资源简介

专题十 平面解析几何
真题卷 题号 考点 考向
2023新课标1卷 5 椭圆的性质 已知椭圆离心率求参
6 直线与圆的位置关系 求过圆外一点作圆的两条切线所成角
16 双曲线的性质 求双曲线的离心率
22 抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系 求轨迹方程、四边形的周长的最值问题（求弦长）
2023新课标2卷 5 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交时的面积问题
10 抛物线的方程与性质 求抛物线的方程、焦点弦问题
15 直线与圆的位置关系 直线与圆相交的弦长问题
21 双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系 求双曲线的标准方程、求动点的轨迹
2022新高考1卷 11 抛物线的标准方程、性质 抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系
14 圆与圆的位置关系 求两圆的公切线方程
16 直线与椭圆位置关系 椭圆的定义的应用、求椭圆中的弦长
21 双曲线的标准方程、直线与双曲线位置关系 求双曲线的标准方程、交线的斜率，三角形的面积
2022新高考2卷 3 直线的倾斜角与斜率 求直线的斜率
10 抛物线的定义与性质、直线与抛物线位置关系 求交线的斜率、抛物线定义与性质的应用
15 直线与圆的位置关系 求直线方程、已知直线与圆的位置关系求参
16 直线与椭圆的位置关系 求与椭圆相交的直线方程
21 双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系 求双曲线的标准方程、求点的轨迹方程、判断直线的位置关系
2021新高考1卷 5 椭圆的定义 求椭圆上的点到两焦点距离积的最值
11 直线与圆的位置关系 求点到直线的距离、直线与圆相切的位置关系中的最值问题
14 抛物线的定义与性质 求抛物线的准线方程
21 双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系 求点的轨迹方程、直线与双曲线位置关系中的定值问题（斜率之和为定值）
2021新高考2卷 3 抛物线的性质、点到直线的距离 求抛物线焦点坐标
11 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系
13 双曲线的性质 求双曲线的渐近线方程
20 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系 求椭圆的标准方程、求椭圆的弦与圆相切时的弦长
2020新高考1卷 9 圆锥曲线的方程与性质 由参数范围判断圆锥曲线的类型及相关性质
13 直线与抛物线的位置关系 求抛物线的弦长
22 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系 求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定点问题
2020新高考2卷 10 圆锥曲线的方程与性质 由参数范围判断圆锥曲线的类型及相关性质
14 直线与抛物线的位置关系 求抛物线的弦长
【2023年真题】
1.（2023·新课标I卷 第5题）设椭圆，的离心率分别为，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查椭圆中离心率有关的计算，整体难度不大，利用关系建立方程求解即可.
【解答】
解：易得，，，得，解得故选
2. （2023·新课标I卷 第6题）过点与圆相切的两条直线的夹角为则( )
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系，二倍角公式，属于基础题．
利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出，，再利用二倍角正弦公式即可求解．
【解答】
解：，故圆心，记，设切点为M，
，，
故，，，
，故选B
3 （2023·新课标II卷 第5题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，分别求出两焦点到直线的距离，建立关系求解，为中档题.
【解答】
解：到AB的距离，到AB距离，，，
，或，
又直线与椭圆相交，消y可得，，
，，选
4. （2023·新课标II卷 第10题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A. B.
C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题.
利用直线过抛物线焦点，得出抛物线方程，再结合抛物线性质，可逐项判断.
【解答】
解：因为过抛物线的焦点，则焦点，，A选项正确；
抛物线，MN的倾斜角，，B选项错误；
以MN为直径的圆一定与准线相切，C选项正确；
联立，解得，设，
，，，
所以不是等腰三角形，D选项错误；
故选：
5. （2023·新课标I卷 第16题）已知双曲线的左右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
主要考查了双曲线的定义以及性质、余弦定理，向量共线的充要条件等.属于一般题.
根据向量的关系设参数t 得到，，的关系，勾股定理得到
由双曲线的定义得到，在中用余弦定理得到a 与c的关系.
【解答】
解：，设，
由对称性知又，故，
由双曲线的定义知，，故
在中，
解得：，故C的离心率为
6. （2023·新课标II卷 第15题）已知直线与交于A、B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__________
【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
设圆心到直线的距离为d，根据面积为，求得d的值，再根据点到直线的距离公式建立方程，即可求出m的值．
【解答】
解：由题知的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为d，则，
于是，，得或，
若取，则，此时有，解得，
若取，则，此时有，解得，
故答案为：答案不唯一
7. （2023·新课标I卷 第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为
求W的方程；
已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于
【答案】解：设点P的坐标为，由题意得，
整理，得，
故W的方程为：
设矩形的三个顶点，，在轨迹W上，且，，
令，，则，
设矩形的周长为C，由对称性不妨设，，
则当且仅当时等号成立，
令
则
令得当时，；当时，，
所以，
所以，即当且仅当时等号成立
等号不能同时成立，所以
【解析】本题考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长的求解，利用导数求最值，属于压轴题.
（1）设出点P的坐标，由距离公式即可求解；
（2）由轨迹方程设出三点坐标，由对称性结合弦长公式表示出矩形的周长，利用导数求最值即可求解.
8. （2023·新课标II卷 第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为
求C的方程：
记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，
M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
【答案】解：由题意可得，，
则，，
故C的方程为
设直线，，，
由知，
则，
联立得：，
将代入得，
则，且，得
则有，；
代入式可得，
解得，
故点P在定直线上.
【解析】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的离心率、双曲线的定直线问题，计算量较大，属于较难题.
根据题意得出a，b的值，即可求出结果；
先设出直线，，，，，可得到，，联立可得式.再将将代入双曲线方程，由韦达定理可得，再结合式，即可得定直线.即可证明点P在定直线上.
【2022年真题】
9.（2022·新高考II卷 第3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，，已知，，成公差为的等差数列，且直线OA的斜率为，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查等差数列、直线的斜率与倾斜角的关系，比例的性质，属于中档题.
【解答】
解：设，则，，
由题意得，，
且，
解得
10.（2022·新高考I卷 第11题）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A. C的准线为 B. 直线AB与C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的方程，性质，直线与抛物线的位置关系，属较难题.
先求出抛物线的方程，然后再对选项ABCD一一进行分析判断即可得.
【解答】
解：点在抛物线上，
即，所以准线为，所以A错;
直线代入，
得：，，
所以AB与C相切，故B正确.
由题知直线PQ的斜率一定存在，
则可设直线，，，
则，或，
此时，，
，故C正确;
，故D正确.
11.（2022·新高考II卷 第10题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则( )
A. 直线AB的斜率为 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题。
【解答】
解：选项设FM中点为N，则，所以
，所以，故
选项所以
所以
选项
选项由选项A，B知，，所以
，所以为钝角;
又，所以为钝角，
所以
12.（2022·新高考I卷 第14题）写出与圆和都相切的一条直线的方程__________.
【答案】或或填一条即可
【解析】
【分析】
本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题.
方法设直线方程为，利用点到直线的距离公式可求出b与c的关系，然后再进行后面的求解可得.
方法求出两圆间的位置关系，然后再利用数形结合进行求解可得.
【解答】
解：方法显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是化简得①，
化简得，，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可
方法设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
13.（2022·新高考I卷 第16题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
【答案】13
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.
根据可得，，，则：，：，解得交点M坐标，直线DE垂直平分，即，，联立方程结合韦达定理可求得，即可求得的周长.
【解答】
解：由椭圆离心率为，可得，则，
则椭圆C：，，，，
易得：，：，
可解得与DE的交点，
故直线DE垂直平分，即，，
又，
，
所以的周长
14.（2022·新高考II卷 第15题）设点，，直线 AB关于直线的对称直线为l，已知l与圆有公共点，则a的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题.
【解答】
解：因为，所以AB关于直线的对称直线为，所以，整理可得解得
15.（2022·新高考II卷 第16题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且，，则直线l的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。
【解答】
解：取AB的中点为E，因为，所以，设，
可得，即
设直线，，，
令，，令，，所以，
所以，，
，，所以直线，即
16.（2022·新高考I卷 第21题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为
求l的斜率；
若，求的面积．
【答案】
解：将点A代入双曲线方程得，化简得得：
，故双曲线方程为
由题显然直线l的斜率存在，设，设，，则联立直线与双曲线得：
，，
故，，
，
化简得：，
故，
即，而直线l不过A点，
故l的斜率
设直线AP的倾斜角为，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，
故，
而，，
由，得，
故
【解析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于较难题.
将点A代入双曲线方程得，求得，则双曲线方程为
由题显然直线l的斜率存在，设，代入双曲线方程，得出关于x的方程，利用根与系数的关系以及斜率公式求出；
设直线AP的倾斜角为，由，求出P，Q的坐标，而，，，即可求出面积.
17.（2022·新高考II卷 第21题）设双曲线的右焦点为，渐近线方程为
求C的方程;
经过F的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立：①在AB上;②③
【答案】
解：由题意可得，，故，
因此C的方程为
设直线PQ的方程为，将直线PQ的方程代入C的方程得，
则，，
设点M的坐标为，则
两式相减，得，而，
故，解得
两式相加，得，而，故，解得
因此，点M的轨迹为直线，其中k为直线PQ的斜率.
若选择①②
设直线AB的方程为，并设A的坐标为，B的坐标为
则，解得，
同理可得，
此时，
而点M的坐标满足，
解得，，
故M为AB的中点，即
若选择①③
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点，此时M不在直线上，矛盾.
故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
并设A的坐标为，B的坐标为
则，解得，
同理可得，
此时，
由于点M同时在直线上，故，解得因此
若选择②③
设直线AB的方程为，并设A的坐标为，B的坐标为
则解得，
同理可得，，
设AB的中点为，则，
由于，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线上.
将该直线与联立，解得，，
即点M恰为AB中点，故点而在直线AB上.
【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题.
【2021年真题】
18.（2021· 新高考I卷 第5题）已知，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则的最大值为( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义，椭圆中的最值问题，属于一般题.
利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可.
【解答】
解：由，是椭圆的两个焦点，点M在C上，得
所以
当且仅当时，取等号，即有最大值
故选
19.（2021·新高考II卷 第3题）抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式，题目较易.
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离为，解得舍去
故选
20.（2021·新高考I卷 第11题）（多选）已知点P在圆上，点，，则( )
A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当最小时， D. 当最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式以及以及直线与圆相切的问题，属于中档题.
根据点和圆的距离范围判断AB，根据直线与圆相切判断
【解答】
解：由点，，
可得直线AB的方程为
则圆心到直线的距离为，
故P到直线AB的最大距离为，最小距离，所以A正确，B错误.
由题意可知，当直线PB与圆相切时，最大或最小，
由于圆心到B的距离为，
此时，故C，D都正确.
故选
21.（2021·新高考II卷 第11题）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【解答】
解：圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选
22.（2021·新高考I卷 第14题）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且若，则C的准线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的准线方程，属于中档题.
根据题意设点P在第一象限，得出点P坐标为，由于PF与x轴垂直，，得出∽，根据相似比得出p的值，从而得到答案.
【解答】
解：与x轴垂直，设点P在第一象限，
点P坐标为，
又，∽，，
则，
，即，故，则准线方程为，
故答案为
23.（2021·新高考II卷 第13题）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
由双曲线离心率公式可得，再由渐近线方程即可得解.
【解答】
解：因为双曲线的离心率为2，
所以，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
24.（2021·新高考I卷 第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足记M的轨迹为
求C的方程；
设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
【答案】
解：由题意知点 M的轨迹 C是焦点在 x轴上的双曲线的右支，且，，
，
的方程为
设，设直线AB的方程为，，，
由，得，
整理得，
，，
，
设，同理可得，
由，得，
，
，，，
【解析】本题考查双曲线的定义及标准方程，直线与双曲线的位置关系的应用，属于拔高题.
由题意知点M的轨迹C是焦点在x轴上的双曲线的右支，且，，由此可求得曲线C的方程；
设，设直线AB的方程为，，，联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系结合弦长公式可求出，设，同理可表示出，再结合，可得出直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
25.（2021·新高考II卷 第20题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为
求椭圆C的方程；
设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是
【答案】
解：由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
证明：由得，曲线为，
当直线MN的斜率不存在时，直线，不满足M，N，F三点共线；
当直线MN的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线MN与曲线相切可得，解得，
联立可得，，
所以，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
设直线即，
由直线MN与曲线相切可得，所以，
联立可得，，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，
所以直线或，
所以直线MN过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是
【解析】本题考查了直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【2020年真题】
26.（2020·新高考I卷 第9题、 II卷 第10题）（多选）已知曲线，则( )
A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则C是圆，其半径为
C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，属于中档题.
根据m，n的范围，结合椭圆、双曲线、圆及直线的标准方程一一判断即可.
【解答】
解：当时，可化为，
若，则，故表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
若，可化为，表示圆心为原点，半径为的圆，故B错误；
若，则C是双曲线，令故其渐近线方程为，故C正确；
若，，可化为，即，表示两条直线，故D正确.
故选
27.（2020·新高考I卷 第13题、II卷 第14题）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的弦长问题，属于基础题.
先求出抛物线的焦点坐标，从而求出直线方程，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系从而可求得答案.
【解答】
解：抛物线的焦点为，
则直线AB的方程为，
联立得，
所以，
从而 ，
故答案为：
28.（2020·新高考I卷 第22题）已知椭圆的离心率为，且过点
求C的方程;
点M，N在C上，且，，D为垂足.证明：存在定点Q，使得为定值.
【答案】
解：由题意可知，，，
解得，，
所以椭圆方程为
证明：设点，，
因为，所以，
所以，①
当k存在的情况下，设，
联立得，
由，得，
由根与系数的关系得，，
所以，
，
代入①式化简可得，
即，
所以或，
所以直线方程为或，
所以直线过定点或，
又因为和A点重合，故舍去，
所以直线过定点，
所以AE为定值，又因为为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足为定值，此时
【解析】本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于较难题.
根据条件列方程求解即可.
联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为化简即可证明.
29.（2020·新高考II卷 第21题）已知椭圆C：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为
求C的方程；
点N为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
【答案】
解：由题意可知直线AM的方程为：，即，
当时，解得，所以，椭圆C：过点，
可得，解得，
所以C的方程：
设与直线AM平行的直线方程为：，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时的面积取得最大值．
将与椭圆方程：联立，
化简可得：，
所以，
即，解得，
与AM距离比较远的直线方程为：，
利用平行线之间的距离为：，
又，，所以
所以的面积的最大值：
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，属于拔高题．
利用已知条件求出a，然后求解b，得到椭圆方程．
设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．
/专题十 平面解析几何
真题卷 题号 考点 考向
2023新课标1卷 5 椭圆的性质 已知椭圆离心率求参
6 直线与圆的位置关系 求过圆外一点作圆的两条切线所成角
16 双曲线的性质 求双曲线的离心率
22 抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系 求轨迹方程、四边形的周长的最值问题（求弦长）
2023新课标2卷 5 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交时的面积问题
10 抛物线的方程与性质 求抛物线的方程、焦点弦问题
15 直线与圆的位置关系 直线与圆相交的弦长问题
21 双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系 求双曲线的标准方程、求动点的轨迹
2022新高考1卷 11 抛物线的标准方程、性质 抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系
14 圆与圆的位置关系 求两圆的公切线方程
16 直线与椭圆位置关系 椭圆的定义的应用、求椭圆中的弦长
21 双曲线的标准方程、直线与双曲线位置关系 求双曲线的标准方程、交线的斜率，三角形的面积
2022新高考2卷 3 直线的倾斜角与斜率 求直线的斜率
10 抛物线的定义与性质、直线与抛物线位置关系 求交线的斜率、抛物线定义与性质的应用
15 直线与圆的位置关系 求直线方程、已知直线与圆的位置关系求参
16 直线与椭圆的位置关系 求与椭圆相交的直线方程
21 双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系 求双曲线的标准方程、求点的轨迹方程、判断直线的位置关系
2021新高考1卷 5 椭圆的定义 求椭圆上的点到两焦点距离积的最值
11 直线与圆的位置关系 求点到直线的距离、直线与圆相切的位置关系中的最值问题
14 抛物线的定义与性质 求抛物线的准线方程
21 双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系 求点的轨迹方程、直线与双曲线位置关系中的定值问题（斜率之和为定值）
2021新高考2卷 3 抛物线的性质、点到直线的距离 求抛物线焦点坐标
11 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系
13 双曲线的性质 求双曲线的渐近线方程
20 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系 求椭圆的标准方程、求椭圆的弦与圆相切时的弦长
2020新高考1卷 9 圆锥曲线的方程与性质 由参数范围判断圆锥曲线的类型及相关性质
13 直线与抛物线的位置关系 求抛物线的弦长
22 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系 求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定点问题
2020新高考2卷 10 圆锥曲线的方程与性质 由参数范围判断圆锥曲线的类型及相关性质
14 直线与抛物线的位置关系 求抛物线的弦长
【2023年真题】
1.（2023·新课标I卷 第5题）设椭圆，的离心率分别为，若，则( )
A. B. C. D.
2. （2023·新课标I卷 第6题）过点与圆相切的两条直线的夹角为则( )
A. 1 B. C. D.
3 （2023·新课标II卷 第5题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则( )
A. B. C. D.
4. （2023·新课标II卷 第10题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A. B.
C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形
5. （2023·新课标I卷 第16题）已知双曲线的左右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为__________.
6. （2023·新课标II卷 第15题）已知直线与交于A、B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__________
7. （2023·新课标I卷 第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为
求W的方程；
已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于
8. （2023·新课标II卷 第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为
求C的方程：
记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，
M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
【2022年真题】
9.（2022·新高考II卷 第3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，，已知，，成公差为的等差数列，且直线OA的斜率为，则( )
A. B. C. D.
10.（2022·新高考I卷 第11题）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A. C的准线为 B. 直线AB与C相切
C. D.
11.（2022·新高考II卷 第10题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则( )
A. 直线AB的斜率为 B.
C. D.
12.（2022·新高考I卷 第14题）写出与圆和都相切的一条直线的方程__________.
13.（2022·新高考I卷 第16题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
14.（2022·新高考II卷 第15题）设点，，直线 AB关于直线的对称直线为l，已知l与圆有公共点，则a的取值范围为__________.
15.（2022·新高考II卷 第16题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且，，则直线l的方程为__________.
16.（2022·新高考I卷 第21题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为
求l的斜率；
若，求的面积．
17.（2022·新高考II卷 第21题）设双曲线的右焦点为，渐近线方程为
求C的方程;
经过F的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立：①在AB上;②③
【2021年真题】
18.（2021· 新高考I卷 第5题）已知，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则的最大值为( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
19.（2021·新高考II卷 第3题）抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
20.（2021·新高考I卷 第11题）（多选）已知点P在圆上，点，，则( )
A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当最小时， D. 当最大时，
21.（2021·新高考II卷 第11题）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
22.（2021·新高考I卷 第14题）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且若，则C的准线方程为__________.
23.（2021·新高考II卷 第13题）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________.
24.（2021·新高考I卷 第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足记M的轨迹为
求C的方程；
设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
25.（2021·新高考II卷 第20题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为
求椭圆C的方程；
设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是
【2020年真题】
26.（2020·新高考I卷 第9题、 II卷 第10题）（多选）已知曲线，则( )
A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则C是圆，其半径为
C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则C是两条直线
27.（2020·新高考I卷 第13题、II卷 第14题）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则__________.
28.（2020·新高考I卷 第22题）已知椭圆的离心率为，且过点
求C的方程;
点M，N在C上，且，，D为垂足.证明：存在定点Q，使得为定值.
29.（2020·新高考II卷 第21题）已知椭圆C：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为
求C的方程；点N为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
【答案解析】
1.（2023·新课标I卷 第5题）
解：易得，，，得，解得故选
2. （2023·新课标I卷 第6题）
解：，故圆心，记，设切点为M，
，，
故，，，
，故选B
3 （2023·新课标II卷 第5题）
解：到AB的距离，到AB距离，，，
，或，
又直线与椭圆相交，消y可得，，
，，选
4. （2023·新课标II卷 第10题）（多选）
解：因为过抛物线的焦点，则焦点，，A选项正确；
抛物线，MN的倾斜角，，B选项错误；
以MN为直径的圆一定与准线相切，C选项正确；
联立，解得，设，
，，，
所以不是等腰三角形，D选项错误；
故选：
5.（2023·新课标I卷 第16题）
解：，设，
由对称性知又，故，
由双曲线的定义知，，故
在中，
解得：，故C的离心率为
6. （2023·新课标II卷 第15题）
解：由题知的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为d，则，
于是，，得或，
若取，则，此时有，解得，
若取，则，此时有，解得，
故答案为：答案不唯一
7. （2023·新课标I卷 第22题）
解：设点P的坐标为，由题意得，
整理，得，
故W的方程为：
设矩形的三个顶点，，在轨迹W上，且，，
令，，则，
设矩形的周长为C，由对称性不妨设，，
则当且仅当时等号成立，
令
则
令得当时，；当时，，
所以，
所以，即当且仅当时等号成立
等号不能同时成立，所以
【解析】本题考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长的求解，利用导数求最值，属于压轴题.
（1）设出点P的坐标，由距离公式即可求解；
（2）由轨迹方程设出三点坐标，由对称性结合弦长公式表示出矩形的周长，利用导数求最值即可求解.
8. （2023·新课标II卷 第21题）
解：由题意可得，，
则，，
故C的方程为
设直线，，，
由知，
则，
联立得：，
将代入得，
则，且，得
则有，；
代入式可得，
解得，
故点P在定直线上.
【解析】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的离心率、双曲线的定直线问题，计算量较大，属于较难题.
根据题意得出a，b的值，即可求出结果；
先设出直线，，，，，可得到，，联立可得式.再将将代入双曲线方程，由韦达定理可得，再结合式，即可得定直线.即可证明点P在定直线上.
9.（2022·新高考II卷 第3题）
解：设，则，，
由题意得，，
且，
解得
10.（2022·新高考I卷 第11题）（多选）
解：点在抛物线上，
即，所以准线为，所以A错;
直线代入，
得：，，
所以AB与C相切，故B正确.
由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线，，，
则，或，
此时，，
，故C正确;
，故D正确.
11.（2022·新高考II卷 第10题）（多选）
解：选项设FM中点为N，则，所以
，所以，故
选项所以
所以
选项
选项由选项A，B知，，所以
，所以为钝角;
又，所以为钝角，
所以
12.（2022·新高考I卷 第14题）
解：方法显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是化简得①，
化简得，，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可
方法设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
13.（2022·新高考I卷 第16题）
解：由椭圆离心率为，可得，则，
则椭圆C：，，，，
易得：，：，
可解得与DE的交点，
故直线DE垂直平分，即，，
又
，
，
所以的周长
14.（2022·新高考II卷 第15题）
解：因为，所以AB关于直线的对称直线为，所以，整理可得解得
15.（2022·新高考II卷 第16题）
解：取AB的中点为E，因为，所以，设，
可得，即
设直线，，，
令，，令，，所以，
所以，，
，，所以直线，即
16.（2022·新高考I卷 第21题）
解：将点A代入双曲线方程得，化简得得：
，故双曲线方程为
由题显然直线l的斜率存在，设，设，，则联立直线与双曲线得：
，，
故，，
，
化简得：，
故，
即，而直线l不过A点，
故l的斜率
设直线AP的倾斜角为，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，
故，
而，，
由，得，
故
17.（2022·新高考II卷 第21题）
解：由题意可得，，故，
因此C的方程为
设直线PQ的方程为，将直线PQ的方程代入C的方程得，
则，，
设点M的坐标为，则
两式相减，得，而，
故，解得
两式相加，得，而，故，解得
因此，点M的轨迹为直线，其中k为直线PQ的斜率.
若选择①②
设直线AB的方程为，并设A的坐标为，B的坐标为
则，解得，
同理可得，
此时，
而点M的坐标满足，
解得，，
故M为AB的中点，即
若选择①③
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点，此时M不在直线上，矛盾.
故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
并设A的坐标为，B的坐标为
则，解得，
同理可得，
此时，
由于点M同时在直线上，故，解得因此
若选择②③
设直线AB的方程为，并设A的坐标为，B的坐标为
则解得，
同理可得，，
设AB的中点为，则，
由于，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线上.
将该直线与联立，解得，，
即点M恰为AB中点，故点而在直线AB上.
18.（2021· 新高考I卷 第5题）
解：由，是椭圆的两个焦点，点M在C上，得
所以
当且仅当时，取等号，即有最大值
故选
19.（2021·新高考II卷 第3题）
解：抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离为，
解得舍去
故选
20.（2021·新高考I卷 第11题）（多选）
解：由点，，
可得直线AB的方程为
则圆心到直线的距离为，
故P到直线AB的最大距离为，最小距离，所以A正确，B错误.
由题意可知，当直线PB与圆相切时，最大或最小，
由于圆心到B的距离为，
此时，故C，D都正确.
故选
21.（2021·新高考II卷 第11题）（多选）
解：圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选
22.（2021·新高考I卷 第14题）
解：与x轴垂直，设点P在第一象限，
点P坐标为，
又，∽，，
则，
，即，故，则准线方程为，
故答案为
23.（2021·新高考II卷 第13题）
解：因为双曲线的离心率为2，
所以，
所以，
所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
24.（2021·新高考I卷 第21题）
解：由题意知点 M的轨迹 C是焦点在 x轴上的双曲线的右支，且，，
，
的方程为
设，设直线AB的方程为，，，
由，得，
整理得，
，，
，
设，同理可得，
由，得，
，，，，
25.（2021·新高考II卷 第20题）
解：由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
证明：由得，曲线为，
当直线MN的斜率不存在时，直线，不满足M，N，F三点共线；
当直线MN的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线MN与曲线相切可得，解得，
联立可得，，
所以，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
设直线即，
由直线MN与曲线相切可得，所以，
联立可得，，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，
所以直线或，
所以直线MN过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是
【2020年真题】
26.（2020·新高考I卷 第9题、 II卷 第10题）（多选）
解：当时，可化为，
若，则，故表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
若，可化为，表示圆心为原点，半径为的圆，故B错误；
若，则C是双曲线，令故其渐近线方程为，故C正确；
若，，可化为，即，表示两条直线，故D正确.
故选
27.（2020·新高考I卷 第13题、II卷 第14题）
解：抛物线的焦点为，
则直线AB的方程为，
联立得，
所以，
从而 ，
故答案为：
28.（2020·新高考I卷 第22题）
解：由题意可知，，，
解得，，所以椭圆方程为
证明：设点，，
因为，所以，
所以，①
当k存在的情况下，设，
联立得，
由，得，
由根与系数的关系得，，
所以，
，
代入①式化简可得，
即，
所以或，
所以直线方程为或，
所以直线过定点或，
又因为和A点重合，故舍去，
所以直线过定点，
所以AE为定值，又因为为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足为定值，此时
29.（2020·新高考II卷 第21题）
解：由题意可知直线AM的方程为：，即，
当时，解得，所以，椭圆C：过点，
可得，解得，
所以C的方程：
设与直线AM平行的直线方程为：，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时的面积取得最大值．
将与椭圆方程：联立，
化简可得：，
所以，
即，解得，
与AM距离比较远的直线方程为：，
利用平行线之间的距离为：，
又，，所以
所以的面积的最大值：
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