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第十章 静电场中的能量
第5节 带电粒子在电场中的运动
一、带电粒子在电场中的加速
为什么研究加速器
在原子物理、核物理领域，带电粒子被加速成高能粒子，轰击原子、原子核，帮助人类认识物质微观结构。
电子在加速器中是受到什么力的作用而加速的呢?
在医学领域，带电粒子被加速，轰击金属靶，产生射线，用于放射治疗。
3、带电体：是否考虑重力，要根据题目暗示或运动状态来判定.
所受重力一般远小于电场力，一般都不考虑重力(有说明或暗示除外). 但并不能忽略质量
2、宏观带电微粒：如带电小球、液滴、油滴、尘埃等.
注意：忽略粒子的重力并不是忽略粒子的质量
注意：1、微观带电粒子（基本粒子）：如电子、质子、α粒子，正负离子等.
一般都考虑重力(有说明或暗示除外).
A
B
U
d
E
+
F
v
例：如图，一个质量为m、带正电荷q的粒子，在匀强电场中由静止开始从正极板A向负极板B运动。试计算粒子到达负极板时的速度？
方法一：动力学观点：
主要用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律
只适用于匀强电场
初速度不为零呢？
方法二：能量观点：
——利用动能定理
A
B
U
d
E
+
F
v
粒子加速后的速度只与加速电压有关。
若电荷是-q，该怎样求解？
若两极板间不是匀强电场，该用何种方法求解？
若粒子的初速度为零,则:
若粒子的初速度不为零,则:
能量观点：动能定理
+
-
+
【答案】B
【解析】由????????=1?2?????????2得????=?2?????????????
?
例：如图所示，????、????是在真空中竖直放置的两块平行金属板，质量为????、电量为+????的质子，以极小的初速度由小孔进入电场，当????、????间电压为????时，粒子到达????板的速度为????，如果要使这个带电粒子到达????板的速度为???????? ，则下述方法能满足要求的是（ ）
A、使????、????间电压增加为????????
B、使????、????间电压增加为????????
C、使????、????间电压不变，距离减半
D、使????、????间电压不变，距离加倍
?
若板间距离1mm，当电压达到31.35kv，空气被击穿，提高电压是提高速度的有效措施，但存在击穿电压以及安全性，电压不能过高，速度不能达到要求。如何解决？
例．质量和电荷量不同的带电粒子，在电场中由静止开始经相同电压加速后（　　）
A．比荷大的粒子速度大，电荷量大的粒子动能大
B．比荷大的粒子动能大，电荷量大的粒子速度大
C．比荷大的粒子速度和动能都大
D．电荷量大的粒子速度和动能都大
A
例：如图所示，在平行板电容器A、B两板上加上如图所示的交变电压，开始时B板电势比A板高，这时两板中间原来静止的电子在电场力作用下开始运动，设A、B两板间的距离足够大，则下述说法中正确的是（　　）A．电子先向A板运动，然后向B板运动，再返回A板做周期性来回运动 B．电子一直向A板运动
C．电子一直向B板运动
D．电子先向B板运动，然后
向A板运动，再返回B板做周期性来回运动
C
电子在第一个周期的运动情况0～0.2s时间内，B板电势高，电场强度向右，电场力向左，电子向左做初速度等于零的匀加速直线运动，设两板间的距离为d，末速度为 ； 解得 ；0.2s～0.4s时间内，B板电势低，电场强度向左，电场力向右，电子向左做初速度等于v的匀减速直线运动，末速度分别为 ； 解得v2=0；由以上可知，电子在第一个周期内一直向左运动，所以电子一直向B板运动，C正确，ABD错误。
例、如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔。右极板电势随时间变化的规律如图所示。电子原来静止在左极板小孔处（不计重力作用） 。下面对粒子的运动描述正确的是： （ ）

AC
A.从t=0时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上
B.从t=0时刻释放电子，电子可能在两板间振动
C.从t=T/4时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上
D.从t=3T/8时刻释放电子，电子必将打到左极板上
多级加速
如图多级平行板连接，能否加速粒子？
U
＋
＋
＋
－
－
－
A
B
C
D
E
F
不能
北京正负电子对撞机的直线加速器
多级直线加速器原理
1、设金属圆筒内部没有电场，且每个圆筒间的缝隙宽度很小，电子穿过缝隙的时间可忽略不计。
2、粒子在每个加速电场中的运动时间相等，因为交变电压的变化周期相同需要调节至电子穿过每个圆筒的时间恰为交流电的半个周期。
【例】如图甲，某装置由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图 乙所示。在 t＝0 时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央的一个电子，在圆板和圆筒 1 之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒 1，为使电子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，圆筒长度的设计必须遵照一定的规律。若已知电子的质量为m，电子电荷量为 e，电压的绝对值为 u，周期为 T，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。则金属圆筒的长度和它的序号之间有什么定量关系？第n 个金属圆筒的长度应该是多少？
如图，一带电粒子以垂直匀强电场的场强方向以初速度v0射入电场，若不计粒子的重力，带电粒子将做什么运动？
1.受力分析：
仅受沿电场方向的电场力
做类平抛运动
2.运动分析：
v0
q、m
L
d
- - - - - - - - - -
+ + + + + + + + +
U
+
+
二二、带电粒子在电场中的偏转
垂直电场方向：匀速直线运动
沿电场方向：初速度为零的匀加速直线运动
L
d
+
- - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + +
U
v0
q、m
F
+
v
v0
vy
y
θ
偏转角（偏向角）
偏移距离（侧移距离或侧移量）
如图，粒子以初速度v0射入电场，求射出电场时沿垂直于板面方向偏移的距离y和速度偏转的角度θ。
L
d
- - - - - - - -
+ + + + + + + + +
U
v0
q、m
+
+
vy
θ
v
v0
y
1.飞行时间：
2.加速度：
3.x方向分速度：
4.y方向分位移：
5.速度偏转角：
能飞出极板（ ）
四、带电粒子在电场中偏转的临界问题
播放
L
d
- - - - - - - -
+ + + + + + + + +
U
v0
q、m
+
+
vy
θ
v
v0
y0
1.飞行时间：
2.x方向分速度：
3.y方向分速度：
4.x方向分位移：
5.速度偏转角：
不能飞出极板
1.初速度v0相同的带电粒子，偏转距离y和偏转角度θ都与q/m成正比。
当偏转电场的U、L、d一定：
L
d
- - - - - - - - - -
+ + + + + + + + +
U
v0
q、m
+
+
vy
θ
v
v0
y
2.初动能mv02/2相同的带电粒子，偏转距离y和偏转角度θ都与q成正比。
3.比荷q/m相同的带电粒子，偏转距离y和偏转角度θ都与v02成反比
规律总结：
【例】(多选）如图所示，有两个相同的带电粒子A、B，分别从平行板间左侧中点和贴近上极板左端处以不同的初速度垂直于电场方向进入电场，它们恰好都打在下极板右端处的C点，若不计重力，则可以断定（　　）
A．A粒子的初动能是B粒子的2倍
B．A粒子在C点的偏向角的正切值是B粒子的2倍
C．A、B两粒子到达C点时的动能可能相同
D．如果仅将加在两极板间的电压加倍，A、B两粒子到达下极板时仍为同一点D（图中未画出）
【ACD】
ACD
C
A
B
U1
E
+
F
- - - - - - - - - -
+ + + + + + + + +
U2
+
vy
θ
y
v
v0
三、带电粒子在电场中的先加速再偏转
和偏转
v0
如图，若粒子能从极板的右边缘飞出偏转电场，则末速度反向延长线交于水平位移的中点,粒子好像从极板间L/2处沿直线射出一样。
d
L/2
y
v0
-q
v
v0
v⊥
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
L
Y
X
U2
荧光屏
光斑
U1
若粒子是从静止经过电场加速电压U1加速后进入偏转电场U2发生侧移y；离开电场后，打在荧光屏上形成光斑，光斑距荧光屏中心的距离Y。请结合前面结论，推出y与Y的表达式。
-
θ
θ
d
L/2
y
v0
-q
v
v0
v⊥
θ
θ
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
L
Y
X
U2
荧光屏
光斑
U1
-
例：如图所示，电子在电势差为U1的电场中由静止加速后，垂直射入电势差为U2的偏转电场。在满足电子能射出偏转电场的条件下，下列四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是（　　）
A．U1变大，U2变大 B．U1变小，U2变小
C．U1变大，U2变小 D．U1变小，U2变大
D
四、带电粒子在交变电场中的运动
1.交变电场
在两个相互平行的金属板间加交变电压,两板之间便可出现交变电场。此类电场从空间上看是匀强电场,即同一时刻电场中各个位置的电场强度的大小、方向都相同;从时间上看是变化的电场,即电场强度的方向随时间变化。常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。(当带电粒子通过电场的时间远远小于电场变化的周期时，可认为电场强度的大小、方向都不变。)
2.常见的模型特点
(1)粒子做单向或往返直线运动
　　带电粒子在交变电场中的直线运动,一般是加速、减速交替出现的多过程运动。解决的方法是分析清楚其中一个完整的过程,有时也可借助v-t图像进行运动过程分析,找出各个过程中的重要物理量间的关系,进行归纳、推理,从而发现其运动规律,再进行分段处理求解。要注意释放位置的不同造成的运动状态的差异。
1、 带电粒子在变化电场中的运动
　　如图甲,若带正电的粒子静止在M、N两板正中位置,在t=0时刻加上图乙所示的电场,则0~?时间内,粒子向右做匀加速运动;?~?时间内向右做匀减速运动;?~?时间内向左做匀加速运动,? ~T时间内向左做匀减速运动,运动过程中加速度大小均相等,T时刻粒子回到原位置。粒子将做往复运动。若在?时刻加上电场,粒子将一直向左运动。
(2)交变电场中粒子做偏转运动
一般根据交变电场特点分段研究。解决的方法是应用运动的合成与分解知识,把曲线运动分解为两个方向的直线运动,再分别利用直线运动的规律加以解决。
3.一般方法
(1)带电粒子在交变电场中的运动涉及力学和电学知识,由于不同时段粒子的受力不同,运动状态不同,处理起来较为复杂,但实际仍可从力学角度分析。解决该类问题需要进行受力分析和运动状态分析,应用力学和电学的基本规律定性、定量分析和求解。
(2)对于一个复杂的运动,可以将其看成是几个分运动合成的。某一方向的分运动不会因其他分运动的存在而受到影响。?
例。在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板间距离为d，在两极板间加一交变电压如图乙，质量为m，电荷量为e的电子以速度v0（v0接近光速的）从两极板左端中点沿水平方向连续不断地射入两平行板之间。若电子经过两极板间的时间相比交变电流的周期可忽略不计，不考虑电子间的相互作用和相对论效应，则在任意0.2s内（　　）
A．当 时，所有电子都能从极板的右端射出
B．当 时，将没有电子能从极板的右端射出
C．当 时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1：2
D．当 时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
D
Y
Y’
X
X’
-
+
-
-
+
-
若金属平行板水平放置，电子将在竖直方向发生偏转。
若金属平行板竖直放置，电子将在水平方向发生偏转。
偏转电极的不同放置方式
示波器的作用：
拓展：示波管的原理
示波器是一种用途十分广泛的电子测量仪器。它能把肉眼看不见的电信号变换成看得见的图像，便于人们研究各种电现象的变化过程。示波器利用狭窄的、由高速电子组成的电子束，打在涂有荧光物质的屏面上，就可产生细小的光点。示波器的核心部件是示波管。
在被测信号的作用下，电子束就好像一支笔的笔尖，可以在屏面上描绘出被测信号的瞬时值的变化曲线。
加速电压
????
?
????′
?
????
?
????′
?
????
?
????′
?
????
?
????′
?
电子枪
偏转电极
亮斑
亮斑
荧光屏
+
?
?
?
电子枪
产生高速飞行的电子束
+
?
?
?
加速电压
????
?
????′
?
两端加待显示的电压信号，
使电子沿????方向偏移。
?
????
?
????′
?
锯齿形扫描电压，
使电子沿????方向偏移。
?
示波管的构造
如果在电极 XXˊ 之间不加电压，而在 YYˊ 之间加不变电压，使Y 的电势比 Yˊ 高，电子将打在荧光屏的什么位置？
-
+
Xˊ
Xˊ
X
X
Y
Yˊ
Yˊ
Y
电子枪
偏转电极
荧光屏
如果在电极 XXˊ 之间不加电压，而在 YYˊ 之间加不变电压，使 Y ˊ 的电势比Y 高，电子将打在荧光屏的什么位置？
-
+
Xˊ
Xˊ
X
X
Y
Yˊ
Yˊ
Y
电子枪
偏转电极
荧光屏
如果在 XXˊ 之间不加电压，而在 YYˊ 之间加按图示的规律变化的电压，在荧光屏会看到的什么样的图形？
Xˊ
X
Y
Yˊ
UY
t
O
Yˊ 随信号电压同步变化，但由于视觉暂留和荧光物质的残光特性，只能看到一条竖直的亮线。
-
+
Xˊ
Xˊ
X
X
Y
Yˊ
Yˊ
Y
电子枪
偏转电极
荧光屏
如果在电极 YYˊ 之间不加电压，而在 XXˊ 之间加不变电压，使 X 的电势比 Xˊ 高，电子将打在荧光屏的什么位置？
-
+
Xˊ
Xˊ
X
X
Y
Yˊ
Yˊ
Y
电子枪
偏转电极
荧光屏
如果在电极 YYˊ 之间不加电压，而在 XXˊ 之间加不变电压，使 X ˊ 的电势比 X 高，电子将打在荧光屏的什么位置？
UX
t
扫描电压
总结：若 XXˊ 所加的电压为特定的周期性变化电压，则亮斑在水平方向来回运动一一扫描，如果扫描电压变化很快，亮斑看起来为一条水平的亮线。
示波器图象
O
Xˊ
X
Y
Yˊ
如果在 YYˊ 之间加如图所示的交变电压，同时在 XXˊ 之间加锯齿形扫描电压，在荧光屏上会看到什么图形？
A
B
C
D
F
A
B
C
t1
D
E
F
t2
Xˊ
X
Y
Yˊ
t
O
UY
UX
O
t
A
B
C
D
E
E
F
t2
t1
t2
t1
如果信号电压是周期性的，并且扫描电压与信号电压的周期相同，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图象。
示波器图象
t
O
UY
UX
O
t
Xˊ
X
Y
Yˊ
C
五、带电粒子在复合场中的运动
　　带电粒子在复合场中的运动指带电粒子在运动过程中同时受到几个场力作用而做的运动。常见的是带电粒子同时受到重力和静电力的作用。研究时,常用以下两种方法:
1.力和运动的关系分析法
　　根据带电粒子受到的合外力,用牛顿第二定律求出加速度,结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。这条线索通常适用于恒力作用下带电粒子做匀变速运动的情况。分析时具体有以下两种方法:
(1)正交分解法
　　处理这种运动的基本思想与处理偏转运动的思想类似,将复杂的运动分解为两个互相正交的比较简单的直线运动,然后按运动合成的观点去求解复杂运动的有关物理量。
( （2）等效“重力”法
所谓等效“重力”法是指:将重力与静电力进行合成,如图甲所示,则F合为“等效重力场”中的“重力”,a=? 为“等效重力加速度”,F合的方向等效为“重力”的方向,即在“等效重力场”中的“竖直向下”方向。
??????
　　带电粒子在匀强电场与重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。对于这类问题,常采用等效“重力”法求解。如在“等效重力场”中做圆周运动的带电小球,能维持圆周运动的条件是能过“最高点”,在“最高点”有F合=? 。注意这里的“最高点”不一定是几何最高点,而是物理最高点(如图乙)。
2.功能关系分析法
　　从功能观点出发分析带电粒子的运动问题时,在对带电粒子受力情况和运动情况进行分析的基础上,考虑运用恰当的规律解题。对受变力作用的带电体的运动,必须借助能量的观点来处理。
(1)如果选用动能定理解题,要分清有几个力做功,做正功还是负功,是恒力做功还是变力做功,以及初、末状态的动能。分析时注意静电力做功与路径无关。
(2)如果选用能量守恒定律解题,要分清有多少种形式的能参与转化,哪种能量增加,哪种能量减少,且增加量等于减少量。
例.如图所示,水平放置的A、B两平行金属板相距为d,现有质量为m,电量为-q的小球,从距A板高h处自由下落,通过小孔C进入电场,但没能到达B板,求AB间电势差的最小值.
全过程应用动能定理，
得 mg(h+d)-qUmin=0
解得：Umin=
mq(h+d)/q
例.如图所示，A、B为平行金属板，两板相距d，分别与电源两极相连，两板的中央各有一个小孔M、N。今有一带电质点，自A板上方相距为d的P点由静止自由下落（P、M、N在同一竖直线上），空气阻力不计，到达N孔时速度恰好为零，然后沿原路返回，若保持两板板间的电压不变，则（ ）
A、把A板向上平移一小段距离，质点自P点自由下落仍能返回
B、把A板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
C、把B板向上平移一小段距离，质点自P点自由下落仍能返回
D、把B板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
P
M
N
A
B
d
d
ACD
P
M
N
A
B
d
d
mg
Eq
mg
从P到N的过程中
由动能定理得：
mg2d-Eqd=0
mg2d-Uq=0
当A板下移，从P到N的过程中，同理
质点到N点时，速度刚好为零。
B、把A板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
所以，仍能返回
P
M
N
A
B
d
d
从P到N的过程中由动能定理得：
h
mg(2d+h)
mvN2
1
2
-Uq
=
-0
vN＞0
将穿过N孔继续下落
D、把B板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
答案：ACD
B
例.（2021?湖南高考）（多选）如图，圆心为O的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，ab和cd为该圆直径。将电荷量为q（q＞0）的粒子从a点移动到b点，电场力做功为2W （W＞0）；若将该粒子从c点移动到d点，电场力做功为W。下列说法正确的是（　　）
A．该匀强电场的场强方向与ab平行
B．将该粒子从d点移动到b点，电场力做功为0.5W
C．a点电势低于c点电势
D．若只受电场力，从d点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动
AB
例、如图所示，长为L的绝缘细线一端连着带正电小球（视为点电荷），另一端固定在O点，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动。已知小球的质量为m、电荷量为q，匀强电场的电场强度大小为E、方向水平向右，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）
A．小球经过最低点时速度最大
B．若细线断裂，小球将做匀变速运动
C．小球运动过程中的最小速度可能为
D．若小球做逆时针运动，从B点运动到D点的过程中，其动能、重力势能和电势能之和先增加后减少
B
例.如图,水平地面上固定有一倾角为θ=37°的绝缘光滑斜面,在地面上方的空间中有一方向水平向左的匀强电场。另有一半径为R=0.6 m的四分之三绝缘光滑圆弧轨道竖直固定在匀强电场中,其最高点为A。一质量为m=0.4 kg、电荷量大小为q=2.0×10-4 C且可视为质点的小球从斜面底端以初速度v0=2.4 m/s沿斜面向上做匀速直线运动,小球离开斜面后运动到最高点时,恰好从圆弧轨道的最高点A进入圆弧轨道内侧运动而不脱离轨道。重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不计空气阻力。求:
(1)匀强电场的场强大小;
(2)小球离开斜面后上升到最高点时的速度大小;
(3)小球在圆弧轨道内侧运动时对轨道的最大压力的大小。
??(1)小球沿斜面向上匀速运动时,受力如图甲所示
电场力F=mg tan θ
故场强大小E=?=? =1.5×104 N/C
(2)小球离开斜面后,在竖直方向上以初速度vy做竖直上抛运动,在水平方向上以初速度vx做
匀加速运动,如图乙。
小球离开斜面后,上升到最高点时竖直分速度为0,
有0-vy=0-v0 sin θ=-gt
水平方向有qE=ma
在最高点时水平速度v=vx+at=v0 cos θ+at
解得小球在最高点时的速度大小v=3 m/s
(3)小球从A点进入圆弧轨道后,运动到等效最低点B时
速度最大,从A点运动到B点的过程,有
mgR(1+cos θ)+qER sin θ=?m?—? mv2
解得vm=6 m/s
?
小球经过等效最低点B时对轨道压力最大,有N-mg cos θ-qE sin θ=m?
代入数据,求得N=29 N
由牛顿第三定律可得,小球对轨道的最大压力大小Fm=N=29 N
答案????(1)1.5×104 N/C????(2)3 m/s????(3)29 N
解题的关键是建立小球的运动学模型,选择恰当的物理规律,体现科学思维核心素养。

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