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土木工程识图 教案首页
教学对象 授课日期
教学内容（章、节） 第3章 投影的基本知识 3.1 投影的概念和分类 计划学时 2
教学形式 课堂教学
教学目的 总体要求
掌握部分：正投影特性熟悉部分：平行投影的基本性质了解部分：投影的基本要素、中心投影法和平行投影法的区别
能力要求
1.理解投影的概念 2.了解投影的分类及特性3.了解工程上常用的投影图4.掌握平行投影的基本性质
教学重点与难点 重点与难点：点、 直线、 平面的正投影特性
教学方法 讲授教学法和模拟演示教学法：1.理解投影的概念和基本要素。2.了解投影的分类及工程上常用的投影图。3.掌握点、 直线、 平面的正投影特性。
四、教学过程 备注
1、直线的平行线和垂直线 2、正多边形画法 3、徒手作图 在光线的照射下，形体在地面或墙面上都会产生影子，这些影子在某种程度上能够显示出形体的形状和大小。当光线的照射角度和距离发生变化时，形体影子的位置、形状等也随之发生变化。投影的概念和分类3.1 投影的概念和分类3.1.1 投影的概念在投影理论中，我们把物体称为形体；把光源称为投射中心；表示光源的线称为投射线；光线的射向称为投射方向；落影的平面（如地面、墙面等）称为投影面；所产生的影子称为投影；用投影表示形体的形状和大小的方法称为投影法；用投影法画出的形体图称为投影图。产生投影必须具备投射线、投影面和形体（或几何元）三个条件，三者缺一不可，称为投影的三要素。3.1.2 投影的分类根据投射中心与投影面位置的不同，投影分为中心投影和平行投影两大类。1. 中心投影投射中心距离投影面为有限远时，所有的投射线都交汇于投射中心S，这种投影方法称为中心投影法。由此投影方法得到的投影图称为中心投影图，简称中心投影。中心投影的大小和原形体不相等，不能准确地度量出形体的真实尺寸大小，适用于绘制透视图。2. 平行投影投射中心距离投影面为无限远时，所有的投射线成为平行线，这种投影方法称为平行投影法。由此投影方法得到的投影图称为平行投影图，简称平行投影。平行投影的大小与形体和投射中心的距离远近无关。根据投射线和投影面夹角的不同，平行投影又可以分为斜投影和正投影两种。(1)斜投影投射方向倾斜于投影面时所作出形体的平行投影称为斜投影。斜投影适用于绘制斜轴测投影图。(2) 正投影投射方向垂直于投影面时所作出形体的平行投影称为正投影。正投影能反映出形体的真实形状和大小，故一般工程图样都是按正投影原理绘制的, 我们把用正投影法绘制的图形称为正投影图。工程上常用的投影图有以下四种：（1）透视投影图透视投影图是用中心投影法绘制的单面投影图。透视投影图同人的眼睛观察物体或摄影所得的结果相似，符合人的视觉印象，直观性强，形象逼真，富有立体感，但作图复杂，度量性差，常用于绘制初步设计方案图、建筑效果图、工艺美术和宣传广告画等，在建筑工程设计中，一般用作辅助图样。（2）轴测投影图轴测投影图是用平行投影法将形体及确定其空间位置的直角坐标系，投射到选定的投影面上所得到的单面投影图。轴测投影图立体感较强，非常直观，但作图较复杂，表面形状在图中往往失真，度量性较差，但是形体上互相平行且长度相等的线段，在轴测投影图上仍互相平行、长度相等，所以一般用作工程图的辅助图样。（3）正投影图通常采用多面正投影图。多面正投影图是用正投影的方法将形体分别投射到两个或两个以上相互垂直的投影面上，然后将各投影面展开所得到的投影图。正投影图能正确反映形体的形状和大小，并且作图简便，度量性好，所以工程上应用最广，但缺乏立体感，直观性不强，无投影知识的人员很难看懂。（4）标高投影图标高投影图是用正投影方法绘制的带有高程数字标记的单面投影图。标高投影图是绘制地形图等高线的主要方法, 常用来表达地面的形状，如地形图等。作图时用一组等距离的水平面切割地面，其交线为等高线，将不同高程的等高线投影在水平投影面上，并注出等高线的高程，又称等高线图。3.1.2 正投影的特性1. 类似性点的正投影仍然是点，当直线段倾斜于投影面时，直线的正投影仍是直线，但比实长短；当平面倾斜于投影面时，平面的正投影与平面类似，仍然保留其空间几何形状，但比实形小，这种性质称为正投影的类似性。2. 全等性当空间直线段平行于投影面时，其投影与直线段等长；当空间平面平行于投影面时，其投影与平面全等。即空间直线段的长度和平面的大小可以从投影面中直接度量出来，这种性质称为正投影的全等性。3. 积聚性当空间直线段垂直于投影面时，其正投影积聚为一个点；当空间平面垂直于投影面时，其正投影积聚为一条直线，这种性质称为正投影的积聚性，这种投影称为积聚投影。4. 平行性两平行直线的投影仍互相平行。5. 从属性直线上的点的投影仍在直线的投影上。6. 定比性点分线段所成两线段长度之比等于两线段的投影长度之比, 两平行线段长度之比等于它 们的投影长度之比。 用PPT动画演示投影的形成，并让学生思考投影和影子的区别。让学生思考问题：投影的大小与形体和投射中心的距离有何关系, 在投射中心与投影面距离不变的情况下, 形体距投射中心变近, 影子如何变化？ 要给学生强调：一般的建筑工程图样, 都是按照正投影的方法绘制的。为了把形体各面和内部形状变化都反映在投影图中，还假设投射线是可以穿透物体的。可见的线用实线绘制，不可见的线用虚线绘制。PPT展示工程上常用的四种投影图，并比较总结四种投影图的特征。PPT展示正投影的特性。
投影的概念和基本要素。投影的分类及工程上常用的投影图。作业：1. 理解投影的概念和分类，并比较不同投影图的特点。2.正确理解正投影图的特性。
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教学内容（章、节） 第3章 投影的基本知识 3.2 正投影图 计划学时 2
教学形式 课堂教学
教学目的 总体要求
掌握部分：三面投影图的规律熟悉部分：三面投影图的尺度、方向、作图方法和符号了解部分：三面投影图的形成和展开
能力要求
1.理解三面正投影图的形成原理 2.掌握三面投影图的规律
教学重点与难点 重点与难点：三面投影图的规律
教学方法 讲授教学法和演示教学法：1.了解三面投影图的形成原理。2.了解三面投影图的展开方法。3.掌握三面投影图的规律。
四、教学过程 备注
两个形状不同的物体，而它们在某个投影方向上的投影图却可能完全相同。可见，单面正投影不能完全确定物体的形状，只用一个正投影图来表达形体是不够的。 正投影图3.2 正投影图3.2.1三面投影图的形成1. 三面投影图的形成首先建立一个三投影面体系。其中呈水平方向的投影面称为水平投影面，简称H面；与水平投影面垂直且平行于形体正面和背面的投影面称为正立投影面,简称V面；与水平投影面及正立投影面同时垂直相交的投影面称为侧立投影面，用字母W表示, 简称W面。H、V、W三个投影面两两相交，其交线称为投影轴，分别是OX、OY、OZ投影轴。三条投影轴相交于一点O，称为原点。2. 三个投影面的展开由水平投影图（H投影）、正面投影图（V投影）)和侧面投影图（W投影）所组成的投影图，称为三面投影图，简称三面投影。为了作图方便，我们要将互相垂直的三个投影面展开在一个平面上。展开的方法是：V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°。这时OY轴分成了两条，位于H面上的Y轴称为OYH , 位于W面上的Y轴称为OYW。3.2.2三面投影图的规律1. 尺度关系形体的H面投影反映了形体的水平面形状和形体的长度及宽度，V面投影反映了形体的正面形状和形体的长度及高度，W面投影反映了形体的左侧面形状和形体的宽度及高度。“长对正、高平齐、宽相等”三等关系：H面投影和V面投影长度相等，左右对正；V面投影和W面投影高度相等，上下看齐；H面投影和W面投影宽度相等，前后对应。2. 方向关系H面投影图只反映形体的前、后和左、右四个方向的情况，不反映上、下两个方向的情况; V面投影图只反映形体的上、下和左、右四个方向的情况，不反映前、后两个方向的情况；W面投影图只反映形体的前、后和上、下四个方向的情况，不反映左、右两个方向的情况。3. 简单形体的投影图形体的形状是多种多样的，有简单有复杂，有些简单形体只需要用两个，甚至一个投影图就能表达清楚。4. 三面正投影图的作图方法和符号(1) 三面正投影图的作图方法和步骤1) 在图纸上先画出水平和垂直十字相交线，以作为正投影图中的投影轴。2) 根据形体在三投影面体系中的放置位置，先画出能够反映形体特征的V面投影图或H面投影图。3) 根据投影关系, 由“长对正”的投影规律, 画出H面投影图或V面投影图；由“高平齐”的投影规律，把V面投影图中涉及高度的各相应部位用水平线拉向W投影面；由“宽相等”的投影规律，用以原点O为圆心作圆弧或过原点O作45°斜线的方法, 得到引线在W投影面上与“等高”水平线的交点，连接各关联点而得到W面投影图。(2) 三面正投影图中的点、线、面符号空间形体上的点用大写字母A、B、C…或大写罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ…表示；其H面投影用相应的a、b、c…或数字1、2、3…表示； V面投影用相应的a′、b′、c′…或1′、2′、3′…表示；W面投影用相应的a″、b″、c″…或1″、2″、3″…表示。投影图中直线的标注，用直线两端的字母表示，如空间直线AB在H面投影图上标注为ab，在V面投影图上标注为a′b′，在W面投影图上标注为a″b″。空间的面通常用P、Q、R…表示，其H面投影图、V面投影图和W面投影图分别用p、q r…；p′、q′、r、…; p″、q″、r″…表示。 用PPT展示三面投影体系，并强调形体在三面投影体系的放置规则。用PPT展示三个投影面的展开过程。用PPT展示讲解的同时老师在黑板上徒手画出水平线、垂直线及倾斜线。用PPT演示三面正投影图的作图方法和步骤。
三面投影图的形成。三面投影图的规律。作业：1. 理解三面正投影图的形成原理。2.三面投影图的尺度、方向、作图方法和符号。
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教学内容（章、节） 第3章 投影的基本知识 3.3 点的投影 计划学时 2
教学形式 课堂教学
教学目的 总体要求
掌握部分：点的坐标、空间两点的相对位置以及重影点的识读熟悉部分： 点的三面投影规律
能力要求
1.理解点的三面投影特征 2.掌握空间两点的相对位置、重影点的识读方法
教学重点与难点 重点与难点：空间两点的相对位置、重影点的识读
教学方法 讲授教学法和演示教学法：1. 理解点的三面投影规律。2. 空间两点的相对位置。3. 重影点。
四、教学过程 备注
研究形体的投影，就是研究形体上点、线、面的投影。而点是构成线、面、体的最基本的几何元素，研究点的投影是学习线、面、体投影的基础。 点的投影3.3 点的投影3.3.1点的投影规律1. 点的单面投影过空间点A向H面引一条垂线，该垂线与H面产生交点a，a点称为空间点A在H面上的正投影。2. 点的两面投影过空间点A分别向H面和V面作垂线，所得到的两个垂足a和a′即为点A的两个正投影（简称投影）。其中，a称为点A在H面上的正投影，即水平投影；a′称为点A在V面上的正投影，即正面投影。保持V面不动，使H面绕投影轴OX向下旋转90°, 使其与V面重合，便得到展开后点的两面投影图。点的两面投影规律:1) 点的水平投影a和正面投影a′的连线垂直于投影轴OX，即aa′⊥OX。2) 点的水平投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离, 即aax = Aa′。3) 点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离, a′ax=Aa。3. 点的三面投影将空间点A置于三面投影体系中，过空间点A分别向H、V、W投影面投射，作出A点的三面正投影a、a′、a″。为使三面投影a、a′和a″处在同一个平面上，仍规定V面不动，使H面绕投影轴OX向下旋转90°，使W面绕投影轴OZ向右旋转90°，都与V面重合。4. 点的投影规律点的三面投影规律:1) 点的水平投影a和正面投影a′的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。2) 点的正面投影a′和侧面投影a″的连线垂直与OZ轴，即a′a″⊥OZ。3) 点的侧面投影a″到OZ轴的距离等于点的水平投影a到OX轴的距离，都等于点到V面的距离，即a″az = aax = Aa′。点的三个投影到各投影轴的距离，分别代表空间点到相应的投影面的距离。点的正投影仍然是点，而且在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处。只要给出一点的任意两个投影，就可以求出第三个投影。3.3.2空间两点的相对位置、 重影点1. 点的坐标将三面投影体系看作一个空间直角坐标系，投影轴原点O相当于坐标系原点，投影轴OX、OY、OZ相当于坐标轴X、Y、Z轴，投影面H、V、W相当于三个坐标面。空间一点A到三个投影面的距离，就是点A的三个坐标 (用小写字母x、y、z表示)，即：1) 空间点A到W面的距离为x坐标，即Aa″ = a′az = aayH = x。 2) 空间点A到V面的距离为y坐标, 即Aa′ = aax = a″az = y。3) 空间点A到H面的距离为z坐标, 即Aa = a′ax= a″ayW = z。空间点及其投影位置可用坐标方法表示，如点A的空间坐标可表示为A ( x，y，z) 。2. 空间两点的相对位置空间两点的相对位置是指两点间前后、左右、上下的位置关系，可由两点的三面投影图反映出来，H面投影反映两点的左右、前后位置关系；V面投影反映两点的上下、左右位置关系；W面投影反映两点的上下、前后位置关系。按x坐标判别两点的左右关系，x大者在左边，x小者在右边。按y坐标判别两点的前后关系，y大者在前边，y小者在后边。按z坐标判别两点的上下关系，z大者在上边，z小者在下边。3. 重影点当空间的两点位于同一条投射线上时，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点，这两个点就称为对这个投影面的重影点。当空间两点有两个坐标相同时，在相应的投影面上就会出现重影点。如果沿着投射方向观看重影点，必然有一点可见，而另一个点不可见。 已知A点的空间位置，其正投影a是唯一确定的；但是, 已知A点的正投影a，不能唯一确定点A的空间位置。有了点的两面投影图, 点在空间的位置能被唯一确定。根据学生掌握情况，可适当补充特殊位置点的两面投影。根据学生掌握情况，可适当补充特殊位置点的三面投影。课堂练习：已知点的两面投影，求第三个投影。思考：已知一空间点的坐标求该点的三个投影的坐标值。让学生根据点的三面投影图和坐标值分别判断两点的相对位置。结判别点可见性的方法。
点的投影规律。空间两点的相对位置、 重影点。作业：1.完成教材观察与思考内容。2.完成配套习题集相关内容。
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教学对象 授课日期
教学内容（章、节） 第3章 投影的基本知识 3.4 直线的投影 计划学时 2
教学形式 课堂教学
教学目的 总体要求
掌握部分：直线的投影规律和识读方法熟悉部分：直线的三面投影特征了解部分：直线上点的投影规律
能力要求
1.理解直线的三面投影特征 2.能分析三面投影中两直线的相对位置关系
教学重点与难点 重点与难点：直线的投影规律和识读方法
教学方法 讲授教学法和演示教学法：1.掌握直线的投影特性。2.了解直线上的点的投影规律。3.掌握识读直线投影图的方法。
四、教学过程 备注
空间一条直线可由直线上的任意两点确定。换句话说，要确定了直线上的任意两点，该直线在空间的位置即可确定下来。一条直线的投影，可由直线上两点的投影来确定。 直线的投影3.4 直线的投影3.4.1直线的投影特性1. 直线投影的形成要作直线的各个投影，一般只需作出该直线上任意两点在各个投影面上的投影，然后分别用直线连接两点在同一投影面上的投影即可。在同一投影面上的投影简称同面投影。2. 直线对投影面的倾角一条直线对投影面H、V、W的夹角称为直线对投影面的倾角。 直线对H面的倾角称为α角，α角的大小等于AB与ab的夹角；直线对V面的倾角称为β角，β角的大小等于AB与a′b′的夹角；直线对W面的倾角称为γ角，γ角的大小等于AB与a″b″的夹角。3. 投影面垂直线垂直于一个投影面，平行于另两个投影面的直线，称为投影面垂直线。铅垂线：垂直于H面，平行于V、W面的直线。正垂线：垂直于V面，平行于H、W面的直线。侧垂线：垂直于W面，平行于H、V面的直线。直线段在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点，其余两投影反映实长，并垂直相应的投影轴。4. 投影面平行线平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面的直线称为投影面平行线。水平线：平行于H面, 倾斜于V、W面的直线。正平线：平行于V面，倾斜于H、W 面的直线。侧平线：平行于W面，倾斜于H、V 面的直线。直线在它所平行的投影面上的投影倾斜投影轴，并且反映实长和倾角，其余两投影面上的投影分别平行相应的投影轴。5. 一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。一般位置直线在各投影面上的投影都倾斜于投影轴，且都不反映实长。3.4.2直线上的点的投影规律直线与点的相对位置有点在直线上和点不在直线上之分。1. 从属性直线上点的投影，必定在该直线的同面投影上。反之，一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则此点必定在该直线上。如果点有一个投影不在该直线的同面投影上，则此点一定不在该直线上。2. 定比性若直线上的点分线段成比例, 则此点的各投影相应地分该线段的同面投影成相同的比例。3.4.3识读直线投影图在直线的三个投影中，仅有一个投影倾斜于投影轴，即可判别该直线为投影面平行线，且平行于倾斜投影所在的投影面。在直线的三个投影中，有一个投影积聚为一个点，即可判别该直线为投影面垂直线，且垂直于积聚投影所在的投影面。在直线的三个投影中，若有两个投影倾斜于投影轴，即可判别该直线为一般位置直线。 用PPT展示投影面垂直线的投影图，并总结投影特性。用PPT展示投影面平行线的投影图，并总结投影特性。讲解例题，随后学生练习。例题讲解，随后学生练习。
直线的投影特性。直线上的点的投影规律识读直线投影图作业：1.完成教材观察与思考内容。2.完成配套习题集相关内容。
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教学对象 授课日期
教学内容（章、节） 第3章 投影的基本知识 3.5 平面的投影 计划学时 2
教学形式 课堂教学
教学目的 总体要求
掌握部分：各种位置平面的投影规律及作图方法熟悉部分：各种位置平面的投影特性了解部分：平面的表示方法
能力要求
1.理解平面的三面投影特征 2.能分析三面投影中点、直线、平面相对 位置关系
教学重点与难点 重点与难点：各种位置平面的投影规律及作图方法
教学方法 讲授教学法和演示教学法：1.熟悉各种位置平面的投影。2.掌握平面内的点和直线的投影规律。3.掌握识读平面投影图的方法。
四、教学过程 备注
平面一般是由若干轮廓线围成的，而轮廓线可以由其上的若干个点来确定，所以求作平面的投影，实质上也就是求作平面上点和线的投影。 平面的投影3.5 平面的投影3.5.1种位置平面的投影1. 平面的表示方法在立体几何中, 确定平面的方式有以下五种：2. 求作平面投影的方法如要求出三角形ABC的投影，只需要求出它的三个顶点A、B、C的投影, 再分别将各同面投影连接起来即可。3. 各种位置平面的投影特性根据平面与三个投影面的相对位置，平面可分为投影面平行面、投影面垂直面和投影面倾斜面三种。投影面平行面和投影面垂直面统称为特殊位置平面，投影面倾斜面称为一般位置平面。平面与投影面H、V、W的倾角，分别用α、β、γ表示。(1) 投影面平行面平行于一个投影面，同时垂直于另外两个投影面的平面，称为投影面平行面。水平面：平行于H面，同时垂直于V、W面的平面。正平面：平行于V面，同时垂直于H、W面的平面。侧平面：平行于W面，同时垂直于H、V面的平面。平面在它所平行的投影面上的投影反映平面实形，由于投影面平行面又同时垂直于另外两个投影面，所以它在另外两个投影面上的投影都积聚为一直线，并分别平行于相应的投影轴。(2) 投影面垂直面垂直于一个投影面，同时倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直面。铅垂面：垂直于H面，倾斜于V、W面的平面。正垂面：垂直于V面，倾斜于H、W面的平面。侧垂面：垂直于W面，倾斜于H、V面的平面。平面在它所垂直的投影面上的投影，积聚为一条与投影轴倾斜的直线，而且此直线与投影轴之间的夹角分别反映该平面与另外两个投影面的倾角；其余两个投影面上的投影都比实形小，但反映原平面图形的几何形状。4. 一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面。一般位置平面在各投影面上的投影均为空间平面图形的类似形封闭线框，既不反映平面的实形，没有积聚性，也不反映平面与投影面倾角的大小。3.5.2平面内的点和直线的投影规律1. 平面内的点如果一个点在平面内的某一条直线上，则此点必定在该平面上。反之，一个点若在平面上，它必定在平面内的一条直线上。若点的投影属于平面内某一直线的各同面投影，且符合点的投影规律，则点属于平面。在平面内取点，要先在平面内取一直，然后在该直线上定点。2. 平面内的直线如果一条直线通过平面内的两个点，或通过平面内的一个点又与该平面内的另一条直线平行，则此直线必定在该平面内。反之，平面内的直线必通过平面内的两点或通过平面内的一点，且平行于平面内的另一条直线。要在平面内取直线，需先在平面内取点，并保证直线通过平面内的两个点，或过平面内的一个点且与平面内的另一条直线平行。3.5.3识读平面投影图在平面的三个投影中，有一个投影积聚为一平行于投影轴的直线，即可判别该平面为投影面平行面，且平行于非积聚投影所在的投影面。可归纳为：“一框两线，框在哪面，平行哪面”。在平面的三个投影中，有一个投影积聚为一倾斜于投影轴的直线，即可判别该平面为投影面垂直面，且垂直于积聚投影所在的投影面。可归纳为：“一线两框, 线在哪面, 垂直哪面”。在平面的三个投影中，三个投影均为平面图形，即可判别该平面为一般位置平面。可归纳为：“三框定是一般面”。 强调：不在同一直线上的三个点才能确定一个平面。用PPT展示投影面平行面的投影图，并总结投影特性。用PPT展示投影面垂直面的投影图，并总结投影特性。思考：根据立体图，在投影图中找出指定平面的三面投影，并判断平面相对投影面的位置。 例题讲解，随后学生练习。思考：判断指定平面的位置。
各种位置平面的投影。平面内的点和直线的投影规律识读平面投影图作业：1.完成教材观察与思考内容。2.完成配套习题集相关内容。
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