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单元素养测评卷(七)　复数
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，则b的值为(　　)
A．2 B． C．－ D．－2
2．已知z＝，则z＝(　　)
A．1＋3i B．1－3i C．3＋i D．3－i
3．复数3＋2i与复数4－3i分别对应向量与，则向量对应的复数是(　　)
A．7－i B．－7＋i C．1－5i D．－1＋5i
4．已知复数(1＋xi)i＝2－yi，x，y∈R，则x－y＝(　　)
A．3 B．1 C．－1 D．－3
5．[2023·安徽马鞍山二中高一期中]已知z＝(2＋i)i，其中i为虚数单位，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．[2023·河南开封高一期中]已知复数z满足＝i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
7．[2023·河南漯河高一期中]在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则＝(　　)
A．＋i B．－i C．7＋4i D．7－4i
8．若复数z＝＋bi(b∈R，i为虚数单位)满足z·＝－b，其中为z的共轭复数，则的值为(　　)
A． B． C．1 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为1，则(　　)
A．m＝－4 B．＝2
C．1＝－4－3i D．复数1的虚部为－3i
10．[2023·江西宜春高一期末]设m∈R，i是虚数单位，复数z＝(m＋2)＋(m－2)i.则下列说法正确的是(　　)
A．若z为实数，则m＝2
B．若z为纯虚数，则m＝－2
C．当m＝1时，在复平面内z对应的点为Z(3，1)
D．的最小值为2
11．[2023·河北邢台高一期末]已知a，b∈R，复数a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，1＋(b＋2)i为实数，则(　　)
A．a＝±1 B．b＝－2
C．a＋bi的共轭复数为1＋2i D．＝－＋i
12．设z1，z2，z3为复数，且z3≠0，则下列命题正确的是(　　)
A．若＝，则z1＝±z2 B．若z1z3＝z2z3，则z1＝z2
C．若2＝z1z3，则z1＝z3 D．若z2＝1，则＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．复数z＝－2＋4i对应的向量的坐标为________．
14．复数1－i在复平面内所对应的点到原点的距离是________．
15．[2023·辽宁朝阳高一期末]若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是________．
16．[2023·河北石家庄高一期末]某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数(i是虚数单位).
①；②；③.
从三个式子中选择一个，求出这个常数为________；根据三个式子的结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1z2，值．
18．(12分)已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围．
(1)复数z与复数2－12i相等；
(2)复数z与复数12＋16i互为共轭复数．
19．(12分)[2023·山西太原高一期中]已知复数z满足(1－i)z＝1＋i.
(1)求z及；
(2)求z－z2＋z3－z4的值．
20．(12分)[2023·河北保定高一期末]已知复数z＝.
(1)求；
(2)若m∈R，z1＝z＋m，z2＝z2－m，且z1为纯虚数，求z2在复平面内对应的点的坐标．
21．(12分)[2023·山东潍坊高一期末]已知A(3，m)，B(2，1)，C(－2，1)，D(n，－2)是复平面内的四个点，其中m，n∈R，且向量，对应的复数分别为z1，z2，且z1－z2＝－6＋2i.
(1)求z1，z2；
(2)若复数z＝，t∈R，在复平面内对应的点Z在第四象限，求实数t的取值范围．
22．(12分)已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋.
(1)求z；
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
单元素养测评卷(七)　复数
1．答案：A
解析：由复数2－bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，
得2－b＝0，即b＝2.故选A.
2．答案：B
解析：z＝＝＝1－3i，故选B.
3．答案：D
解析：＝－＝3＋2i－＝－1＋5i，故选D.
4．答案：C
解析：∵i＝2－yi，∴－x＋i＝2－yi，
∴，∴x－y＝－1.故选C.
5．答案：C
解析：因为z＝2i＋i2＝－1＋2i，所以＝－1－2i，所以对应的点(－1，－2)位于第三象限．故选C.
6．答案：C
解析：由＝i可得z＝(1－2i)·i＝2＋i，
所以＝2－i，故选C.
7．答案：A
解析：因为点Z的坐标为，
所以复数z＝1＋2i，
则＝＝＝＝＝＋i.故选A.
8．答案：D
解析：因为z＝＋bi，所以＝－bi，所以z·＝＋b2＝－b，解得b＝－，
所以z＝－i.
＝＝＝.故选D.
9．答案：AC
解析：由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝＋i，
对于A：因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；
对于B：＝1，故B错误；
对于C：1＝－4－3i，故C正确；
对于D：复数1的虚部为－3，故D错误．故选AC.
10．答案：ABD
解析：若z为实数，则虚部为0，即m＝2，故A正确；
若z为纯虚数，则实部为0，即m＝－2，故B正确；
当m＝1时，z＝3－i，则在复平面内z对应的点为Z，故C错误；
＝＝≥2(当且仅当m＝0时取等号)，故D正确．故选ABD.
11．答案：BCD
解析：由题意得，得a＝1，又b＝－2，所以a＋bi＝1－2i的共轭复数为1＋2i，故A错误，B正确，C正确；＝＝＝－＋i，故D正确．故选BCD.
12．答案：BD
解析：对于A，若z1＝1＋i，z2＝1－i，则＝，此时z1≠±z2，A错误；
对于B，∵z1z3＝z2z3，∴z3＝0，又z3≠0，∴z1－z2＝0，即z1＝z2，B正确；
对于C，若z1＝3，则z1z3＝3z3＝2，若z1，z3为虚数，则z1≠z3，C错误；
对于D，设z1＝a＋bi，z3＝c＋di，则z2＝1＝a－bi，
∴z1z3＝＝＋i，z2z3＝＝＋i，
∴＝
＝，
＝
＝，
∴＝，D正确．故选BD.
13．答案：
解析：因为z＝－2＋4i对应的点的坐标为，所以对应的向量＝.
14．答案：2
解析：复数1－i在复平面内对应的点的坐标为(1，－)，所以复数1－i在复平面内所对应的点到原点的距离是＝2.
15．答案：(－1，2)
解析：由题意
解得－1则m的取值范围是(－1，2).
16．答案：i　＝i
解析：由复数的运算法则，可得＝＝＝i；
根据三个式子的结构特征及上式的计算结果，可以得到：＝i，
证明如下：
由＝＝＝＝i.
17．解析：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i.
所以z1z2＝×＝3×5＋8＋i＝23＋2i，
＝＝＝＝－i.
18．解析：(1)根据复数相等的充要条件，
得解得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义，得解得m＝1.
19．解析：(1)由题意得：
z＝＝＝＝i，＝－i.
(2)z－z2＋z3－z4＝i－i2＋i3－i4＝i＋1－i－1＝0.
20．解析：(1)因为z＝＝＝－1＋4i，所以z－1＝－2＋4i，故＝＝2.
(2)因为z1＝z＋m＝m－1＋4i为纯虚数，所以m＝1，所以z2＝2－1＝－16－8i，所以z2在复平面内对应的点的坐标为(－16，－8).
21．解析：(1)∵＝，＝，∴z1＝－5＋i，z2＝－3i，
∴z1－z2＝＋i＝－6＋2i，
则，解得，
∴z1＝－5－i，z2＝1－3i.
(2)由(1)知：z＝＝＝＝＝＋i，
则z对应的复平面内的点为Z，又Z位于第四象限，
∴，解得222．解析：∵w＝4＋3i，
∴w＝＝＝2－i，
∴z＝＋＝＋1＝3＋i.
(2)∵z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，
∴2－p＋q＝0，＋i＝0，
∵p，q为实数，∴，
解得p＝6，q＝10.
解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i，
∴实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.

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