
D．函数在上是增函数.
10．已知函数在上是减函数，则实数可能值是（ ）
A． B． C．1 D．
三、填空题
11．设函数（且），若，则的值等于 ．
12．已知函数的定义域为，则函数的值域是 ．
四、解答题
13．已知函数（，且）
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性并证明.
14．已知指数函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)求关于的不等式的解集．
15．已知函数是的反函数且，且函数的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若成立，求实数的取值范围．
16．已知函数，．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)讨论函数的值域．

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