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专题七 平面向量与解三角形
真题卷 题号 考点 考向
2023新课标1卷 3 向量的数量积 向量数量积的坐标运算
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
2023新课标2卷 13 向量的数量积 利用向量数量积求模长
17 解三角形 解三角形的综合应用
2022新高考1卷 3 平面向量的线性运算 向量的加减及数乘运算
18 解三角形 正弦定理变形、三角恒等变形
2022新高考2卷 4 向量的数量积 向量数量积的坐标运算
18 解三角形 正余弦定理解三角形
2021新高考1卷 10 向量的坐标运算 求向量的模、向量数量积的坐标运算
19 解三角形 正、余弦定理解三角形
2021新高考2卷 15 向量的数量积 向量数量积的运算
18 解三角形 正弦定理解三角形、余弦定理判断三角形的形状
2020新高考1卷 7 向量的数量积 求向量数量积的取值范围
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
2020新高考2卷 3 向量的线性运算 向量的加、减法运算
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
【2023年真题】
1.（2023·新课标I卷 第3题）已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2. （2023·新课标II卷 第13题）已知向量，满足，，则__________
3. （2023·新课标I卷 第17题）已知在中，，
求；
设，求AB边上的高.
4. （2023·新课标II卷 第17题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知面积为，D为BC的中点，且
若，求；
若，求b，
【2022年真题】
5.（2022·新高考I卷 第3题）在中，点D在边AB上，记，，则( )
A. B. C. D.
6.（2022·新高考II卷 第4题）已知向量，，，若，则实数( )
A. B. C. 5 D. 6
7.（2022·新高考I卷 第18题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
若，求
求的最小值.
8.（2022·新高考II卷 第18题）记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，且，
求的面积;
若，求
【2021年真题】
9.（2021·新高考I卷 第10题）（多选）已知O为坐标原点，点，，，，则( )
A. B.
C. D.
10.（2021·新高考I卷 第19题 ）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，点D在边AC上，
证明：
若，求
11.（2021·新高考II卷 第15题）已知向量，，__________.
12.（2021·新高考II卷 第18题）在中，角所对的边长分别为
若，求的面积；
是否存在正整数a，使得为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【2020年真题】
13.（2020·新高考I卷 第7题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
14.（2020·新高考II卷 第3题）在中，D是AB边上的中点，则( )
A. B. C. D.
15.（2020·新高考I卷 第17题、II卷 第17题）)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，__________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案解析】
1.（2023·新课标I卷 第3题）
解：，所以故选
2. （2023·新课标II卷 第13题）
解：将原式平方：
化简可得：
即，故
3. （2023·新课标I卷 第17题）
解：，，解得
可化为，
即，
展开得：，整理得，
将代入，得，
，
由知，，，
又，，
边上的高
4. （2023·新课标II卷 第17题）
解：，D为BC的中点，
，即，解得，则
过点A作于点E，则在中，，，
在中，，
在中，，
，
，即，
又，，
，
，，
再将代入，即可解得
【2022年真题】
5.（2022·新高考I卷 第3题）
解：，
6.（2022·新高考II卷 第4题）
解：由已知有，，，，
故，
解得
7.（2022·新高考I卷 第18题）
解：，且，
，，
又A，，，
又，，
由正弦定理，
得，
，令，
则，，
在时递减，在时递增，
因此时，
8.（2022·新高考II卷 第18题）
解：边长为a的正三角形的面积为，
，即，
由得：，，
故
由正弦定理得：，故
9.（2021·新高考I卷 第10题）（多选）
解：根据题意，依次分析选项：
对于A、，A正确；
对于B、，
，B不正确；
对于C、，
，C正确；
对于D、，，D不正确；
故选
10.（2021·新高考I卷 第19题 ）
证明：，，
由正弦定理可知，得，
，
又，
解：，可知，则，
在中，，
在中，，
，，
即，整理得，
又，则，
即，可得或，
当时，，
在中，由余弦定理可得，
当时，，此时，不合实际，则舍去，
故：
11.（2021·新高考II卷 第15题）
解：由已知可得
，
因此，
故答案为：
12.（2021·新高考II卷 第18题）
解：因为，
根据正弦定理可知，
则，故，，
，
所以C为锐角，则，
因此，
显然，若为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得，
又，则，即，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，
，故
13.（2020·新高考I卷 第7题）
解：
由投影定义知，当点P与点F重合时，
取最小值
当点P与点C重合时，取最大值
故的取值范围是
故选
14.（2020·新高考II卷 第3题）
解：在中，D是AB边上的中点，
则
故选：
15.（2020·新高考I卷 第17题、II卷 第17题）
解： ，由正弦定理得 ，
，由余弦定理得： ，
化简得 ；
假设三角形存在，
若选①，有，则有，则
故存在满足题意的三角形，
若选②，有，
则有，
则 ，故 ，
故存在满足题意的三角形，
若选③，有，由题意有 ，则有，这和矛盾，
故不存在满足题意的三角形.
/专题七 平面向量与解三角形
真题卷 题号 考点 考向
2023新课标1卷 3 向量的数量积 向量数量积的坐标运算
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
2023新课标2卷 13 向量的数量积 利用向量数量积求模长
17 解三角形 解三角形的综合应用
2022新高考1卷 3 平面向量的线性运算 向量的加减及数乘运算
18 解三角形 正弦定理变形、三角恒等变形
2022新高考2卷 4 向量的数量积 向量数量积的坐标运算
18 解三角形 正余弦定理解三角形
2021新高考1卷 10 向量的坐标运算 求向量的模、向量数量积的坐标运算
19 解三角形 正、余弦定理解三角形
2021新高考2卷 15 向量的数量积 向量数量积的运算
18 解三角形 正弦定理解三角形、余弦定理判断三角形的形状
2020新高考1卷 7 向量的数量积 求向量数量积的取值范围
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
2020新高考2卷 3 向量的线性运算 向量的加、减法运算
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
【2023年真题】
1.（2023·新课标I卷 第3题）已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积运算，结合向量垂直，向量的数量积为0，为较易题.
【解答】
解：，所以故选
2. （2023·新课标II卷 第13题）已知向量，满足，，则__________
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量模及向量数量积的运算，属于基础题．
将两等式分别平方，然后化简计算即可．
【解答】
解：将原式平方：
化简可得：
即，故
3. （2023·新课标I卷 第17题）已知在中，，
求；
设，求AB边上的高.
【答案】解：，，解得
可化为，
即，
展开得：，整理得，
将代入，得，
，
由知，，，
又，，
边上的高
【解析】本题考查了三角恒等变换与解三角形的相关知识，属于中等题.
根据题意，结合可直接求出C，再将C代入进行恒等变换得，最后再结合同角三角函数的基本关系即可求解；
结合三角恒等变换、正弦定理，分别求出和AC，即可得AB边上的高的值.
4. （2023·新课标II卷 第17题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知面积为，D为BC的中点，且
若，求；
若，求b，
【答案】解：，D为BC的中点，
，即，解得，则
过点A作于点E，则在中，，，
在中，，
在中，，
，
，即，
又，，
，
，，
再将代入，即可解得
【解析】本题考查了解三角形的综合应用，属于中等题.
结合三角形面积和中点关系进行求解；
观察题目所给条件，结合中线的向量表示和三角形面积进行求解.
【2022年真题】
5.（2022·新高考I卷 第3题）在中，点D在边AB上，记，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题.
【解答】
解：，
6.（2022·新高考II卷 第4题）已知向量，，，若，则实数( )
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算和夹角运算，属于基础题。
【解答】
解：由已知有，，，，
故，
解得
7.（2022·新高考I卷 第18题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
若，求
求的最小值.
【答案】
解：，且，
，，
又A，，，
又，，
由正弦定理，
得，
，令，
则，，
在时递减，在时递增，
因此时，
【解析】本题主要考查三角恒等变换的综合应用及利用余弦定理和对勾函数解决最值问题，属于中档题.
由二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切函数公式化简得，即可求B；
由正弦定理，二倍角公式化简得，令，利用对勾函数性质即可得解.
8.（2022·新高考II卷 第18题）记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，且，
求的面积;
若，求
【答案】
解：边长为a的正三角形的面积为，
，即，
由得：，，
故
由正弦定理得：，故
【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形
利用余弦定理与正三角形的面积求得ac，继而利用面积公式求解
利用正弦定理进行变形，即可求解
【2021年真题】
9.（2021·新高考I卷 第10题）（多选）已知O为坐标原点，点，，，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算，及三角恒等变换，属于中档题．
根据题意，由向量的坐标运算公式及三角恒等变换公式依次分析选项，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A、，A正确；
对于B、，
，B不正确；
对于C、，
，C正确；
对于D、，，D不正确；
故选
10.（2021·新高考I卷 第19题 ）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，点D在边AC上，
证明：
若，求
【答案】
证明：，，
由正弦定理可知，得，
，
又，
解：，可知，则，
在中，，
在中，，
，，
即，整理得，
又，则，
即，可得或，
当时，，
在中，由余弦定理可得，
当时，，此时，不合实际，则舍去，
故：
【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理，属中档题．
由题可得，再借助正弦定里即可得证；
根据，即，分别在和中，利用余弦定理可建立等式，又由，则，可得或，进而分类讨论求解
11.（2021·新高考II卷 第15题）已知向量，，__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量数量积的运算，合理转化是关键，属于中档题.
由已知可得，展开化简后可得结果.
【解答】
解：由已知可得
，
因此，
故答案为：
12.（2021·新高考II卷 第18题）在中，角所对的边长分别为
若，求的面积；
是否存在正整数a，使得为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】
解：因为，
根据正弦定理可知，
则，故，，
，
所以C为锐角，则，
因此，
显然，若为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得，
又，则，即，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，
，故
【解析】本题考查了正余弦定理与同角三角函数的基本关系，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
由正弦定理可得出，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
分析可知，角C为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数a的值.
【2020年真题】
13.（2020·新高考I卷 第7题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积，属于综合题.
根据投影的几何意义即可解答.
【解答】
解：
由投影定义知，当点P与点F重合时，
取最小值
当点P与点C重合时，取最大值
故的取值范围是
故选
14.（2020·新高考II卷 第3题）在中，D是AB边上的中点，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量的表示，考查向量加法减法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用向量加法减法法则直接求解．
【解答】
解：在中，D是AB边上的中点，
则
故选：
15.（2020·新高考I卷 第17题、II卷 第17题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，__________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
解： ，由正弦定理得 ，
，由余弦定理得： ，
化简得 ；
假设三角形存在，
若选①，有，则有，则
故存在满足题意的三角形，
若选②，有，
则有，
则 ，故 ，
故存在满足题意的三角形，
若选③，有，由题意有 ，则有，这和矛盾，
故不存在满足题意的三角形.
【解析】本题考查解三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，判断三个边的关系与求值，是中档题.
，由正弦定理得 ， ，由余弦定理得；
若选①，代入 求解a，b，c的值即可.
若选②，求出 ，，从而求出a，b，c的值.
若选③，，这和矛盾，从而无此三角形.
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