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2023—2024 学年青岛市西海岸新区期中考试
高二 数学试题
2023年 11月
本试卷共 6页，22题。全卷满分 150分。考试用时 120分钟。
说明:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等域写在答题卡和试卷指定位置上，非将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照。如儒要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答飚卡上写在本
试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题: 本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中只有一项
是符合题目要求的。
1 1．抛物线 y x2 的焦点到准线的距离为
8
A．4 B．2 C 1 1． D．
8 16
2．已知空间向量 a (2, 1,2)，b (1, 2,1)，则向量 b 在向量 a上的投影向量是
A (4 , 2． , 4) B． (2， 1 2) C 2 4 2， ． ( , , ) D． (1， 2，1)
3 3 3 3 3 3

3 ．若{a,b,c}构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是

A．{b c ,a c ,a b} B．{a b c , 1 a b , 1 a c }
2 2
C {a b c,a b,a c } D {b c ,a b,a c ． ． }
数学试题 第 1页（共 6 页）
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4．坐标平面内有相异两点 A(cos ,sin2 )， B(0,1)，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是
A [ 3 3 3 ． , ] B． (0, ] [ , ) C．[0, ] [ , ) D．[ , ]4 4 4 4 4 4 4 4
5．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成
的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四
面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正
八面体 ABCDEF 的棱长都是 2（如图），P，Q分别为棱 AB，AD的

中点，则CP FQ (
A．1 B．2
C．3 D．4
6 y 2．设点 P(x, y)是曲线 y 4 (x 1)2 上的任意一点，则 的取值范围是
x 4
A．[0,12] B 2．[ ,12] C．[0， 2] D 2．[ , 2]
5 5 5 5
x2 y2 a27．过双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左焦点 F ( c，0)(c 0)作圆 x
2 y2 的切线，切点为 E，
a b 4

延长 FE 交双曲线右支于点 P，若OF OP 2OE，则双曲线的离心率为
A． 2 B 10 C 10． ． D． 10
5 2
8．如图，过抛物线 y2 2px(p 0)的焦点 F 的直线 l交抛物线于点
A B C M | BC |， ，交其准线于点 ，准线与对称轴交于点 ，若 3，
| BF |
且 | AF | 3，则 p的值是
A．1 B．2
C．3 D．4
数学试题 第 2页（共 6 页）
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二、选择题: 本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分
x29 y
2
．已知曲线C : 1(x R)(
m 1 3 m
A．若1 m 3，则曲线C为椭圆
B．若m 1，则曲线C 为双曲线
C．若曲线C 为椭圆，则其长轴长一定大于 2
D．若曲线C 为焦点在 x轴上的双曲线，则其离心率小于 2
10．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262 ~ 190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光
辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个
命题：平面内与两定点距离的比为常数 k(k 0且 k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波
罗尼斯圆．现有圆C : (x t)2 [y 2(t 2)]2 1 Q(0,3) | PQ |和点 ，若圆C上存在点 P，使 2(其
| PO |
中O为坐标原点），则 t的取值可以是
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在平行六面体 ABCD ABC1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的
夹角都是 60 ，下列说法中正确的是
A． AC1 6 6
B． B1C AB

C． (DA1,C1B1) 120
D 6．直线 BD1与 AC所成角的余弦值为 6
2 2
12 x y．已知点 F1， F2 是椭圆 E : 2 2 1(a b 0)的左右焦点，点M 为椭圆 E上一点，点 F1关a b
于 F1MF
7
2平分线的对称点 N也在椭圆 E上，若 cos F1MF2 ，则 ( )9
A B |MF2 |FMN 4a 1．△ 1 的周长为 ． | NF2 | 2
C 2 3． F1MF2平分线的斜率为 D．椭圆 E的离心率为2 3
数学试题 第 3页（共 6 页）
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三、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。
13．已知直线 l过点 (3,4) ，且在 x轴上的截距是在 y轴上的截距的两倍，则直线 l的方程为 ．
14．圆 x2 y2 2x 2y 1 0关于直线 x y 1 0对称的圆的标准方程为 ．
15．已知 F 为抛物线 y2 2px(p 0)的焦点，过点 F 且斜率为 1的直线与抛物线相交于 A，B两
点．若 | AF | | BF | 6 ，则线段 AB的长为 ．
16． F1， F2 是椭圆C 的两个焦点， P是椭圆C 上异于顶点的一点， I 是△ PF1F2 的内切圆圆心，
若△ PF1F2 的面积等于△ IF1F2 的面积的 3 倍，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题: 本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）
已知 ABC 的三个顶点是 A( 2,1)， B(0, 3)，C(3,4)．
（1）求 ABC 的面积 S；
（2）若直线 l过点C，且点 A， B到直线 l的距离相等，求直线 l的方程．
18．（10分）
y2 x2 6
已知椭圆M : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，且短轴长为 2 2．a b 3
（1）求M 的方程；
2 l M A 1（ ）若直线 与 交于 ， B两点，且弦 AB的中点为 P( , 2)，求 l的一般式方程．
2
数学试题 第 4页（共 6 页）
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19．（12分）
如图 1，矩形 ABCD中，AB 4，AD 2，E为CD的中点，现将 ADE， BCE 分别沿 AE，
BE 向上翻折，使点 D，C分别到达点M ， N的位置，且平面 AME ，平面 BNE 均与平面 ABE
垂直（如图 2)．
（1）证明：M ， N， A， B四点共面；
（2）求直线 AE与平面 ABNM 所成角的正弦值．
20．（12分）
数学家欧拉在 1765年提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外
心的距离是离心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若 ABC 的顶点
A(2,0)， B(0,4)，且 ABC 的欧拉线的方程为 x y 2 0， ABC 外接圆圆心记为圆M ．
（1）圆M 的方程；
（2）已知圆 N : (x 3)2 (y 1)2 1，过圆M 和圆 N外一点 P分别做两圆的切线，与圆M 切
于点 A，与圆 N切于点 B，且 | PA | | PB |，求 P点的轨迹方程．
数学试题 第 5页（共 6 页）
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21．（12分）

图 1 是直角梯形 ABCD，AB / /CD， D 90 ，AB 2，DC 3，AD 3，CE 2ED，
以 BE 为折痕将 BCE 折起，使点C 到达C1的位置，且 AC1 6 ，如图 2．
（1）求证：平面 BC1E 平面 ABED；
（2 6）在棱 DC1 上是否存在点 P ，使得C1 到平面 PBE 的距离为 ？若存在，求出二平面2
P BE A的大小；若不存在，说明理由．
22．（12分）
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 动 圆 P 与 圆 C1 : x
2 y2 2x 45 0 内 切 ， 且 与 圆
4
C : x2 y22 2x
3
0外切，记动圆 P的圆心的轨迹为 E．
4
（1）求轨迹 E的方程；
（2）过椭圆C右焦点的直线 l交椭圆于 A，B两点，交直线 x 4于点 D．设直线QA，QD，
k k
QB的斜率分别为 k 1 31 ， k2 ， k3 ，若 k2 0，证明： 为定值．k2
数学试题 第 6页（共 6 页）
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