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2.4.1函数的奇偶性 练习
一、单选题
1．设函数若是奇函数，则=
A．-3 B．-9 C．-1 D．1
2．定义在上的函数，若，有下列两个结论：①若是偶函数，则是奇函数; ②若是偶函数,则是偶函数，则（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①对②错 D．①错②对
3．已知函数为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．定义域为的函数满足条件：①，；②；③.则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对是函数的“友好点对”，若定义域为R的函数存在“友好点对”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知定义域为R的奇函数在单调递减，且，则满足的x取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知f(x)=(+)+2，f(a)=4，则f(-a)=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
二、多选题
9．已知定义在上的奇函数，满足为偶函数，且在区间上单调递增，则（　　）
A．的周期为2
B．是函数的最小值
C．函数的图象的一个对称中心为
D．
10．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数为奇函数
D．为函数函数图像的对称轴
12．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知函数 是奇函数，若对于任意的，关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围是 .
14．已知是偶函数，周期是8，当时，，则 ．
15．已知是定义域为的奇函数，且图像关于直线对称，当时，.对于闭区间，用表示在上的最大值，若正实数满足，则的值是 .
16．函数是定义在R上偶函数，且当，，则 ．
四、解答题
17．函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
18．下列函数中，哪些是奇函数，哪些是偶函数？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求；
（2）求时，的表达式．
20．已知函数.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断当时函数的单调性，并用定义证明.
21．已知函数.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
22．已知函数是定义在的奇函数，当时，
(1)求函数在上的解析式；
(2)求证：函数在上单调递减.
参考答案：
1．A
【解析】首先根据函数是奇函数可得，又，据此即可求出结果.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
又，所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及利用分段函数求函数值，属于基础题.
2．D
【分析】根据函数奇偶性的定义分别去判断①②，即可得答案.
【详解】对于①,是偶函数时，有，
则是偶函数，故①错误;
对于②，是偶函数时，，
则是偶函数，故②正确，
故选：D
3．A
【分析】由题知函数图像关于对称，，再依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：因为函数为偶函数，
所以，函数图像关于对称，
所以，，故A选项正确，C选项错误；
对于B选项，由得图像关于对称，由已知无法得出，故错误；
对于D选项， 由得图像关于对称，由已知无法得出，故错误；
故选：A
4．C
【解析】求出，根据奇偶性得解.
【详解】根据题意，当时，，
则，
又由函数为奇函数，
则.
故选：C.
5．A
【分析】由①得在为增函数，由②得是奇函数，从而得出在为增函数，利用单调性，即可求解不等式.
【详解】①，，
不妨设，则，
在上为增函数；
②，即，
是奇函数，在上为增函数，
③，不等式等价于
或，得或.
故选：A.
【点睛】本题考查抽象函数不等式，利用函数的性质是解题的关键，属于中档题.
6．B
【解析】根据题意得在R上有解，令，则在上有解，再令，在上有解，按和分类讨论求在上的最小值，计算即可.
【详解】根据题意得，在R上有解，即，
令，则在上有解，
即在上有解.
再令，当且仅当取等号，在上有解.
函数的对称轴为，
当时，函数在上递减，在上递增，，解得；
当时，函数在上递增，，解得.
综上：.
故选：B
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，二次函数的最值问题，换元法和分类讨论思想的应用，属于中档题.
7．B
【分析】根据为奇函数可得函数在上也单调递减，分三种情况讨论，结合单调性分析即得解
【详解】为奇函数，且在单调递减，
，，且在上单调递减，
可得或或，
即或或，
即
故选：B
8．B
【解析】首先计算的值，再根据条件计算的值.
【详解】，
所以，
因为，所以，
故选：B
9．CD
【分析】由函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，对选项逐一判断，
【详解】对于A，由为偶函数，则，
而为奇函数，，得，
即，故，的周期为，故A错误，
对于B，在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
不是最小值，故B错误，
对于C，为奇函数，周期为，故的图象的一个对称中心为，故C正确，
对于D，的周期为，故，
故选：CD
10．ABD
【分析】根据函数奇偶性的定义，逐一判断即可.
【详解】A．，则为偶函数.
B．，则为偶函数.
C．，且定义域对称，则为奇函数．
D．，则为偶函数.
故选：ABD
11．CD
【分析】根据函数的的奇偶性定义可判断A,B,C，根据对称轴的性质判断D.
【详解】对于A，，
定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故A错误；
对于B, 定义域为，
所以函数为非奇非偶函数，故B错误；
对于C, ，
定义域为，设，
，所以函数为奇函数，故C正确；
对于D,设定义域为，
，
所以为函数函数图像的对称轴，故D正确，
故选:CD.
12．BD
【分析】由题意知“理想函数”是：定义域内为奇函数且为减函数，依次判断各选项即可得答案．
【详解】由，可得为定义域上的奇函数，
由时，恒有，可得为定义域上的减函数．
对于A选项，在其定义域内不是单调函数，故A错误；
对于B选项，，为奇函数，根据幂函数性质可知，在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，故B正确；
对于C选项，定义域为，，为奇函数；
，在上为增函数且，在上为减函数，在上为增函数，故C错误；
对于D选项，，因，则函数的定义域为，
，则为奇函数；
令，设，则，
又，同理，，
，
即，即．
，即，在上是减函数．
在上是减函数．故D正确．
故选：BD．
13．
【分析】由已知结合奇函数的定义可求，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求.
【详解】解：由奇函数的性质可得，恒成立，则，故恒成立，解得.此时为单调递减的奇函数，由不等式 恒成立，可得 恒成立，结合二次函数的性质可知，，所以.
故答案为：
14．2
【分析】先求得，再由是偶函数，周期是8求解.
【详解】解：因为当时，，
所以，
又因为是偶函数，周期是8，
所以，
故答案为：2
15．或
【分析】由奇函数的性质及对称轴得函数的周期，再结合已知解析式作出函数图象，由于，由的定义及函数的单调性得出，，，求出与图象交点的横坐标（在上求出，由周期性易得其他值），然后分析推理得出时的值．
【详解】因为是奇函数，且图象关于直线对称，
所以
，所以是周期函数，4是它的一个周期．
由奇函数、周期性作出函数的图象，如图．
当时，，最大值为1，因此的最大值为1，且，，
由于，因此，
在上递增，所以若，则，所以，
所以，，
一定有，否则，从而．
由得或，所以图中，，
当时，，满足题意，
当时，，满足题意．
综上，的值为或．
16．
【分析】利用偶函数的性质计算得解.
【详解】由题得.
故答案为：
【点睛】方法点睛：奇函数的性质：；偶函数的性质：.
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）先用赋值法求出，令，即可根据定义证明是奇函数；
（2）利用定义法证明是上的增函数；
（3）先把转化为，利用单调性解不等式即可．
【详解】（1）令，则，解得，
令，则，即，即，
易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；
（2）任取，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，所以函数是上的增函数；
（3）由，得，，又由是奇函数得.
由，得，因为函数是上的增函数，
所以，解得，故实数的取值范围为．
18．(1)奇函数
(2)偶函数
(3)奇函数
(4)偶函数
【分析】先看定义域是否关于原点对称，进而利用奇偶性定义来判断.
【详解】（1）定义域为R，且，故为奇函数；
（2）定义域为R，且，故为偶函数；
（3）定义域为，关于原点对称，且，故是奇函数；
（4）定义域为R，且，故为偶函数.
19．（1）0; （2）.
【分析】（1）根据奇函数的性质，在原点有意义，则;
（2）由转化为，代入解析式，再根据奇函数的性质，即可求得解析式.
【详解】（1）是上的奇函数，
令，
则
即
（2）设，则
所以，
又是上的奇函数，
则，
即
所以，
所以当时，.
20．(1)函数为奇函数，证明见解析
(2)在上为增函数，证明见解析
【分析】（1）先判断奇偶性，根据奇函数的定义证明即可；
（2）先判断单调性，根据函数单调性的定义法证明即可.
【详解】（1）函数为奇函数.
证明如下：∵定义域为R，
又，
∴为奇函数.
（2）函数在为单调增函数.
证明如下：任取，
则
∵，
∴，，
∴，
即，
故在上为增函数.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）利用函数奇偶性的定义可证明结论成立；
（2）利用函数单调性的定义证明出函数在区间上为增函数，可求得函数在区间上的最大值和最小值，分和两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）对任意的，，则，函数的定义域为，
，
所以，函数是奇函数；
（2）任取、且，即，
，
，，，，所以，，
所以，函数在区间上为增函数，
当时，，.
由于关于的不等式在上恒成立.
①当时，则，即，解得或，
此时；
②当时，则，即，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
（2）判断与是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（奇函数或偶函数）是否成立．
22．(1)（）；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据函数为奇函数结合已知的解析式可求得结果；
（2）根据函数单调性的定义证明即可.
【详解】（1）设，则，
因为当时，，
所以，
因为函数是定义在的奇函数，
所以，
所以，得（）；
（2）证明：任取，且，则
，
因为，且，所以，，，
所以，所以，即，
所以函数在上单调递减.

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