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2.2.1直线的点斜式方程 练习
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：
符合的点的轨迹围成的图形面积为8；
设点是直线：上任意一点，则；
设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；
设点是圆上任意一点，则．
其中正确的结论序号为　　
A． B． C． D．
2．直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．到x轴距离与到y轴距离之比等于2的点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
5．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为A(0,0)，B(4,0)，，则该三角形的欧拉线方程为
A． B．
C． D．
6．直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则的垂直平分线所在直线方程为
A． B．
C． D．
8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
10．已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线斜率为，则它的倾斜角为
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点
12．一次函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，函数图像经过一、二、三象限
B．当时，函数图像经过一、三、四象限
C．时，函数图像必经过一、三象限
D．时，函数在实数上恒为增函数
三、填空题
13．已知，两点，直线AB的斜率为1，若一直线l过线段AB的中点且倾斜角的正弦值为，则直线l的方程是 ．
14．倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ．
15．在y轴上的截距为2且倾斜角为45°的直线方程为 .
16．已知点，，若轴上存在一点，使最大，则点的坐标为 .
参考答案：
1．D
【分析】根据新定义由，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是的正方形，求出正方形的面积即可；
运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得的最小值；
根据大于等于或，把代入即可得到当最小的点P有无数个时，k等于1或；而k等于1或推出最小的点P有无数个，得到是“使最小的点P有无数个”的充要条件；
把P的坐标用参数表示，然后利用三角函数的化积求得的最大值说明命题正确．
【详解】由，根据新定义得：，
由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称，
且，
画出图象如图所示：
根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，面积等于8，
故正确；
为直线：上任一点，可得，
可得，
当时，；当时，；
当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确；
，当时，，满足题意；
而，当时，，满足题意．
“使最小的点P有无数个”的充要条件是“”，不正确；
点P是圆上任意一点，则可设，，，
，，，正确．
则正确的结论有：、、．
故选D．
【点睛】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，关键是对题意的理解，是中档题．
2．C
【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线的方程，得到其在轴的截距，列出不等式，即可得到结果.
【详解】设直线l的斜率为，则方程为，
令，解得，
故直线l在x轴上的截距为，
∵在x轴上的截距的取值范围是，
∴，解得或.
故选：C.
3．B
【分析】根据到x轴距离与到y轴距离之比等于2，列出等式即可求解.
【详解】设该动点为，则有，即，
故选:B.
4．D
【解析】设直线的斜率为，则直线方程为，令，可得，解不等式即可得答案；
【详解】设直线的斜率为k，则直线方程为，
令，得直线l在x轴上的截距为，
则，解得或.
故选：D.
5．A
【分析】利用点A,B,C坐标得出重心G的坐标，设的外心为,可得，从而解出，利用点斜式即可得出欧拉线.
【详解】的顶点为A(0，0)，B(4，0)， ，∴重心.设的外心为，则，即，解得，∴W(2，0).则该三角形的欧拉线即直线GW的方程为，化简.故选A.
【点睛】本题主要考查了直线的方程的求法，利用点斜式求方程时要知道直线的斜率以及直线上一点的坐标，属于中档题.
6．C
【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果.
【详解】若直线斜率不存在，即不经过第二象限，
若直线斜率存在，即，所以，
综上实数的取值范围为，选C.
【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题．
7．A
【分析】首先根据题中所给的两个点的坐标，应用中点坐标公式求得线段的中点坐标，利用两点斜率坐标公式求得，利用两直线垂直时斜率的关系，求得其垂直平分线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果.
【详解】因为，所以其中点坐标是，又，
所以的垂直平分线所在直线方程为，
即，故选A.
【点睛】该题考查的是有关线段的垂直平分线的方程的问题，在解题的过程中，需要明确线段的垂直平分线的关键点一是垂直，二是平分，利用相关公式求得结果.
8．D
【分析】因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程．
【详解】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线
的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率
则的欧拉线的方程为，即
故选：D．
9．CD
【分析】设直线l的方程，求出在x轴上的截距，根据截距范围列不等式求解即可.
【详解】解：设直线l的方程为，
令，，
得，解得或，
观察可得CD符合.
故选：CD.
10．ABC
【分析】由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案.
【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或，
所以直线的斜率或或或，
所以直线的方程可以为或或 或，
由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形.
故选：ABC.
11．ABC
【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D.
【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确；
对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即，
易知，故直线必过，故C正确；
对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误．
故选：ABC.
12．ABCD
【分析】根据一次函数的斜率以及的正负，对选项逐个判断即可；
【详解】在一次函数中，若，则图像经过一、二、三象限；
若，则图像经过一、三、四象限；
若，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数上恒为增函数；
故选:ABCD.
13．或.
【分析】根据直线AB的斜率求得实数a，求得线段AB的中点坐标，再根据直线l倾斜角的正弦值为求得直线的斜率，即可得出答案.
【详解】解：因为，解得，
则线段AB的中点坐标为，
又直线l倾斜角的正弦值为，设倾斜角为，
所以，，即斜率为，
所以直线l的方程，
即或.
故答案为：或.
14．
【分析】先求直线斜率，再利用点斜式方程运算求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，
所以直线的方程，即.
故答案为：.
15．
【分析】先求出直线的斜率，进而利用斜截式即可求出直线方程.
【详解】直线倾斜角为，斜率，直线的方程为，
故答案为：．
16．
【分析】先求出点关于轴的对称点，则可得，结合图形可得，由图可得当三点共线时，取得最大值，此时点是直线与轴的交点，从而可求得点的坐标
【详解】设点关于轴的对称点，则， ，
所以，当三点共线时，取得最大值，
因为，，所以，
所以直线的方程为，当，得，
所以当最大时，点的坐标为，
故答案为：

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