资源简介

景德镇市昌江区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.三棱柱ABC-DEF中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.以上都不对
3.已知向量是空间的一基底，向量是空间的另一基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为15°，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（ ）
A.0 B. C. D.
5．在三棱柱中，D为该棱柱九条棱中某条棱的中点.若平面，则D可以为（ ）
A.棱AB的中点 B.棱的中点 C.棱BC的中点 D.棱的中点
6.蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，且球心O在PC上，，，，则该鞠（球）的表面积为（ ）
第6题图
A. B. C. D.
7.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，，点E是PA的中点，.若点M在矩形ABCD内，且平面DEF，则（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8.已知直线恒过定点A，圆0：上的两点，满足，则的最小值为（ ）
A.13 B.18 C.23 D.28
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知两圆方程为与，则下列说法不正确的是（ ）
A.若两圆相切，则 B.若两圆公共弦所在方程为，则
C.若两圆的公共弦长为，则 D.若两圆在交点处的切线互相垂直，则
10.在正方体中，下列结论中正确的是（ ）
A.四边形的面积为 B.与的夹角为60°
C. D.
11.（多选）已知曲线：（），则（ ）
A.曲线围成的面积为
B.曲线截直线所得弦的弦长为
C．曲线上的点到点的距离的最大值为
D.曲线上的点到直线的距离的最大值为
12.如下图所示，棱长为2的正方体中，E、F分别为陵、的中点，G为面对角线上一个动点，则（ ）
第12题图
A.三棱锥的体积为定值 B.存在线段，使平面平面
C.当G为中点时，直线EG与所成角最小 D.三棱锥的外接球半径的最大值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知点在曲线上运动，则的最大值为 .
14.已知直线l：（）与圆C：相切，则 .
15.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A的坐标为，AB边上的中线CM所在的直线方程为，∠B的角平分线所在的直线方程为，则直线BC的方程为 .
16.正方体中，点P满足，且，直线与平面所成角为，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.已知圆雉的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为90°，若△PAB的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥的内切球体积.
18.如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，，点M，N分别在线段AB，PC上.
第18题图
（1）求证：直线CD⊥平面PAD.
（2）是否存在M，N，使得MN⊥AB，MN⊥PC？若存在，求出直线MN与平面PBC所成角的正弦值.若不存在，请说明理由.
19.
（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界而射回原介质中的现象，被称为光的反射，一条光线从点出发，经l：反射后到达点，求反射光线所在直线的方程；
（2）已知，直线l的斜率小于0，且l经过点.l与坐标轴交于M，N两点，试问△CMN的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.
20.如图，四棱锥P-ABCD内，PB⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，.过P的直线l交平面ABCD于正方形ABCD内的点M，且满足平面PAM⊥平面PBM.
第20题图
（1）求点M的轨迹长度；
（2）当二面角M-PA-B的余弦值为时，求二面角P-MA-D的余弦值.
21.已知圆与两坐标轴相切.
（1）若圆也与两坐标轴相切，且两圆都过点，求两圆的圆心距；
（2）设点在直线上运动，点D为圆上一点，且.
（ⅰ）求圆的方程：
（ⅱ）过点P做圆的两条切线PA，PB，设切线PA与PB斜率分别为，，且时，求点P的坐标.
22.如图，在长方体中，，，记M为棱BC的中点，若动点P在平面上运动，并满足，
第22题图
（1）求点P的轨迹与侧面相交所形成的曲线长度：
（2）在点P运动过程中，平面ADP与平面MCP是否能形成直二面角？若能求出点P的位置；若不能，说明理由；
（3）过点D做的角平分线l，E，F为直线l上的两点，且对任意的点P都有，求线段EF长度的最小值.
景德镇市昌江区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
参考答案
一、单选题
1-8：BDBB DCDB
二、多选题
9.ACD 10.AC 11.ABD 12.AD
三、填空题
13. 14.0或 15. 16.
四、解答题
17.解：令圆锥母线长、底面半径分别为l、r，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°知，，
又，
∴，
∴侧面积为.
（2）由（1）可知，圆锥的高，
设内切球半径为R
则有，解得，
18.
（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD。
又因为底面ABCD为矩形，CD⊥AD，所以根据，PA，平面PAD，
得CD⊥平面PAD。
（2）解：以A为原点，AP为z轴，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系。
所以，，，
令，，得，所以，
根据，得，
所以，所以，
取MN的方向向量为，设平面PBC的法向量为，
根据，得，所以。
19.解：
（1）设A关于直线的对称点为，
则，解得，，
所以反射光线所在直线为AB＇，其方程为，即.
（2）由题意可设直线l：.
不妨假设M在x轴上，则，，
则△CMN的面积，
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故△CMN的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为.
20.解：
（1）作BH⊥PM交PM于H，
因为平面PAM⊥平面PBM，且平面平面，所以BH⊥平面PAM，
又因为平面PAM，所以BH⊥AM，
因为PB⊥平面ABCD，且平面ABCD，所以PB⊥AM，
因为BH⊥AM，PB⊥AM，PB、平面PBM，，所以AM⊥平面PBM，
又因为平面PBM，所以AM⊥BM，则点M在以AB为直径的半圆弧上，轨迹长度为.
（2）分别以直线BA，BC，BP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
设，，，
由（1）知，因为AM⊥BM，所以，，，
所以，即，
故可设，，
则，，，
设平面PAM的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
可得平面PAM的一个法向量为，
易知平面PAB的一个法向量为，
所以，
解得，所以，
易知平面MAD的一个法向量为，所以.
由图知，二面角P MA D的平面角为钝角，
故二面角P MA D的余弦值为.
21.解：
（1）设圆：，圆：
代入，得，
故方程有两解为、，
则，，
（2）（ⅰ）设圆：，易得.
故圆：.
（ⅱ）设过点P的切线方程为：，
则有：，
化简得：
∴
解得：，故点p为
22.解：
（1）因为点P的轨迹与侧面相交，
所以点P的轨迹在侧面内，
由长方体性质可知：AD，BC都与平面垂直，
而DP，CP在平面内，所以AD⊥DP，CP⊥BC，
由，
可知，即，故，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，故所求点满足，化简得，
故所求的即为此圆在矩形内的部分，
即圆心角为，半径为2的圆弧，长度为．
（2）设平面平面，
∵
平面MCP，平面MCP
∴=平面MCP，
故，.
∵平面
∴，
∴
同理
∴∠DPC为平面角
在平面yoz中，，过点D作直线m：
在直线m与圆相切时，，
∴
解得，故.
（3）当直线l：上存在E、F使得恒成立，
则以EF为直径的圆要包括圆：.
点到直线l的距离，
∴.

展开更多......

收起↑