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山东省烟台市芝罘区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制）(解析版)
一、选择题。（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（　　）
A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t
D．正方形的周长y于边长x
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．2
3．（3分）已知函数y＝（m﹣4）x|m﹣2|是关于x的二次函数，则m的值是（　　）
A．0或4 B．0 C．2 D．4
4．（3分）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（　　）
A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．
5．（3分）利用科学计算器计算cos35°，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x+1）2+2
7．（3分）函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣1，0），与y轴的交点C在（0，3），（0，4）之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＞0；
②3a+c＝0；
③a+b≤am2+bm（m为实数）；
④方程ax2+bx+c﹣4＝0必有两个不相等的实根．
其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，正方形ABCD，E、F是BC、CD上的点且BE＝CF，连接AE、BF交于点G，连接DG．若△ADG是等腰三角形，则tan∠BAE的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题。（每题3分，满分18分）
11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 　 　．
12．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与x的部分对应值如下表，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 　 　．
x … ﹣3 ﹣2 0 …
y … 0 ﹣3 ﹣3 …
13．（3分）如图，某广告牌竖直矗立在水平地面上，经测量，得到如下相关数据：CD＝2m，∠CAB＝30°，∠DBF＝45°，AB＝10m，则广告牌的高EF＝　 　m．（结果保留根号）
14．（3分）如图，抛物线y＝px2+q与直线y＝ax+b交于A（﹣4，0），B（2，n）两点，则不等式px2﹣b＞ax﹣q的解集是 　 　．
15．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，，AC＝BD＝5，则这个四边形的面积是 　 　．
16．（3分）如图，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B纵坐标为4，点P从点O开始向点A运动，至点A停止，过P点作x轴的垂线与菱形另一边交点为M，记OP＝x，△OPM的面积为y，且y与x的函数关系如图，则cos∠AOC的值为 　 　．
三、解答题。（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
18．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）在如图坐标系中用描点法画出这个二次函数的图象；
（2）观察图象，若点（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3）是这条抛物线上的三个点，请用“＜”连接y1，y2，y3的大小关系 　 　；
（3）设抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，求△ABC的面积．
19．（8分）如图，在同一平面上有四个村庄A、B、C、D，连接这四个村庄之间的公路AB＝4km，BC＝5km，CD＝2km，且AB∥CD．“美丽乡村”建设项目规划在A、D两个村庄之间修一条公路AD，已知∠BAD＝30°，求公路AD的长度．
20．（8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
21．（10分）如图1所示的山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一，桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2）．在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
（1）如图2，以该时刻水面为x轴、桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式并写出x的取值范围；
（2）若水面距离拱桥顶端2米时为警戒水位，求警戒水位时桥内水面宽度．
22．（10分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.1°．求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.1°≈，cos42.1°≈，tan42.1°≈）
23．（10分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
24．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中OA＝2，OB＝8，∠ACB＝90°，D是第一象限抛物线上一点，连接DC，DE∥OC交BC于点E，点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）是否存在m的值，使△DCE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题。（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（　　）
A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t
D．正方形的周长y于边长x
【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【解答】解：A、S＝x2，是二次函数，正确，符合题意；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误，不符合题意；
C、y＝，a一定，是反比例函数，错误，不符合题意；
D、y＝4x，是一次函数，错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】直接利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，
∴设BC＝1，则AC＝2，故AB＝，
则sinB＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键．
3．（3分）已知函数y＝（m﹣4）x|m﹣2|是关于x的二次函数，则m的值是（　　）
A．0或4 B．0 C．2 D．4
【分析】根据二次函数的定义得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣4）x|m﹣2|是关于x的二次函数，
∴|m﹣2|＝2且m﹣4≠0，
解得m＝0．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义，正确把握二次项的次数与系数是解题关键．
4．（3分）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（　　）
A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．
【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，sinB＝，
则AC＝AB sinB＝100sin65°（米），
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（3分）利用科学计算器计算cos35°，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．
【解答】解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是：
故选：A．
【点评】本题主要考查了计算器﹣三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．
6．（3分）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x+1）2+2
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y＝（x﹣1）2+2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7．（3分）函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别分析当k＞0和k＜0时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函数的对称轴进行综合判断即可．
【解答】解：①当k＞0时：
函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向下；
∴B不正确，不符合题意．
②当k＜0时：
函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向上；
∴C不正确，不符合题意．
∵函数y＝﹣kx2+4x+4的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，
∴A正确，符合题意；D不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数及二次函数的图象，熟悉它们图象的性质是本题的关键．
8．（3分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣1，0），与y轴的交点C在（0，3），（0，4）之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＞0；
②3a+c＝0；
③a+b≤am2+bm（m为实数）；
④方程ax2+bx+c﹣4＝0必有两个不相等的实根．
其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
【解答】解：由所给二次函数图象可知，
a＜0，b＞0，c＞0，
所以abc＜0．
故①错误．
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以，
即b＝﹣2a．
又因为函数图象经过点（﹣1，0），
所以a﹣b+c＝0，
所以3a+c＝0．
故②正确．
由函数图象可知，
当x＝1时，函数取得最大值，
则对于任意的x＝m，
总有am2+bm+c≤a+b+c，
即a+b≥am2+bm（m为实数）．
故③错误．
方程ax2+bx+c﹣4＝0的根可看成函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝4的交点的横坐标，
因为抛物线与y轴的交点C在（0，3），（0，4）之间，
所以无法确定函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝4的交点情况．
故④错误．
所以正确的结论有②．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数图象得出a，b，c的正负及巧妙利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD，E、F是BC、CD上的点且BE＝CF，连接AE、BF交于点G，连接DG．若△ADG是等腰三角形，则tan∠BAE的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】过D作DH⊥AG于H，证明△ABE≌△BCF（SAS），可得∠BAE＝∠FBC，即可证∠BGA＝90°，故△ADG是等腰三角形，AD＝DG，再证△ADH≌△BAG（AAS），可得HG＝AH＝BG，从而tan∠BAE＝＝．
【解答】解：过D作DH⊥AG于H，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝90°＝∠BCF，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠FBC，
∵∠FBC+∠FBA＝90°，
∴∠BAE+∠FBA＝90°，
∴∠BGA＝90°，
∴AB＞AG，
∴AD＞AG，
∵E在BC上，
∴△ADG是等腰三角形，AD＝DG，
∵∠DAH＝90°﹣∠BAG＝∠ABG，∠DHA＝∠AGB＝90°，AD＝AB，
∴△ADH≌△BAG（AAS），
∴AH＝BG，
∴HG＝AH＝BG，
∴tan∠BAE＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题。（每题3分，满分18分）
11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 　x≥﹣3且x≠1　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x+3≥0且x﹣1≠0，解得自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣3且x≠1．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与x的部分对应值如下表，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 　x1＝﹣3，x2＝1　．
x … ﹣3 ﹣2 0 …
y … 0 ﹣3 ﹣3 …
【分析】由抛物线经过点（﹣2，﹣3），（0，3）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣3，0）求解．
【解答】解：由抛物线经过点（﹣2，﹣3），（0，3）可得抛物线抛物线对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵抛物线经过（﹣3，0），
∴抛物线经过（1，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
13．（3分）如图，某广告牌竖直矗立在水平地面上，经测量，得到如下相关数据：CD＝2m，∠CAB＝30°，∠DBF＝45°，AB＝10m，则广告牌的高EF＝　（4+4）　m．（结果保留根号）
【分析】过点D作DG⊥AF于点G，设DG＝xm，则CG＝（x+2）m，解Rt△BGD，得出BG＝DG＝xm，则AG＝BG+AB＝（x+10）m．再解Rt△AGC，由tan30°＝，得出＝，解方程求出x的值，进而得出EF．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AF于点G，
设DG＝xm，则CG＝（x+2）m，
在Rt△BGD中，∵∠BGD＝90°，∠DBG＝45°，
∴BG＝DG＝xm，
∴AG＝BG+AB＝（x+10）m．
在Rt△AGC中，∵∠AGC＝90°，∠CAG＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝，
∴x＝4+2，
∴EF＝CG＝CD+DG＝2+4+2＝4+4（m）
答：广告牌的高EF＝（4+4）m．
故答案为（4+4）．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得出DG的长是解题的关键．
14．（3分）如图，抛物线y＝px2+q与直线y＝ax+b交于A（﹣4，0），B（2，n）两点，则不等式px2﹣b＞ax﹣q的解集是 　﹣4＜x＜2　．
【分析】首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．
【解答】解：观察图象可知当x＝﹣4，x＝2时，px2﹣b＝ax﹣q．
在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即px2﹣b＞ax﹣q，
所以不等式px2﹣b＞ax﹣q的解集是﹣4＜x＜2．
故答案为：﹣4＜x＜2．
【点评】本题考查了不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象点的坐标特征和数形结合思想是解题关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，，AC＝BD＝5，则这个四边形的面积是 　10　．
【分析】过点B作BE⊥AC于E，过点D作DF⊥AC于F，设OB＝m，则OD＝5﹣m，利用勾股定理和三角函数定义可得：BE＝OB＝m，DF＝（5﹣m），再由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AC BE+AC DF，即可求得答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AC于E，过点D作DF⊥AC于F，
设OB＝m，则OD＝5﹣m，
∵tan∠AOD＝，
∴＝＝，
设DF＝4x，OF＝3x，
∵DF2+OF2＝OD2，
∴（4x）2+（3x）2＝m2，
∵x＞0，m＞0，
∴m＝5x，
∴sin∠AOD＝sin∠BOC＝，
∴BE＝OB＝m，DF＝（5﹣m），
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝AC BE+AC DF
＝AC （BE+DF）
＝×5×[m+（5﹣m）
＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理，三角函数定义，三角形面积等，熟练掌握三角函数定义是解题关键．
16．（3分）如图，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B纵坐标为4，点P从点O开始向点A运动，至点A停止，过P点作x轴的垂线与菱形另一边交点为M，记OP＝x，△OPM的面积为y，且y与x的函数关系如图，则cos∠AOC的值为 　　．
【分析】过点C作CD⊥x轴于D，过点A作AN⊥BC于N，设D（a，0），A（b，0），观察图象可得a＝n，b＝（n+4），即AD＝b﹣a＝（n+4）﹣n＝2，OA＝b＝a+2，由菱形性质可得OC＝OA＝b＝a+2，再运用勾股定理即可求得a＝3，b＝5，利用三角函数定义即可求得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于D，过点A作AN⊥BC于N，
设D（a，0），A（b，0），
则AN＝CD＝4，OD＝a，OA＝b，
由图可知：a×4＝n，b×4＝n+4，
∴a＝n，b＝（n+4），
∴AD＝b﹣a＝（n+4）﹣n＝2，
∴OA＝b＝a+2，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝b＝a+2，
在Rt△COD中，OD2+CD2＝OC2，
∴a2+42＝（a+2）2，
∴a＝3，
∴b＝3+2＝5，
∴cos∠AOC＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形面积，勾股定理，解直角三角形，动点问题等，解题关键是根据图象得出点C、A的横坐标．
三、解答题。（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×
＝﹣+
＝；
（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2
＝﹣1++3
＝2+．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）在如图坐标系中用描点法画出这个二次函数的图象；
（2）观察图象，若点（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3）是这条抛物线上的三个点，请用“＜”连接y1，y2，y3的大小关系 　y1＜y3＜y2　；
（3）设抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，求△ABC的面积．
【分析】（1）先利用解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后描点画出二次函数的图象；
（2）分别计算自变量为﹣2、1、2所对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系；
（3）由（1）得到点A、B、C的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
如图，
（2）当x＝﹣2时，y1＝﹣x2+2x+3＝﹣5；
当x＝1时，y2＝﹣x2+2x+3＝4；
当x＝2时，y3＝﹣x2+2x+3＝3；
所以y1＜y3＜y2；
故答案为：y1＜y3＜y2；
（3）由（1）得C（0，3），点A、B点的坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴△ABC的面积＝×（3+1）×3＝6．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19．（8分）如图，在同一平面上有四个村庄A、B、C、D，连接这四个村庄之间的公路AB＝4km，BC＝5km，CD＝2km，且AB∥CD．“美丽乡村”建设项目规划在A、D两个村庄之间修一条公路AD，已知∠BAD＝30°，求公路AD的长度．
【分析】设AD与BC交于点E，过点B作BF⊥AD于点F，由AB∥CD，利用平行线分线段成比例，可得出AE＝2DE，BE＝2CE，结合BE+CE＝BC＝5km，可求出BE的长，在Rt△ABF中，通过解直角三角形，可求出AF，BF的长，在Rt△BEF中，利用勾股定理，可求出EF的长，结合AE＝AF+EF，可求出AE的长，由AE＝2DE，可求出DE的长，再结合AD＝AE+DE，即可求出结论．
【解答】解：设AD与BC交于点E，过点B作BF⊥AD于点F，如图所示.
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∴AE＝2DE，BE＝2CE，
∵BE+CE＝BC＝5km，
∴BE＝＝（km）．
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠EFB＝90°．
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，AB＝4km，
∴AF＝AB＝×4＝2（km），BF＝AB＝×4＝2（km）．
在Rt△BEF中，∠EFB＝90°，BF＝2km，BE＝km，
∴EF＝＝＝（km），
∴AE＝AF+EF＝（2+）（km），
∴DE＝AE＝×（2+）＝（+）（km），
∴AD＝AE+DE＝2+++＝（3+4）（km）．
答：公路AD的长度为（3+4）km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行线分线段成比例，通过解直角三角形，求出AF，EF的长是解题的关键．
20．（8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
【解答】解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC＝90°﹣45°＝45°，则∠MCA＝45°，
∴AM＝MC，
由勾股定理得：AM2+MC2＝AC2＝（20×2）2，
解得：AM＝CM＝40，
∵∠ECB＝15°，
∴∠BCF＝90°﹣15°＝75°，
∴∠B＝∠BCF﹣∠MAC＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△BCM中，tanB＝tan30°＝，即＝，
∴BM＝40，
∴AB＝AM+BM＝40+40≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题关键．
21．（10分）如图1所示的山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一，桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2）．在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
（1）如图2，以该时刻水面为x轴、桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式并写出x的取值范围；
（2）若水面距离拱桥顶端2米时为警戒水位，求警戒水位时桥内水面宽度．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，再根据题意求解即可；
（2）由题意得，令y＝2解出方程即可得到解答．
【解答】解：（1）由题意得，点O和点A的坐标分别为（0，0）和（20，0），
∵B为函数顶点，
∴B（10，4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点B（10，4），
∴y＝a（x﹣10）2+4，
再将O（0，0）代入解析式可得，a（0﹣10）2+4＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣10）2+4（0≤x≤20）．
（2）由题意得，令y＝2可得，﹣（x﹣10）2+4＝2，
解得x1＝10+5，x2＝10﹣5，
∴水面宽度为10+5﹣（10﹣5）＝10（米），
答：警戒水位时桥内水面宽度为10米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
22．（10分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.1°．求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.1°≈，cos42.1°≈，tan42.1°≈）
【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC＝AM，AN＝MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【解答】解：如图，延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，
∴NC＝AM，AN＝MC，
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，
∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），
∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），
在Rt△ANB中，∠BAN＝42.1°，
∵tan∠BAN＝，
∴BN＝AN×tan42.1°≈90×＝81（米），
∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），
答：大楼BC的高度约为96米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（10分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
【点评】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中OA＝2，OB＝8，∠ACB＝90°，D是第一象限抛物线上一点，连接DC，DE∥OC交BC于点E，点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）是否存在m的值，使△DCE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△AOC∽△COB，可得＝，故C（0，4），再用待定系数法可得抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+x+4；
（2）由B（8，0），C（0，4）得直线BC函数关系式为y＝﹣x+4，求出D（m，﹣m2+m+4），E（m，﹣m+4），知DE＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣4）2+4，即可得线段DE长度的最大值为4；
（3）延长DE交OB于G，可得EG＝﹣m+4，OG＝m，由DE∥OC，得＝，CE＝；分三种情况：①若CE＝DE，则＝﹣m2+2m，可得m＝0（舍去）或m＝8﹣2，②当CD＝CE时，过点C作 CH⊥DE 于点H，可得EH＝DE＝（﹣m2+2m）＝﹣m2+m，即得﹣m+4﹣m2+m＝4，解得：m＝4或m＝0（舍去）；③当CD＝DE 时，过点D作 DK⊥BC 于点K，则EK＝CE＝，由∠DKE＝∠BGE＝90°，∠DEK＝∠BEG，知∠EDK＝∠EBG，故sin∠EDK＝sin∠EBG，即＝，解得：m＝3或m＝0（舍去0）．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠CBO，
∵∠AOC＝90°＝∠COB，
∴△AOC∽△COB，
∴＝，
∵OA＝2，OB＝8，
∴＝，A（﹣2，0），B（8，0），
∴OC＝4，
∴C（0，4），
把A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）代入线y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+x+4；
（2）由B（8，0），C（0，4）得直线BC函数关系式为y＝﹣x+4，
∵点D的横坐标为m，
∴D（m，﹣m2+m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣4）2+4，
∵﹣＜0，
∴当m＝4时，DE取最大值4，
∴线段DE长度的最大值为4；
（3）存在m的值，使△DCE是等腰三角形，理由如下：
延长DE交OB于G，如图：
∵点D的坐标为 （m，﹣m2+m+4），点E的坐标为E（m，﹣m+4），
∴点G的坐标为（m，0），
则EG＝﹣m+4，OG＝m，
∵OB＝8，OC＝4，
∴BC＝4，
∵DE∥OC，
∴＝，即＝，
∴CE＝；
①若CE＝DE，则＝﹣m2+2m，
解得m＝0（舍去）或m＝8﹣2，
②当CD＝CE时，如图，过点C作 CH⊥DE 于点H，
∴EH＝DE＝（﹣m2+2m）＝﹣m2+m，
∵EG+EH＝HG＝OC＝4，
∴﹣m+4﹣m2+m＝4，
解得：m＝4或m＝0（舍去）；
③当CD＝DE 时，如图，过点D作 DK⊥BC 于点K，
则EK＝CE＝，
∵∠DKE＝∠BGE＝90°，∠DEK＝∠BEG，
∴∠EDK＝∠EBG，
∴sin∠EDK＝sin∠EBG，
即 ＝，
∴＝，
解得：m＝3或m＝0（舍去0），
综上所述，满足条件的m的值为8﹣2或4或3．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．

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