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函数的奇偶性
1 函数奇偶性的概念
① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的.
2 性质
① 偶函数关于轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数定义域内含有，则；
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
3 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到，则排除是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数的奇偶性如下图
偶函数 偶函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 偶函数
【题型一】对函数奇偶性概念的理解
角度1 函数奇偶性的概念
【典题1】 已知是定义在上的偶函数，那么的值是 .
【典题2】 是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：
角度2 判断函数的奇偶性
情况1 具体函数的奇偶性判断
【典题1】函数的图象关于 对称．
情况2 抽象函数的奇偶性判断
【典题1】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
是奇函数 是奇函数
是奇函数 是奇函数
巩固练习
1(★) 下列函数中，是偶函数的是(　　)
2(★) 函数的图象关于(　　)对称
．原点 ． ．轴 ．轴
3(★★) 若函数的定义域是，且对任意，都有成立．试判断的奇偶性．
【题型二】函数奇偶性的运用
角度1 已知函数奇偶性，求值问题
【典题1】设为定义上上的奇函数，当时，为常数)，求.
【典题2】 若函数是奇函数，为偶函数，则 .
角度2 判断函数的图像
【典题1】 函数的图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
巩固练习
1(★) 若函数的图象关于轴对称，则常数 .
2(★) 已知函数，，则的值是 .
3(★★) 已知函数为定义在上的奇函数，则 .
4(★★) 函数的部分图象大致为 (　　)
． ． ． ．
【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合
【典题1】 已知奇函数在减函数，且，则不等式的解集为 (　　)
【典题2】 设函数，则使得成立的的取值范围为(　)
．
巩固练习
1(★) 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是(　　)
B．
2(★) 如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　)
减函数且最大值为 增函数且最大值为6
减函数且最小值为 增函数且最小值为6
3(★★) 已知函数，则不等式的解集为 .
4(★★) 已知函数，设，则的大小关系 .
5(★★★) 已知是上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在上单调递增的有 .
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1 函数奇偶性的概念
① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的.
2 性质
① 偶函数关于轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数定义域内含有，则；
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
3 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到，则排除是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数的奇偶性如下图
偶函数 偶函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 偶函数
【题型一】对函数奇偶性概念的理解
角度1 函数奇偶性的概念
【典题1】 已知是定义在上的偶函数，那么的值是 .
【解析】依题意得，，
又(奇偶函数的定义域关于原点对称)，
，．
【典题2】 是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：
【解析】根据奇函数的定义可知，则(1)，(2)正确；
对于故正确；
对于是定义在上的奇函数，则则(4)不正确，故答案为：.
角度2 判断函数的奇偶性
情况1 具体函数的奇偶性判断
【典题1】函数的图象关于 对称．
【解析】要使函数有意义，则，即，
解得或，则定义域关于原点对称．
此时，则函数，(化简函数形式很重要)
，
函数是奇函数，图象关于原点对称，
【点拨】本题利用定义法判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，这点很重要；
情况2 抽象函数的奇偶性判断
【典题1】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
是奇函数 是奇函数
是奇函数 是奇函数
【解析】方法一 定义法
选项：设，则为偶函数．
选项：设， 则
关系不定．
选项：设为奇函数．
选项：设为偶函数．
故选.
方法二 取特殊函数排除法
令，可知是偶函数，排除，
令，可知排除，
可知是偶函数，排除.
【点拨】
① 判断函数的奇偶性，一般利用定义法：先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系.偶尔结合函数图像也可以.
② 判断抽象函数的奇偶性时，可以通过“取特殊函数排除法”.
③ 一般情况下，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数.
巩固练习
1(★) 下列函数中，是偶函数的是(　　)
【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，，函数不是偶函数，不符合题意；
对于，，，函数是偶函数，符合题意；
对于，，，函数是奇函数不是偶函数，不符合题意；
对于，，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；
故选：．
2(★) 函数的图象关于(　　)对称
．原点 ． ．轴 ．轴
【答案】
．
则，即函数是偶函数，
则函数的图象关于轴对称，
故选：．
3(★★) 若函数的定义域是，且对任意，都有成立．试判断的奇偶性．
【答案】 奇函数
【解析】在中，
令，得，.
再令，则，即，
，故为奇函数．
【题型二】函数奇偶性的运用
角度1 已知函数奇偶性，求值问题
【典题1】设为定义上上的奇函数，当时，为常数)，求.
【解析】因为为定义在上的奇函数，
所以，解得，
所以当时，
又因为为定义在上的奇函数，
所以，故选．
【点拨】若奇函数定义域内为，且，则有.
【典题2】 若函数是奇函数，为偶函数，
则 .
【解析】函数是奇函数，
，即，则 ①，
为偶函数，
，即，则 ②，
由解得．
角度2 判断函数的图像
【典题1】 函数的图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】函数的定义域为关于原点对称，且，
(或由均是奇函数，得是偶函数)
即函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除；
又，可排除；
故选：．
【点拨】选择题中判断函数的图像，可采取排除法，主要是研究函数性质(定义域、值域、奇偶性、单调性等)、取特殊值等手段进行排除选项！其中取特殊值排除法最简单.
巩固练习
1(★) 若函数的图象关于轴对称，则常数 .
【答案】
【解析】可知函数为偶函数，则，
即，解得，
将代入解析式验证，符合题意．
2(★) 已知函数，，则的值是 .
是奇函数
.
3(★★) 已知函数为定义在上的奇函数，则 .
【答案】
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
特别地，当时，得到．
由取，所以，所以．
再分别令和，得，，
两式相加得，且，
，
所以．
4(★★) 函数的部分图象大致为 (　　)
． ． ． ．
【答案】
【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合
【典题1】 已知奇函数在减函数，且，则不等式
的解集为 (　　)
【解析】由题意画出的草图如下，
因为，所以与同号，
由图象可得或，
解得或，
故选：．
【点拨】涉及到函数奇偶性和单调性综合的题目，多利用数形结合的方法进行理解，对每个条件要等价转化，做到有根有据的，不能“想当然”.
【典题2】 设函数，则使得成立的的取值范围为(　)
．
【解析】方法一
由得，(代入原函数暴力求解)
则，解得或.
方法二
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，故选：．
【点拨】
① 若函数是偶函数，则函数在轴两侧的单调性是相反的，
若函数是奇函数，则函数在轴两侧的单调性是相同的，
② 若函数是偶函数，在上递增，
则求解等价于解不等式，不要漏了绝对值.(如下图所示).
③ 遇到类似的函数不等式，一般都是利用函数的单调性处理.
巩固练习
1(★) 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是(　　)
B．
【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，为二次函数，其对称轴为，在内不是增函数，不符合题意；
对于，，为偶函数，但在内不是增函数，不符合题意；
对于C，，，为奇函数，不符合题意；
对于，，既是偶函数，又在内单调递增的函数，符合题意；
故选：．
2(★) 如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　)
减函数且最大值为 增函数且最大值为6
减函数且最小值为 增函数且最小值为6
【答案】
【解析】当时，
，即．从而，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故在是减函数．
故选：．
3(★★) 已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】函数为奇函数，且函数为增函数，
则不等式等价为，
则，得，得，
即不等式的解集为
4(★★) 已知函数，设，则的大小关系 .
【答案】
是偶函数，且时递增，所以，即.
5(★★★) 已知是上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在上单调递增的有 .
；；；
【答案】①③④
【解析】因为是上的奇函数且单调递增，
故当时，，
①为偶函数，且当时，单调递增，符合题意；
②，故不满足偶函数；
③，且时单调递增，符合题意；
④，
满足偶函数，且时，，，
中小学教育资源及组卷应用平台
根据对勾函数的单调性可知 单调递增，符合题意．21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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