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一元二次函数、方程和不等式
1不等式关系与不等式
① 不等式的性质
(1) 传递性：；
(2) 加法法则：；
(3) 乘法法则：；
(4) 倒数法则：；
(5) 乘方法则：；
② 比较大小
(1) 作差法(与的比较)
(2) 作商法(与比较)
2 一元二次不等式及其解法
① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
(以下均以为例)
函数、方程、表达式
二次函数
的图象
一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；
③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.
3 一元二次不等式的应用
(1) 分式不等式的解法
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于与均意味同号，故与等价的；
与均意味异号，故与等价的；
可得① ，且.
比如且.
② ，且.
比如且.
(2) 一元高次不等式的解法
① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
Eg 解，如图所示，解集为.
解，如图所示，解集为.
【题型一】不等式性质的运用
【典题1】实数满足，则下列不等式正确的是 (　　)
【解析】，
错误，比如，得出；
，，该选项正确；
错误，比如时，；
, 时，，
，该选项错误．
故选：．
【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些.
【典题2】已知，试比较与的值的大小．
【解析】，(作差法)
当时，，，则，即；(确定差)
当时，，则，即．
综上可得时，；时，．
【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较与；多项式形式常用做差法，比如比较与.
【典题3】已知，，，则正确的结论是(　　)
与的大小不确定
【解析】方法一 特殊值法
取特殊值，令，则，，
易知, 排除，还不能排除，猜测选.
方法二 做差法，分析法
要比较大小，只需要比较的大小
(遇到二次根式可考虑平方去掉根号)
而显然，故，故，故选.
方法三 共轭根式法
，
，
，
，
，即，故选.
【点拨】
① 比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；
② 方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；
③ 方法三中注意到.
若，互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点.
.
巩固练习
1 (★) 已知，那么下列不等式成立的是(　　)
【解析】，，，，．
．
．
故选：．
2 (★★) 设，则下列不等式恒成立的是(　　)
【解析】设，可得，则错误；
由可得，，可得，故错误；
由可得1，则22，故正确；
由，可得，故错误．
故选：．
3(★★) 已知，且，，则的关系是(　　)
【解析】因为，，且，，
所以，，
则0，
当且仅当时取等成立，
所以即，所以，
故选：．
4(★★) 若，，则，的大小关系是(　)
由的取值确定
【解析】，，，
，
∴，
，且，，
．
故选．
5(★★★) 设，则下列判断中正确的是( )
．
【解析】
即.
【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
【典题1】 如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .
【解析】关于的不等式的解集为，
是方程的两实数根，且，
由韦达定理得，
，
不等式化为，
即，解得或；
则该不等式的解集为．
【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系.
【典题2】解关于的不等式：
【解析】；
等价变形为：且； (注意分母)
解得.
巩固练习
1(★) 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 (　　)
【答案】
【解析】对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，，解可得
综上可得，
故选：．
2(★★) 若关于的不等式的解集为，则等于(　)
【答案】
【解析】由题意知，和是方程的两个根，
则由根与系数的关系，得，解得，
所以．
故选：．
3(★★) 若不等式的解集是，则不等式的解集是(　)
【答案】
【解析】不等式的解集是()∪()，
∴和是方程的两个实数根，
由，解得：，，
故不等式即，
即，解得：，
所以所求不等式的解集是：，
故选：．
4(★★) 【多选题】关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的取值可以是(　　)
【答案】
【解析】设，其图象是开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示；
若关于的一元二次不等式0的解集中有且仅有个整数，则
，即，
解得，又，
所以．
故选：．
5(★★) 不等式的解集是 .
6(★★) 已知不等式的解集是，，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】不等式的解集是，
则，是一元二次方程的实数根，且；
，；
不等式化为 ，
；
化为；
又，；
不等式的解集为：|}，
故选：．
7(★★) 不等式的解集为或，则值是 .
【答案】
【解析】不等式等价于即，
所以，解得，
检验成立.
【题型三】求含参一元二次不等式
角度1：按二次项的系数的符号分类，即;
解不等式
【解析】
(不确定不等式对应函数是否是二次函数，分与讨论)
当时，不等式为，解集为；
当时，
(二次函数与轴必有两个交点)
解得方程两根；
(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分与讨论)
当时，解集为；
当时, 解集为}.(注意的大小)
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时, 解集为}.
角度2：按判别式的符号分类
解不等式.
【解析】
(此时不确定二次函数是否与轴有两个交点，对判别式进行讨论)
①当，即时，解集为；
②当，即时，解集为；
③当或，即时，此时两根为，显然，
不等式的解集为或.
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当或时，解集为或.
角度3：按方程的根大小分类
解不等式：.
【解析】原不等式可化为：
令，得；
(因式分解很关键，此时确定与轴有交点，的大小影响不等式解集)
当时，即时，解集为；
当时，即或时，解集为；
当时，即或时，解集为}.
综上，当时，解集为；
当或时，解集为；
当或时，解集为}.
【点拨】
① 当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与轴有交点，就不需要考虑判别式.
常见的形式有，
等，若判别式是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；
② 在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.
巩固练习
1 (★★) 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 (　　)
【答案】
【解析】由，得，
若，则不等式无解．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
综上，满足条件的的取值范围是．
故选：．
2 (★★) 解关于的不等式 ．
【答案】时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是．
【解析】方程中，
①当即时，不等式的解集是，
②当，即时，不等式的解集是，
③当即时，
由解得：，
时，不等式的解集是，
综上，时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是．
3 (★★) 解关于的不等式：．
【答案】 或时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为．
【解析】关于的不等式：中，
，
当或时，，
对应的一元二次方程有两个实数根和，
且，
不等式的解集为或x}；
当时，，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，
不等式的解集为}；
当时，，不等式的解集为；
综上，或时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；时，不等式的解集为．
4(★★★) 若，解关于的不等式．
【答案】当时，解集是； 当时，解集是；
当时，解集是；当时，解集是．
【解析】当时，．
当a≠0时，．
当时，，解得．
当时，．
当时，
当时，，或．
当时，，或．
当时，解集是；
当时，解集是；
当时，解集是；
当时，解集是．
5 (★★★) 关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围.
答案】
【解析】不等式恰有个整数解，
即恰有两个解，
，即，或．
当时，不等式解为，
，恰有两个整数解，即：，
，，解得：；
当时，不等式解为，
，恰有两个整数解即：，
，，解得，
综上所述：，或．
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1不等式关系与不等式
① 不等式的性质
(1) 传递性：；
(2) 加法法则：；
(3) 乘法法则：；
(4) 倒数法则：；
(5) 乘方法则：；
② 比较大小
(1) 作差法(与的比较)
(2) 作商法(与比较)
2 一元二次不等式及其解法
① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
(以下均以为例)
函数、方程、表达式
二次函数
的图象
一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；
③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.
3 一元二次不等式的应用
(1) 分式不等式的解法
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于与均意味同号，故与等价的；
与均意味异号，故与等价的；
可得① ，且.
比如且.
② ，且.
比如且.
(2) 一元高次不等式的解法
① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
Eg 解，如图所示，解集为.
解，如图所示，解集为.
【题型一】不等式性质的运用
【典题1】实数满足，则下列不等式正确的是 (　　)
【典题2】已知，试比较与的值的大小．
【典题3】已知，，，则正确的结论是 (　　)
与的大小不确定
巩固练习
1 (★) 已知，那么下列不等式成立的是(　　)
2 (★★) 设，则下列不等式恒成立的是(　　)
3(★★) 已知，且，，则的关系是(　　)
4(★★) 若，，则，的大小关系是(　)
由的取值确定
5(★★★) 设，则下列判断中正确的是( )
．
【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
【典题1】 如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .
【典题2】解关于的不等式：
巩固练习
1(★) 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 (　　)
2(★★) 若关于的不等式的解集为，则等于(　)
3(★★) 若不等式的解集是，则不等式的解集是(　)
4(★★) 【多选题】关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的取值可以是(　　)
5(★★) 不等式的解集是 .
6(★★) 已知不等式的解集是，，则不等式的解集是 .
7(★★) 不等式的解集为或，则值是 .
【题型三】求含参一元二次不等式
角度1：按二次项的系数的符号分类，即;
解不等式
角度2：按判别式的符号分类
解不等式.
角度3：按方程的根大小分类
解不等式：.
巩固练习
1 (★★) 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 (　　)
2 (★★) 解关于的不等式 ．
3 (★★) 解关于的不等式：．
4(★★★) 若，解关于的不等式．
5 (★★★) 关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围.
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