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第1讲 数轴、相反数、绝对值知识点易错点拨与题型训练
考点一 数轴
【知识点睛】
数轴三要素：原点、正方向、单位长度
数轴是一条直线
所有的有理数都可以在数轴上表示
数轴上任意两点比较大小：右＞左
数轴上任意两点间的距离表示：右-左/|a-b|
数轴上任意两点a、b的中点x公式：
易错点拨：
①数轴是一条直线，原点两边都可以无限延伸，画数轴，则需要多少画多少；
②所有的有理数都能在数轴上表示，但是数轴上的点表示的不都是有理数，后续也可以是实数；
③数轴上任意两点间的距离，不知道点的左右关系时，必须加“| |”，并注意接下来的分类讨论；
【类题训练】
1．数轴上的点B到原点的距离是6，则点B表示的数为（　　）
A．12或﹣12 B．6 C．﹣6 D．6或﹣6
2．一只蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点A，则点A表示的数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．±3
3．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝10，则点A表示的数为（　　）
A．﹣5 B．0 C．5 D．﹣10
4．如图，有一个直径为1个单位长度的圆片，把圆片上的点放在数轴上﹣1处，然后将圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达点A'位置，则点A'表示的数是（　　）
A．﹣π+1 B． C．π+1 D．π﹣1
5．一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是﹣8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝4，则C点表示的数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．1或﹣3
6．在数轴上，点A、B表示的数分别为，，则A、B间的距离为 　 　．
7．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为﹣4，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺4.5cm处．
（1）在图1的数轴上，AC＝　 　个单位长度；
（2）求数轴上点B所对应的数b为 　 　．
8．一只昆虫从原点出发在一条直线上左右来回爬行，假定向右爬行的路程记作正，向左爬行的路程记作负，爬过的各段路程依次为（单位：cm）：+2，﹣4，+5，﹣2.5，﹣5，+4.5，这只昆虫最后是否回到了原来的出发点？
9．点M，N是数轴上的两点（点M在点N的左侧），当数轴上的点P满足PM＝2PN时，称点P为线段MN的“和谐点”．已知，点O，A，B在数轴上表示的数分别为0，a，b，回答下面的问题：
（1）当a＝﹣1，b＝5时，线段AB的“和谐点”所表示的数为 　 　；
（2）当b＝a+6且a＜0时，如果O，A，B三个点中恰有一个点为其余两个点组成的线段的“和谐点”，此时a的值为 　 　．
10．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是 　 　；
（2）点A表示数﹣10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．
考点二 相反数
【知识点睛】
任意数a的相反数为-a,a可以是一个单独的数，也可以是一个代数式
若a、b互为相反数 a+b=0，即二者可以互推
易错技巧点拨：
①数轴上互为相反数的两个点（除原点外），居于原点的两侧，并且到原点的距离相等
②求多项式的相反数时，组成多项式的各项的符号都要变号，
如a+b的相反数为-a-b；a-b的相反数为-a+b或b-a
③互为相反数的两个数符号不一定是相反的，0的相反数还是0
【类题训练】
1．2022的相反数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C．﹣ D．
2．化简：﹣（﹣2）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．下列说法正确的有（　　）
①a的相反数是﹣a
②所有的有理数都能用数轴上的点表示
③若有理数a+b＝0，则a、b互为相反数
④﹣1的绝对值等于它的相反数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A．﹣与0.3 B．7与﹣ C．﹣（﹣6）与﹣6 D．4与
5．若式子3x与7x﹣10互为相反数，则x＝　 　．
6．如果x的相反数是﹣2021，那么2﹣x的值是 　 　．
7．已知a、b互为相反数，c是绝对值最小的数，d是负整数中最大的数，则a+b+c﹣d＝　 　．
8．在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它们的相反数．
9．已知：数轴上A点表示+8，B、C两点表示的数为互为相反数，且C到A的距离为3，求点B和点C各对应什么数？
10．已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上表示出a的相反数的位置．
（2）若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
（3）在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？
考点三 绝对值
【知识点睛】
绝对值的非负性：
几何意义：|a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离
|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离
|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离
“|a|=b ”中，若已知a求b，则b的值只有一个，不需要分类讨论；若已知b求a，则a的值一般有两个，要特别注意分类讨论
绝对值=1的数为±1、绝对值是数本身的数是非负数、绝对值是数相反数的数是非正数
易错技巧点拨：
①任何绝对值的考察，勿忘0的特殊性
②绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以互为相反数；如|a|=|b|，则得a=b或a=-b
③绝对值的非负性、平方的非负性与相反数性质的结合考察问题总结：
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b2=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式）
④数轴上的两个点，谁离远点越远，谁的绝对值越大
【类题训练】
1．已知﹣3＜x＜3，下列四个结论中，正确的是（　　）
A．|x|＞3 B．|x|＜3 C．0≤|x|＜3 D．0＜|x|＜3
2．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．|+1|与|﹣1| B．﹣（﹣1）与1 C．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3| D．﹣|+2|与+（﹣2）
3．如图，检测排球的质量，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面已检测的四个排球中其中质量最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各式的结论成立的是（　　）
A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若|m|＞|n|，则m＞n
C．若m＞n，则|m|＞|n| D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|
5．若a为有理数，且满足|a|＝﹣a，则（　　）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
6．在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若|a﹣b|＝2022，当a取最大值时，b值是（　　）
A．2023 B．2021 C．1011 D．1
7．若|x|＝5，|y|＝2且x＜0，y＞0，则x+y＝（　　）
A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3
8．下列说法中正确的是（　　）
A．两个负数中，绝对值大的数就大 B．两个数中，绝对值较小的数就小
C．0没有绝对值 D．绝对值相等的两个数不一定相等
9．有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则|m﹣n|+|m+n|的值为（　　）
A．2n B．2m C．﹣2n D．﹣2m
10．设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
11．下列说法正确的是（　　）
①已知a＞0，b＜0，则＝1；
②若|a+4|＝﹣4﹣a，|b﹣3|＝b﹣3，则化简|b+3|﹣|a﹣4|＝a﹣b﹣7；
③如果定义{a，b}＝，当ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|时，则{a，b}的值为a+b．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．若|a﹣2020|+（﹣3）＝10，则a＝　 　．
13．对于有理数a，b，n，若|a﹣n|+|b﹣n|＝1，则称b是a关于n的“相关数”，例如，|2﹣2|+|3﹣2|＝1，则3是2关于2的“相关数”．若x1是x关于1的“相关数”，x2是x1关于2的“相关数”，…，x4是x3关于4的“相关数”．则x1+x2+x3＝　 　．（用含x的式子表示）
14．对于式子|x﹣1|+|x﹣5|在下列范围内讨论它的结果．
（1）当x＜1时；
（2）当1≤x≤5时；
（3）当x＞5时．
15．综合应用题：
|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．
（1）|x|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与 　 　之间的距离，|x|　 　|x﹣0|；（选填“＞”“＜”或“＝”）
（2）|2﹣1|几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则|2﹣1|＝　 　；
（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与表示 　 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　 　；
（4）|x﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与表示 　 　的点之间的距离，若|x﹣（﹣2）|＝2，则x＝　 　；
（5）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7这样的整数是 　 　．
第1讲 数轴、相反数、绝对值知识点易错点拨与题型训练
考点一 数轴
【知识点睛】
数轴三要素：原点、正方向、单位长度
数轴是一条直线
所有的有理数都可以在数轴上表示
数轴上任意两点比较大小：右＞左
数轴上任意两点间的距离表示：右-左/|a-b|
数轴上任意两点a、b的中点x公式：
易错点拨：
①数轴是一条直线，原点两边都可以无限延伸，画数轴，则需要多少画多少；
②所有的有理数都能在数轴上表示，但是数轴上的点表示的不都是有理数，后续也可以是实数；
③数轴上任意两点间的距离，不知道点的左右关系时，必须加“| |”，并注意接下来的分类讨论；
【类题训练】
1．数轴上的点B到原点的距离是6，则点B表示的数为（　　）
A．12或﹣12 B．6 C．﹣6 D．6或﹣6
【分析】根据数轴上互为相反数的两个数表示的点到原点的距离相等即可得出答案．
【解答】解：∵点B到原点的距离是6，
∴点B表示的是±6，
故选：D．
2．一只蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点A，则点A表示的数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．±3
【分析】数轴上，在原点左边的点表示的数为负数，原点表示的数为0，在原点右边的点表示的数为正数，由原点右边的点表示的数等于这点到原点的距离，即可求解．
【解答】解：∵由题意知蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点A，首先点A表示的数是正数，又与原点相距三个单位长度，
∴点A表示的数是3，
故选：A．
3．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝10，则点A表示的数为（　　）
A．﹣5 B．0 C．5 D．﹣10
【分析】根据相反数的性质，由a+b＝0，AB＝6得 a＜0，b＞0，b＝﹣a，故AB＝b+（﹣a）＝10进而推断出a＝﹣5．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，即a与b互为相反数，
又∵AB＝10，
∴b﹣a＝10，
∴2b＝10，
∴b＝5，
∴a＝﹣5，即点A表示的数为﹣5，
故选：A．
4．如图，有一个直径为1个单位长度的圆片，把圆片上的点放在数轴上﹣1处，然后将圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达点A'位置，则点A'表示的数是（　　）
A．﹣π+1 B． C．π+1 D．π﹣1
【分析】根据数轴上的点表示的数解决此题．
【解答】解：由题意得，圆片的周长为π．
∴点A'表示的数是﹣1+π．
故选：D．
5．一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是﹣8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝4，则C点表示的数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．1或﹣3
【分析】设点C表示的数为x，分两种情况：A′在线段CB的延长线上或线段CB上分别计算即可．
【解答】解：设点C表示的数为x，
当A′在线段CB的延长线上时，
∵A'B＝4，
∴点A′表示的数为6+4＝10，
∵AC＝A′C，
∴x﹣（﹣8）＝10﹣x，
解得：x＝1；
当A′在线段CB上时，
∵A'B＝4，
∴点A′表示的数为6﹣4＝2，
∵AC＝A′C，
∴x﹣（﹣8）＝2﹣x，
解得：x＝﹣3；
故选：D．
6．在数轴上，点A、B表示的数分别为，，则A、B间的距离为 　 　．
【分析】利用两点间的距离公式，右边的数减去左边的数即可．
【解答】解：A、B间的距离等于﹣（）＝+＝．
故答案为：．
7．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为﹣4，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺4.5cm处．
（1）在图1的数轴上，AC＝　 　个单位长度；
（2）求数轴上点B所对应的数b为 　 　．
【分析】（1）根据两点之间的距离即可得出答案；
（2）先求出1个单位长度是多少厘米，再求1.5厘米是几个单位长度，根据有理数的加法即可得出答案．
【解答】解：（1）5﹣（﹣4）＝9（个），
故答案为：9；
（2）4.5÷9＝0.5（厘米），
1.5÷0.5＝3（个），
b＝﹣4+3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
8．一只昆虫从原点出发在一条直线上左右来回爬行，假定向右爬行的路程记作正，向左爬行的路程记作负，爬过的各段路程依次为（单位：cm）：+2，﹣4，+5，﹣2.5，﹣5，+4.5，这只昆虫最后是否回到了原来的出发点？
【分析】利用有理数的加法求解．
【解答】解：∵+2﹣4+5﹣2.5﹣5+4.5＝0，
∴这只昆虫最后回到了原来的出发点．
9．点M，N是数轴上的两点（点M在点N的左侧），当数轴上的点P满足PM＝2PN时，称点P为线段MN的“和谐点”．已知，点O，A，B在数轴上表示的数分别为0，a，b，回答下面的问题：
（1）当a＝﹣1，b＝5时，线段AB的“和谐点”所表示的数为 　 　；
（2）当b＝a+6且a＜0时，如果O，A，B三个点中恰有一个点为其余两个点组成的线段的“和谐点”，此时a
的值为 　 　．
【分析】（1）设线段AB的“和谐点”所表示的数为x，分两种情况讨论：①点在A、B之间；②点在B的右边．根据新定义列出方程求解；
（2）首先由b＝a+6得出AB＝6，再分三种情况讨论：①点O为线段AB的“和谐点”；②点A为线段OB的“和谐点”；③点B为线段AO的“和谐点”．根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设线段AB的“和谐点”为P，P表示的数为x．
①如果点P在A、B之间，
∵PA＝2PB，A，B在数轴上表示的数分别为﹣1，5，
∴x﹣（﹣1）＝2（5﹣x），
解得x＝3；
②如果点P在B的右边，
∵PA＝2PB，
∴x﹣（﹣1）＝2（x﹣5），
解得x＝11．
故答案为：3或11；
（2）∵b＝a+6，
∴b﹣a＝6，即AB＝6，
分三种情况：
①如果点O为线段AB的“和谐点”，那么AO＝2OB，
根据题意可得，0﹣a＝2（b﹣0），或0﹣a＝2（0﹣b），
即a＝﹣2b，或a＝2b，
又b＝a+6，
∴a＝﹣4，b＝2，或a＝﹣12，b＝﹣6；
②如果点A为线段OB的“和谐点”，那么AO＝2AB，
∵a＜0，
∴这种情况不存在；
③如果点B为线段AO的“和谐点”，那么AB＝2OB，
根据题意可得，6＝2（0﹣b），或6＝2（b﹣0），
即b＝﹣3，或b＝3，
又∵b＝a+6，
∴a＝﹣9或a＝﹣3；
故答案为：﹣3，﹣4，﹣9，﹣12．
10．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是 　 　；
（2）点A表示数﹣10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．
【分析】（1）根据新定义内容，结合数轴上两点间距离公式求解；
（2）①根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想求解；
②根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想求解．
【解答】解：（1）∵AC1＝﹣1﹣（﹣2）＝1，BC1＝1﹣（﹣1）＝2，
∴2AC1＝BC1，
∴C1是点A，B的“关联点”；
∵AC2＝2﹣（﹣2）＝4，BC2＝2﹣1＝1，AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴C2不是点A，B的“关联点”；
AC3＝4﹣（﹣2）＝6，BC3＝4﹣1＝3，
∴AC3＝2BC3，
∴C3是点A，B的“关联点”；
AC4＝6﹣（﹣2）＝8，BC4＝6﹣1＝5，AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴C4不是点A，B的“关联点”；
故答案为：C1，C3；
（2）设P点在数轴上表示的数为p．
①∵P在点B左侧，则：
（Ⅰ）当P点在AB之间时，
15﹣p＝2[p﹣（﹣10）]，
解得：p＝ ；
或2（15﹣p）＝p﹣（﹣10），
解得：p＝ ；
（Ⅱ）当P点在A点左侧时，
15﹣p＝2（﹣10﹣p）p＝﹣35，
∴当P点在B点左侧时，点P表示的数为﹣35或 或；
②∵点P在B点右侧，则：
（Ⅰ）当点P为点A，B的“关联点”时，
2（p﹣15）＝p+10，
解得：p＝40；
（Ⅱ）当点B为点P，A的“关联点”时，
2（p﹣15）＝15+10，
解得：p＝27.5；
或p﹣15＝2×25，
解得：p＝65；
（Ⅲ）当点A为点B，P的“关联点”时，
p+10＝（p﹣15）×2，
解得：p＝40，
∴点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点P表示的数为40或65或27.5
考点二 相反数
【知识点睛】
任意数a的相反数为-a,a可以是一个单独的数，也可以是一个代数式
若a、b互为相反数 a+b=0，即二者可以互推
易错技巧点拨：
①数轴上互为相反数的两个点（除原点外），居于原点的两侧，并且到原点的距离相等
②求多项式的相反数时，组成多项式的各项的符号都要变号，
如a+b的相反数为-a-b；a-b的相反数为-a+b或b-a
③互为相反数的两个数符号不一定是相反的，0的相反数还是0
【类题训练】
1．2022的相反数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C．﹣ D．
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2022的相反数是﹣2022．
故选：A．
2．化简：﹣（﹣2）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：原式＝2．
故选：D．
3．下列说法正确的有（　　）
①a的相反数是﹣a
②所有的有理数都能用数轴上的点表示
③若有理数a+b＝0，则a、b互为相反数
④﹣1的绝对值等于它的相反数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据相反数的定义判断①③；根据所有的有理数都能用数轴上的点表示判断②；根据绝对值和相反数的定义判断④．
【解答】解：a的相反数是﹣a，故①符合题意；
所有的有理数都能用数轴上的点表示，故②符合题意；
若有理数a+b＝0，则a、b互为相反数，故③符合题意；
|﹣1|＝1，﹣1的相反数是1，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有4个，
故选：D．
4．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A．﹣与0.3 B．7与﹣ C．﹣（﹣6）与﹣6 D．4与
【分析】将两数相加得数为零即可判断为相反数．
【解答】解：A、﹣+0.3＝﹣+＝﹣，故A不符合题意．
B、7+（﹣）＝，故B不符合题意．
C、﹣（﹣6）+（﹣6）＝6﹣6＝0，故C符合题意．
D、4+＝4，故D不符合题意．
故选：C．
5．若式子3x与7x﹣10互为相反数，则x＝　 　．
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：3x+7x﹣10＝0，
移项得：3x+7x＝10，
合并得：10x＝10，
系数化为1得x＝1．
故答案为：1．
6．如果x的相反数是﹣2021，那么2﹣x的值是 　 　．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵x的相反数是﹣2021，
∴x的值是：2021，
∴2﹣x＝2﹣2021＝﹣2019．
故答案为：﹣2019．
7．已知a、b互为相反数，c是绝对值最小的数，d是负整数中最大的数，则a+b+c﹣d＝　 　．
【分析】先根据相反数、绝对值、负整数的定义及性质，可知a+b＝0，c＝0，d＝﹣1的值，然后将它们代入a+b+c﹣d中求解．
【解答】解：∵a、b互为相反数，c是绝对值最小的数，d是负整数中最大的数，
∴a+b＝0，c＝0，d＝﹣1．
∴a+b+c﹣d＝0+0﹣（﹣1）＝1．
故答案为1．
8．在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它们的相反数．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0，可写出已知六个数的相反数；再根据一对相反数在数轴上的位置特点，分别在原点的左右两边，并且与原点的距离相等，可把各数与其相反数在数轴上依次表示出来．
【解答】解：0的相反数是0，
﹣2.5的相反数是2.5，
﹣3的相反数是3，
+5的相反数是﹣5，
1的相反数是﹣1，
4.5的相反数是﹣4.5．
在数轴上可表示为：
9．已知：数轴上A点表示+8，B、C两点表示的数为互为相反数，且C到A的距离为3，求点B和点C各对应什么数？
【分析】求出到A点的距离是3的数，即求出C点表示的数，即可得出答案．
【解答】解：∵当点C在A的左边时，+8﹣3＝5，
当点C在A点的右边时，+8+3＝11，
∴C点表示的数是5或11，
∴当C表示的数是5，B点表示的数是﹣5 或 当C表示的数是11，B点表示的数是﹣11．
10．已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上表示出a的相反数的位置．
（2）若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
（3）在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？
【分析】（1）在数轴上表示出来即可；
（2）根据题意得出方程，求出方程的解即可；
（3）分为两种情况，列出算式，求出即可．
【解答】解：（1）如图：
．
（2）﹣a﹣a＝20，
a＝﹣10．
即a表示的数是﹣10．
（3）﹣a＝10，
当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15，
当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5，
即b表示的数是5或15．
考点三 绝对值
【知识点睛】
绝对值的非负性：
几何意义：|a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离
|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离
|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离
“|a|=b ”中，若已知a求b，则b的值只有一个，不需要分类讨论；若已知b求a，则a的值一般有两个，要特别注意分类讨论
绝对值=1的数为±1、绝对值是数本身的数是非负数、绝对值是数相反数的数是非正数
易错技巧点拨：
①任何绝对值的考察，勿忘0的特殊性
②绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以互为相反数；如|a|=|b|，则得a=b或a=-b
③绝对值的非负性、平方的非负性与相反数性质的结合考察问题总结：
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b2=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式）
④数轴上的两个点，谁离远点越远，谁的绝对值越大
【类题训练】
1．已知﹣3＜x＜3，下列四个结论中，正确的是（　　）
A．|x|＞3 B．|x|＜3 C．0≤|x|＜3 D．0＜|x|＜3
【分析】直接利用绝对值的几何意义进行解答即可．
【解答】解：∵﹣3＜x＜3．
∴x对应的点在数轴上在﹣3到3之间．
∵|x|表示x对应的点到原点的距离．
∴0≤|x|＜3．
故选：C．
2．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．|+1|与|﹣1| B．﹣（﹣1）与1 C．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3| D．﹣|+2|与+（﹣2）
【分析】根据相反数和绝对值的定义化简各选项中的数即可得出答案．
【解答】解：A选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
B选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
C选项，3与﹣3是相反数，故该选项符合题意；
D选项，﹣2与﹣2不是相反数，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．如图，检测排球的质量，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面已检测的四个排球中其中质量最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题根据绝对值的定义即可求出答案．
【解答】解：排球质量接近标准代表与标准质量相差越小即绝对值越小，其中﹣0.6，+0.7，﹣2.5，﹣3.5最小的绝对值为﹣0.6．
故选：A．
4．下列各式的结论成立的是（　　）
A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若|m|＞|n|，则m＞n
C．若m＞n，则|m|＞|n| D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|
【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．若|m|＝|n|，则m＝n或m＝﹣n，故原说法错误，选项不符合题意；
B．若|m|＞|n|，则﹣m＜n＜m，故原说法错误，选项不符合题意；
C．若m＞n＞﹣m，则|m|＞|n|，故原说法错误，选项不符合题意；
D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|，正确，选项符合题意；
故选：D．
5．若a为有理数，且满足|a|＝﹣a，则（　　）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
【分析】根据绝对值的性质①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零可得答案．
【解答】解：∵|a|＝﹣a；
∴a≤0，
故选：D．
6．在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若|a﹣b|＝2022，当a取最大值时，b值是（　　）
A．2023 B．2021 C．1011 D．1
【分析】先根据A、B的位置关系，判断出a、b的大小关系，化简|a﹣b；再根据a取最大值，求出a的值；最后求出b的值．
【解答】解：∵点A在点B左侧，∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|＝b﹣a＝2022；
a为负整数，取最大值时为﹣1，
此时b﹣（﹣1）＝2022，则b＝2021；
故选：B．
7．若|x|＝5，|y|＝2且x＜0，y＞0，则x+y＝（　　）
A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3
【分析】由绝对值的定义，得x＝±5，y＝±2，再根据x＜0，y＞0，确定x、y的具体对应值，最后代入计算x+y的值．
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，
∴x＝±5，y＝±2，
∵x＜0，y＞0，
∴x＝﹣5，y＝2，
∴x+y＝﹣3．
故选：D．
8．下列说法中正确的是（　　）
A．两个负数中，绝对值大的数就大
B．两个数中，绝对值较小的数就小
C．0没有绝对值
D．绝对值相等的两个数不一定相等
【分析】根据绝对值的性质和定义即可得出答案．
【解答】解：∵两个负数比较，绝对值越大，对应的数越小，
∴A选项不合题意，B选项不合题意，
∵0的绝对值为0，
∴C选项不合题意，
∵绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数，
∴D选项正确，
故选：D．
9．有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则|m﹣n|+|m+n|的值为（　　）
A．2n B．2m C．﹣2n D．﹣2m
【分析】由图可知，m＜0，n＞0，且|m|＜|n|，即可得到m﹣n＜0，m+n＞0，根据绝对值的意义|a|＝进行计算即可得出答案．
【解答】解：由图可知，
∵m＜0，n＞0，且|m|＜|n|，
∴m﹣n＜0，m+n＞0，
∴|m﹣n|+|m+n|＝﹣（m﹣n）+m﹣n＝﹣m+n+m+n＝2n．
故选：A．
10．设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
【分析】根据有理数的加法，得a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．再根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，
∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．
当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0，
∴+++＝﹣1+1+1﹣1＝0．
当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0，
∴+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．
综上：+++＝0．
故选：A．
11．下列说法正确的是（　　）
①已知a＞0，b＜0，则＝1；
②若|a+4|＝﹣4﹣a，|b﹣3|＝b﹣3，则化简|b+3|﹣|a﹣4|＝a﹣b﹣7；
③如果定义{a，b}＝，当ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|时，则{a，b}的值为a+b．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】①先利用绝对值的性质将|a|、|b|、|ab|化简，然后代入判断；
②先由条件得到a+4＜0、b﹣3＞0，得到a和b的取值范围，然后得到b+3和a﹣4的正负，再代入代数式化简；
③先由“ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|”得到a＞0＞b，且|a|＞|b|，进而根据定义求得{a，b}的值．
【解答】解：①∵a＞0，b＜0，
∴|a|＝a，|b|＝﹣b，ab＜0，
∴|ab|＝﹣ab，
∴，，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵|a+4|＝﹣4﹣a，|b﹣3|＝b﹣3，
∴a+4＜0，b﹣3＞0，
∴a＜﹣4，b＞3，
∴b+3＞0，a﹣4＜0，
∴|b+3|﹣|a﹣4|＝b+3﹣（4﹣a）＝a+b﹣1，故②错误，不符合题意；
③∵ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，
∴a＞0＞b，
∴{a，b}＝a+b，故③正确，符合题意；
∴①③正确，
故选：B．
12．若|a﹣2020|+（﹣3）＝10，则a＝　 　．
【分析】根据有理数的运算先求出|a﹣2020|的值，再利用绝对值的意义求出a的值．
【解答】解：∵|a﹣2020|+（﹣3）＝10，
∴|a﹣2020|＝13．
∴a﹣2020＝13或a﹣2020＝﹣13．
解得a＝2033或2007．
故答案为：2033或2007．
13．对于有理数a，b，n，若|a﹣n|+|b﹣n|＝1，则称b是a关于n的“相关数”，例如，|2﹣2|+|3﹣2|＝1，则3是2关于2的“相关数”．若x1是x关于1的“相关数”，x2是x1关于2的“相关数”，…，x4是x3关于4的“相关数”．则x1+x2+x3＝　 　．（用含x的式子表示）
【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结果．
【解答】解：依题意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，①
|x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，②
|x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③
|x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④
由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立，
由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立，
同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，
∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤
x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥
x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦
3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6，
∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|．
故答案为：9﹣3|x﹣1|．
14．对于式子|x﹣1|+|x﹣5|在下列范围内讨论它的结果．
（1）当x＜1时；
（2）当1≤x≤5时；
（3）当x＞5时．
【分析】根据x的取值范围确定x﹣1，x﹣5的符号，再根据绝对值的意义进行化简即可．
【解答】解：（1）当x＜1时，x﹣1＜0，x﹣5＜0，
∴|x﹣1|+|x﹣5|
＝1﹣x+5﹣x
＝6﹣2x；
（2）当1≤x≤5时，x﹣1＞0，x﹣5＜0，
∴|x﹣1|+|x﹣5|
＝x﹣1+5﹣x
＝4；
（3）当x＞5时，x﹣1＞0，x﹣5＞0，
∴|x﹣1|+|x﹣5|
＝x﹣1+x﹣5
＝2x﹣6．
15．综合应用题：
|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．
（1）|x|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与 　 　之间的距离，|x|　 　|x﹣0|；（选填“＞”“＜”或“＝”）
（2）|2﹣1|几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则|2﹣1|＝　 　；
（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与表示 　 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　 　；
（4）|x﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与表示 　 　的点之间的距离，若|x﹣（﹣2）|＝2，则x＝　 　；
（5）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7这样的整数是 　 　．
【分析】（0）根据|m﹣n|的几何意义求解；
（2）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；
（3）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；
（4）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；
（5）根据|m﹣n|的几何意义及解不等组求解；
【解答】解：（1）∵|x|＝|x﹣0|，
∴|x|的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离，
故答案为：x，原点，＝；
（2）∵|2﹣1|＝1，
故答案为：1．
（3）∵|x﹣3|＝1，∴x﹣3＝±1，解得：x＝4或x＝2，
故答案为：x，3，4或2；
（4）∵|x﹣（﹣2）|＝2，解得：x＝4或x＝0，
故答案为：x，﹣2，x＝4或x＝0；
（5）由题意得：在数轴上表示x的点到﹣5和2的距离的和为7，所以﹣5≤x≤2，
所以x的整数解为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
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