资源简介

1．1　向量
最新课程标准 学科核心素养
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景． 2．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 3．理解平面向量的几何表示和基本要素． 1.通过对物理量的分析抽象出向量的概念．(数学抽象) 2．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．(数学抽象) 3．能利用向量的含义及相关概念解决相应的问题．(逻辑推理、直观想象)
教材要点
要点一　向量的相关概念
向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量．
有向线段 具有________的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作________，线段AB的长度也称为有向线段的长度，记作________．
向量的模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|.
相等向量 把方向________、长度相等的向量称为相等向量．
相反向量 把方向________、长度相等的向量称为相反向量．
零向量 如果向量a的大小|a|＝0，就称a是零向量．记作0.所有的零向量相等．
状元随笔　(1)理解向量概念应关注三点
①向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
③向量与向量之间不能比较大小．
(2)相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
要点二　向量的几何表示
1．向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用粗体a，书写用.
状元随笔　向量不等于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示，用有向线段的起点与终点字母表示向量时，注意起点的位置在前，终点位置在后，箭头从起点指向终点．用手写体表示向量时一定不要遗漏上面的箭头．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量，长度大的向量较大．(　　)
(2)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同．(　　)
(3)长度为0的向量叫做零向量．(　　)
(4)零向量与任意向量都不平行．(　　)
2．已知：①三角形的面积；②物体受到的重力；③水流的速度；④温度．其中是向量的有(　　)
A．①②③④ B．②③④
C．③④ D．②③
3．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是(　　)
A．和 B．和
C．和 D．和
4．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量．
题型1　向量的概念辨析
例1　(多选)下面的命题错误的是(　　)
A．用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点一定相同
B．两个向量的模相等，则这两个向量相等
C．向量与向量相等
D．若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b
方法归纳
(1)向量之间的关系需从大小和方向两个方面去理解，因而向量不能比较大小．
(2)零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”．
跟踪训练1　(多选)下列结论正确的是(　　)
A．＝－
B．向量||＝0，则A，B两点重合
C．||>0
D．||＝
题型2　向量的表示及应用
例2　在如图所示的坐标纸(规定小方格的边长为1)中，用有向线段表示下列向量：
(1)|a|＝4，a的方向与x轴的正方向夹角为60°，与y轴正方向夹角为30°；
(2)|b|＝3，b的方向与x轴的正方向夹角为30°，与y轴正方向夹角为120°；
(3)|c|＝3，c的方向与x轴的正方向夹角为135°，与y轴正方向夹角为45°.
方法归纳
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
跟踪训练2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量；
(2)求||.
题型3　相等向量与相反向量
例3　如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心．
(1)分别写出图中与相等的向量；
(2)图中与向量相反的向量有哪几个？
方法归纳
先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定方向．
跟踪训练3　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中：
(1)与相等的向量有________；
的相反向量有________．
易错辨析　混淆位移与路程
例4　一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移．(参考数据：sin 53°≈0.8)
解析：(1)画出如图所示的示意图，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70(n mile)．
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为||＝＝50(n mile)，由于sin ∠BAC＝，故方向约为北偏东53°.
易错警示
易错原因 纠错心得
误将位移与路程等同起来，导致(2)中答案错误． 路程是指物体运行轨迹的长度，只有大小，没有方向，是一个数量；而位移只与物体运动的起点和终点有关，既有大小又有方向，是一个向量．
课堂十分钟
1．下列说法正确的是(　　)
A．a与b是相反向量，b与c是相反向量，则a与c相等
B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点
C.向量a与b不相等，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量一定不相等
2．如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　)
A．与　　　　 　　B．与
C．与　　　　 　　D．与
3．已知△ABC是等腰三角形，则两腰对应的向量与的关系是________．
4．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
1．1　向量
新知初探·课前预习
要点一
方向　　||　相同　相反
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由向量的概念可知②③正确．
答案：D
3．解析：易知＝.
答案：B
4．解析：由图可知，以A为始点的向量有、、、、、、，共有7个．
答案：7
题型探究·课堂解透
例1　解析：因为两个有相同起点的向量，只有终点相同，才能相等，A项正确；方向不一定相同，B项错误；方向相反，只有在都为0时才相等，C项错误；因为向量不能比较大小，D项错误．
答案：BCD
跟踪训练1　解析：根据相反向量的定义可知A正确；由||＝0得＝0，所以A，B两点重合，故B正确；零向量的模为0，故C错误，应为||≥0；由于相反向量的模相等，故D正确．
答案：ABD
例2　解析：如图所示．
跟踪训练2　解析：(1)向量如图所示．
(2)由题意，可知与方向相反，故与共线，
∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴||＝||＝200 km.
例3　解析：(1)与相等的向量有.与相等的向量有.与相等的向量有.
(2)与向量相反的向量有.
跟踪训练3　解析：(1)由图可知，AB＝DC＝A1B1＝D1C1，所以与相等的向量有：、、；
(2)由图可知，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝1，所以的相反向量有：、、、；
答案：、、　(2)、、、
[课堂十分钟]
1．答案：A
2．解析：向量相等即模长相等，方向相同．
依题意，PQ是三角形的中位线，故PQ∥AC，PQ＝AC，即PQ＝AR＝RC，因此与都是和相等的向量．
答案：B
3．答案：＝
4．解析：以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
由题意知B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.
又∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1 000 km，方向为东南方向．第1课时　向量的加法
教材要点
要点一　向量的加法
定义 求向量和的运算，称为向量的加法．
向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知两个________向量a，b，在平面内任取一点A.
作法 作＝a，＝b，连接AC.
结论 向量叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝＝________．
图形
向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 从同一点O出发作有向线段＝a，＝b.
作法 以OA，OB为邻边作 OACB.
结论 则对角线就是向量a与b的和，即＝a＋b.
图形
状元随笔　在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
要点二　加法运算律
1．加法交换律：a＋b＝________．
2．加法结合律：(a＋b)＋c＝________．
状元随笔　(1)我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，方案②先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，则方案①②中质点A一定会到达同一终点．
(2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如()＋()＝()＋()；＝[＋()]＋()．
要点三　零向量的加法性质
a＋0＝0＋a＝a
状元随笔　如果＝0→，则与大小相等，方向相反，即是的相反向量，记作＝－.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的和可能是数量．(　　)
(2)两个向量相加就是它们的模相加．(　　)
(3)＝.(　　)
(4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．(　　)
2．(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是(　　)
A．＝B．＝
C．＝ D．＝0
3．下列等式不成立的是(　　)
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C．＝2 D．＝
4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
题型 1　已知两个向量，求它们的和向量
例1　如图所示，求作向量和a＋b＋c.
方法归纳
(1)利用向量的三角形法则求a＋b，务必使它们的“首尾顺次连接”；利用平行四边形法则求a＋b，务必使它们的起点重合．
(2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．
(3)注意方向相同或相反的向量的加法．
跟踪训练1　如图(1)、(2)、(3)，已知向量a，b，分别求作向量a＋b.
题型2　向量的加法运算
例2　如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
方法归纳
解决向量加法运算时应关注两点：
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活运用向量加法运算律，注意每个向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
跟踪训练2　向量化简后等于(　　)
A． B．
C． D．
题型3　向量加法的应用
角度1　平面几何问题
例3　如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＝0.
方法归纳
灵活运用相等向量和相反向量．如本题中＝＝0.
角度2　实际应用问题
例4　一架直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升机与A地的相对位置．
方法归纳
向量加法的实际应用中，要注意如下：
(1)准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；
(2)将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解；
(3)将向量问题还原为实际问题．
课堂十分钟
1．如图，在矩形ABCD中，＝(　　)
A． B．
C． D．
2．在四边形ABCD中，＝，则(　　)
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
3．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.
4．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：
(1)；(2)；(3).
第1课时　向量的加法
新知初探·课前预习
要点一
非零　a＋b　
要点二
1．b＋a　2.a＋(b＋c)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A、B、D正确；C错误，因为＝≠.
答案：ABD
3．解析：0＋a＝a，故A成立；根据向量加法满足交换律，可知a＋b＝b＋a，故B成立；＝0，故C不成立；利用向量的加法法则，可知＝，故D成立．
答案：C
4．解析：由题意知a与b垂直，故|a＋b|＝＝＝8，a＋b的方向是北偏东45°，即东北方向．
答案：8 km　东北方向
题型探究·课堂解透
例1　解析：方法一(三角形法则)　如图①所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
方法二(平行四边形法则)　如图②所示，首先在平面内任取一点O作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＝a＋b，再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝＝a＋b＋c即为所求．
跟踪训练1　解析：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1)．
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)．
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)．
例2　解析：(1)＝＝＝＝.
(2)＝＝＝＝0.
跟踪训练2　解析：＝＝.
答案：D
例3　证明：由题意知＝＝＝，
由题意可知＝＝.
∴＝
＝
＝＋0
＝＝＝0.
例4　解析：如图，设分别是直升机的两次位移，则＝，表示两次位移的和．
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，在Rt△ACD中，||＝ ＝40(km).
又||＝||，
所以∠ACD＝30°.
即此时直升机位于A地北偏东30°，且距离A地40 km处．
[课堂十分钟]
1．解析：在矩形ABCD中，＝，则＝＝＝.故选B.
答案：B
2．解析：根据向量加法的平行四边形法则可得，
以AB，AC为邻边做平行四边形ABCD，如图，
可得＝，
所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：D
3.
解析：如图所示，设船在静水中的速度为|v1|＝10 km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20 km/h，即小船航行速度的大小为20 km/h.
答案：20
4．解析：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以＝.
(2)因为与方向相同且长度相等，
所以与是相等向量，
故与方向相同，长度为长度的2倍，
因此可用表示．所以＝.
(3)因为与是一对相反向量，所以＝0.第2课时　向量的减法
教材要点
要点一　向量的减法
1．已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记为x＝________，x称为b与a之差．
2．减去一个向量a，等于加上它的________．即b－a＝b＋(－a)．
状元随笔　(1)两个向量的差仍是一个向量．
(2)向量的减法可以转化为向量的加法，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
要点二　向量减法的几何意义
如图，已知a、b在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
状元随笔　(1)向量减法的三角形法则中，表示，强调了差向量的“箭头”指向被减向量.即作非零向量的差向量，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”．
(2)如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝＝，这一结论在以后的学习中应用非常广泛．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相反向量一定是共线向量．(　　)
(2)两个相反向量之差等于0.(　　)
(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　)
(4)两个向量的差仍是一个向量．(　　)
(5)向量等于起点向量减终点向量.(　　)
2．如图所示，在△ABC中，等于(　　)
A．　　B．
C． D．
3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A．＝0 B．＝
C．＝ D．＝0
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________．
题型 1　向量减法的几何作图
例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
方法归纳
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
跟踪训练1　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
题型2　向量的减法运算
例2　(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　)
A． B．
C． D．
(2)化简：
①；
②()－()．
方法归纳
向量减法运算的常用方法
跟踪训练2　(1)如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知A，B，C，D是平面上四个点，则＝________．
题型 3　用已知向量表示其他向量
例3　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
变式探究　本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
方法归纳
用已知向量表示其他向量的三点提醒：
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
跟踪训练3　如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
课堂十分钟
1．设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(　　)
A．a与b的长度相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
2．已知A，B，C，D为同一平面内的四点，则＝(　　)
A． B． C． D．
3．如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则＝________．
4．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
第2课时　向量的减法
新知初探·课前预习
要点一
1．b－a
2．相反向量－a
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2．解析：对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易知≠，故错误；对于B选项，＝＝－，故错误；对于C选项，＝，满足；对于D选项，＝＝－，故错误．
答案：C
3．解析：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，
∴＝0，＝＝，
＝＝＝0.
∴只有C错误．
答案：C
4．解析：＝＝＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
题型探究·课堂解透
例1　解析：方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
跟踪训练1　解析：如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，
则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c.
例2　解析：(1)A中，＝；B中，≠；C中，≠；D中，＝.
(2)①原式＝＝＝＝0.
②原式＝
＝()＋()＝＝0.
答案：(1)AD　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)由图形可知：＝＝＝.
(2)＝＝＝.
答案：(1)C　(2)
例3　解析：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝＝b－a，
∴＝＝b－a＋c.
变式探究　解析：如图，
因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝＝b－a，故＝＝b－a＋c.
跟踪训练3　解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＝a＋d＋e.
(2)＝＝－＝－b－c.
(3)＝＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－()＝－c－d.
[课堂十分钟]
1．解析：由相反向量的定义可知，A，B，D正确；由于零向量的相反向量仍为零向量，所以C错误．
答案：C
2．解析：＝＝.
答案：B
3．解析：因为D是边BC的中点，
所以＝
所以＝＝＝0.
答案：0
4．解析：(1)＝＝c－a.
(2)＝＝d－a.
(3)＝＝＝d－b.
(4)＝＝b－a＋f－c.
(5)＝＝＝f－d.1．3　向量的数乘
最新课程标准 学科核心素养
1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． 2．理解两个平面向量共线的含义． 3．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 1.掌握平面向量的数乘运算．(数学运算) 2．理解共线向量的含义．(直观想象、逻辑推理) 3．了解平面向量的线性运算性质的几何意义．(直观想象)
教材要点
要点一　向量的实数倍
1．向量的数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作________，称为a的________倍，它的长度|λa|＝________．
当λ≠0且a≠0时，λa的方向
当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.
求向量的实数倍的运算称为向量的数乘．
状元随笔　理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减．如λ＋，λ－均没有意义．
2．向量的数乘的几何意义
向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
要点二　共线向量
1．当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b________，也称a，b________，记作________．
2．规定：零向量与所有的向量平行．
3．两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍．
即a∥b 存在实数λ，使得b＝________或a＝________．
状元随笔　向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠0→，≠0→不能漏掉. 若＝＝0→，则实数λ可以是任意实数；若＝0→，≠0→，则不存在实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t ＋s ＝0→，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t ＋s ＝0→，则必有t＝s＝0.
要点三　向量的夹角
1．设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．平面向量夹角的范围为[0，π].
状元随笔　(1)两个向量的夹角是唯一确定的，且〈〉＝〈〉．
(2)当〈〉＝0时，方向相同；当〈〉＝π时，方向相反；当0<〈〉<π时，不共线．
(3)当〈〉＝时，互相垂直，记作⊥.
(4)0→与的夹角是任意大小，可以规定为0，也可以规定为等，因此，零向量与任一向量可以平行，也可以垂直．
要点四　单位向量
1．长度等于1个单位长度的向量．
2．对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a.
状元随笔　单位向量只定义了大小，方向可以任意，方向不同的两个单位向量不相等．
要点五　数乘运算律
一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立：
(1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya.
(2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a.
(3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　)
(2)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(　　)
(3)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．(　　)
(4)表示向量a方向上的单位向量．(　　)
2．化简：＝(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－aD．a－b
3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝(　　)
A．4e2B．4e1
C．3e1＋6e2 D．8e2
4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则与共线(平行)的向量有________．
题型 1　向量的线性运算
例1　(1)化简：－2；
(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，则m＝________，n＝________．
方法归纳
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1　(1)(2a＋8b)－(4a－2b)等于(　　)
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3aD．3a－2b
(2)化简：(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________．
题型 2　用已知向量表示相关向量
例2　如图所示，已知 ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示.
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练2　如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
题型 3　向量共线定理的应用
角度1　向量共线的判定
例3　判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)．
(1)a＝5e1，b＝－10e1；
(2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
方法归纳
向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．
角度2　证明三点共线
例4　设a，b是不共线的两个向量．若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线．
方法归纳
三点共线的证明问题及求解思路
(1)证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
(2)若A，B，C三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
角度3　求参数的值
例5　设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k的值为________．
方法归纳
利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数．
跟踪训练3　(1)若向量a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则以下向量中与向量2a＋b共线的是(　　)
A．－5e1＋2e2 B．4e1＋10e2
C．10e1＋4e2D．e1＋2e2
(2)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．
易错辨析　忽视向量共线的方向出错
例6　设两向量e1，e2不共线，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，求实数t的值．
解析：∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，
∴存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，
即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±.
故所求实数t的值为±.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忽视两非零向量反向共线的情况而漏掉一解． 向量共线应分同向与反向两种情况．
课堂十分钟
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
2．(多选)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．
C．3 D．4
3．在等边△ABC中，点E在中线CD上，且CE＝6ED，则＝(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝________．(用b，c表示)
5．设e1，e2是两个不共线向量，＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)证明：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
1．3　向量的数乘
新知初探·课前预习
要点一
λa　λ　|λ||a|　同向　反向　
要点二
1．共线　平行　a∥b
3．λa　λb
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，故选B.
答案：B
3．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
4．解析：根据非零向量共线的定义，与方向相同和方向相反的向量有.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组解得
答案：(1)见解析　(2)a＋b　a－b
跟踪训练1　解析：(1)原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.
(2)原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0.
答案：(1)B　(2)0
例2　解析：设＝x，则＝x，＝e1－x，
＝＝＝e1－x.
由＝，得x＋e1－x＝e2，
解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1.
由＝－＝e1－x，
得＝x－e1＝－e1＝－e1＋e2.
跟踪训练2　解析：因为∥，||＝2||，所以 ＝2＝.
(1)＝＝e2＋e1.
(2)＝＝－
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
答案：(1)e2＋e1　(2)e1－e2
例3　解析：(1)∵b＝－2a，∴a与b共线．
(2)∵a＝b，∴a与b共线．
(3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，
∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.
∵e1与e2是两个不共线向量，∴
这样的λ不存在，因此a与b不共线．
例4　解析：证明：∵＝＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线．
例5　解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2，
∴解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
答案：－4
跟踪训练3　解析：(1)2a＋b＝2e1＋5e2
又∵4e1＋10e2＝2(2e1＋5e2)
∴4e1＋10e2＝2(2a＋b)，故选B.
(2)因为向量a与b共线，所以存在唯一实数μ，使b＝μa成立．
即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，
所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，
又因为e1与e2不共线．
所以解得λ＝－.
答案：(1)B　(2)－
[课堂十分钟]
1．解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：AC
3．解析：因为＝＝＝)，＝，
所以＝.
答案：A
4．解析：如图，在△ABC中，＝.∵＝2，∴＝.∵＝＝b－c，∴＝＝c＋(b－c)＝b＋c.
答案：b＋c
5．解析：(1)＝＝e1－4e2，＝2(e1－4e2)＝2，所以∥，因为与有公共点，所以A，B，D三点共线．
(2)因为B，D，F三点共线，所以存在实数λ，使＝λ，
所以3e1－ke2＝λe1－4λe2，所以(3－λ)e1＝(k－4λ)e2，又因为e1，e2不共线，
所以解得λ＝3，k＝12.1.4.1　向量分解及坐标表示
教材要点
要点一　平面向量基本定理
1．定理：设e1，e2是平面上两个________向量，则
(1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即________，其中x，y是实数．
(2)实数x，y由________唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′.
2．基：我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标．
状元随笔　平面向量基本定理的理解
是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基．
(2)平面内的任一向量都可以沿基进行分解．
(3)基确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．
要点二　平面向量的正交分解与坐标表示
1．把一个向量分解为两个________的向量，叫作把向量正交分解．
2．平面上互相垂直的________向量组成的基称为标准正交基，记作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．
3．若单位向量e1，e2的夹角为90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1与v的夹角为α，则v＝____________．
状元随笔　标准正交基是平面向量的一组特殊的基．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基．(　　)
(2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表示．(　　)
(3)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．(　　)
(4)基向量可以是零向量．(　　)
2．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组是这个平行四边形所在平面的一组基的是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝(　　)
A．(a－b) B．2b－a
C．(b－a) D．2b＋a
4．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝________．
题型1　对平面向量基本定理的理解
例1　(1)设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有(　　)
A．e1，e2一定平行
B．e1，e2的模相等
C．对同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1，e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
(2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，下列四组向量中能作为基的是(　　)
A．e2和e1＋e2 B．2e1－4e2和－e1＋2e2
C．e1和e1－e2 D．e1＋2e2和2e1＋e2
方法归纳
对基的理解
(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基．
(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样．
跟踪训练1　如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基的一组向量是(　　)
A． B．
C． D．
题型 2　平面向量基本定理的应用
角度1　用基表示平面向量
例2　如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基{a，b}表示向量.
方法归纳
用基表示向量的两种基本方法
用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解．
角度2　利用平面向量基本定理求参数
例3　在三角形ABC中，点E，F满足＝＝2，若＝x＋y，则x＋y＝________．
方法归纳
(1)利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基表示两次，然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，则有
(2)充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更便于解决．
跟踪训练2　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线上的向量＝a，＝b，试用基{a，b}表示.
题型 3　平面向量的坐标表示
例4　在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐标．
方法归纳
始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定．一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角．
跟踪训练3　
(1)如图，{e1，e2}是一组基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(　　)
A．(1，3)
B．(3，1)
C．(－1，－3)
D．(－3，－1)
(2)如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么可以表示为(　　)
A．2i＋3j　　　B．4i＋2j　　　C．2i－j　　　D．－2i＋j
易错辨析　对基成立的条件理解有误
例5　已知e1≠0，λ∈R，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，则向量a与b共线的条件为(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
解析：设a＝kb(k∈R)，即e1＋λe2＝2ke1，∴(1－2k)e1＋λe2＝0，∴(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1≠0，则e1＝，此时e1∥e2；若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0.∵0与任意向量平行，∴a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0.故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略基的条件“两个向量不共线”导致错误． 平面内任意一对不共线的向量都可以组成表示该平面内所有向量的一组基，一定要注意“不共线”这一条件，还要注意零向量不能作为基．
1．4.1　向量分解及坐标表示
新知初探·课前预习
要点一
1．不共线　(1)v＝xe1＋ye2　(2)v＝xe1＋ye2
要点二
1．互相垂直　2.单位　{i，j}　3.(r cos α，r sin α)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A中：与不共线；B中：＝－，则与共线；C中：与不共线；D中：＝－，则与共线．由平面向量基的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基，故AC满足题意．
答案：AC
3．解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝)，则＝2＝2b－a.
答案：B
4．解析：在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝(2，－3)．
答案：(2，－3)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)D选项符合平面向量基本定理．故选D.
(2)e1、e2是平面内所有向量的一组基，
e2和e1＋e2，显然不共线，可以作为基；
e1和e1－e2，显然不共线，可以作为基；
2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基；
因为e1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共线，可以作为基．
答案：(1)D　(2)ACD
跟踪训练1　解析：由基的概念可知，作为基的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基向量，与不共线，可作为基向量．
答案：B
例2　解析：易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基，
所以解得所以＝a＋b.
例3　解析：依题意有＝＝－，所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.
答案：－
跟踪训练2　解析：方法一　设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b，
所以＝＝＝a－b，
＝＝a＋b.
方法二　设＝x，＝y，则＝＝y，又
所以
解得
即＝a－b，＝a＋b.
例4　解析：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．
a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos (－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin (－30°)＝4×＝－2.
∴a＝()，b＝，c＝(2，－2)．
跟踪训练3　解析：(1)因为e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3)．
(2)记O为坐标原点，则＝(2，3)＝2i＋3j，＝(4，2)＝4i＋2j，
所以＝＝4i＋2j－(2i＋3j)＝2i－j.
答案：(1)A　(2)C1.5.1　数量积的定义及计算
教材要点
要点一　数量积的定义
(1)设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝____________________为a与b的数量积．
(2)a·b＝0 ________．
状元随笔　(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；
(2)数量积的结果为数量，不再是向量；
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角〈〉决定：当〈〉是锐角时，数量积为正；当〈〉是钝角时，数量积为负；当〈〉是直角时，数量积等于零．
要点二　投影
(1)设a，b是两个非零向量，这两个向量的夹角为α，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量；投影向量的长度|＝|||cos α|称为投影长；____________称为在上的投影．
(2)a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影________的乘积．
状元随笔　(1)若是两个非零向量，两个向量的夹角为〈〉在方向上的投影||cosα的计算公式为||cosα＝.
(2)向量在向量方向上的投影||cosα可以为正，可以为负，也可以为0.
要点三　数量积的运算律
设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则
(1)交换律：a·b＝________；
(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
状元随笔　(1)向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且＝，但得不到＝.
(2)() ≠()，因为是数量积，是实数，不是向量，所以() 与向量共线，()与向量共线，因此，() ＝()在一般情况下不成立．
(3)推论：(±)2＝±2.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两向量的数量积仍是一个向量．(　　)
(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ＞0 a·b＞0.(　　)
(3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)
(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　)
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝(　　)
A． B．
C．1 D．－
3．若|a|＝1，|b|＝2，向量a与向量b的夹角为，则向量a在向量b上的投影向量为(　　)
A．－b B．b
C．－b D．b
4．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，则a与b的夹角为________．
题型 1　向量数量积的计算
角度1　向量数量积的计算
例1　已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
方法归纳
求向量的数量积的方法
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量的数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，使问题转化为两个单一向量的数量积，再用数量积公式计算．
角度2　几何图形中向量的数量积的计算
例2　在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　)
A．B．
C．－ D．
方法归纳
解决几何图形中向量的数量积运算问题的思路方法
(1)解决几何图形中向量的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．
(2)向量的夹角是由向量的方向确定的，在△ABC中，注意与与与的夹角不是∠C，∠A，∠B，而是它们的补角．
(3)设D是△ABC的边BC的中点，则＝)．
跟踪训练1　(1)已知向量a与b的夹角θ＝120°，|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝(　　)
A．－6 B．－6
C．6 D．6
(2)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于________．
题型 2　向量数量积的几何意义
例3　如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
方法归纳
求投影向量的方法
(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
(2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算．
跟踪训练2　(1)若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b的方向上的投影向量的模长为(　　)
A．2 B．
C．2D．4
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________．
题型 3　向量数量积的应用
角度1　求两向量的夹角
例4　已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为________．
方法归纳
求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，利用cos θ＝，θ∈[0，π]，求出θ的值．在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．
角度2　求向量的模
例5　(1)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则|2a＋b|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝________．
角度3　两向量的垂直问题
例6　已知向量a，b的夹角为π，|a|＝1，|b|＝2.若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值．
方法归纳
向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．
跟踪训练3　(1)已知单位向量a，b满足a·b＝，则a与b夹角的大小为________；|a－2b|＝________．
(2)设向量e1，e2为单位正交基，若a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，且a⊥b，则k＝________．
易错辨析　忽视向量共线的特殊情况出错
例7　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos θ＝＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，化简得2t2＋15t＋7＜0.
解得－7＜t＜－.
当向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为180°时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，则
解得
∴所求实数t的取值范围是(－7，－，－)．
易错警示
易错原因 纠错心得
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0包括了向量共线反向的情况，若忽视了这种情况，就得到了错误的答案. 若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负，反之不成立．所以解题时注意结论的应用．
课堂十分钟
1．已知a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
2．已知正方形ABCD的边长为1，则·＝(　　)
A． B．1
C． D．2
3．已知e为单位向量，|a|＝4，当向量e，a的夹角等于30°时，向量a在向量e上的投影向量为(　　)
A．2eB．2e
C．2eD．e
4．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
1．5.1　数量积的定义及计算
新知初探·课前预习
要点一
(1)|a||b|cos 〈a，b〉　(2)a⊥b
要点二
(1)||cos α　(2)|b|cos α　|a|cos α
要点三
(1)b·a　(3)a·c＋b·c
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×＝.
答案：A
3．解析：a在b上的投影向量是|a|cos θ·＝1×＝b.
答案：D
4．解析：cos 〈a，b〉＝＝＝－，
∴夹角为.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 120°＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.
例2　解析：＝＝＝1，
·＝·cos (180°－60°)＝3×1×＝－.
答案：C
跟踪训练1　解析：(1)根据平面向量数量积的定义可得a·b＝|a|·|b|·cos 120°＝3×4×(－)＝－6.
(2)·＝()·＝||2＋·＝||2＝||2＝2.
答案：(1)B　(2)2
例3　解析：(1)如图，连接AD.因为D为BC的中点，AB＝AC，
所以AD⊥BC.设与同方向的单位向量为e，又BD＝DC＝，且与的夹角为150°，
所以在上的投影向量||cos 150°e＝－e＝－＝－＝.
(2)如图，延长CB至点M，使BM＝CD，过点M作AB延长线的垂线MN，并交AB的延长线于点N，易知＝，BN＝.
在上的投影向量即为在上的投影向量．
又MN⊥BN，BN＝与的夹角为150°，
故在上的投影向量为＝－，即在上的投影向量为－.
跟踪训练2　解析：(1)a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×2×＝4，
a在b的方向上的投影向量为：|a|cos 30°×＝4×＝b，
所以a在b的方向上的投影向量的模长为|b|＝2.
(2)设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×·e＝－e.
答案：(1)C　(2)－e
例4　解析：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉＝6cos 〈a，b〉，
∵(a＋2b)·(a－3b)＝－18，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝9－6cos 〈a，b〉－6×4＝－18
整理得：cos 〈a，b〉＝，
∴a与b的夹角为：.
答案：
例5　解析：(1)由题意，向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝－1，
又由|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×1＋22＋4×(－1)＝4，
所以|2a＋b|＝2.
(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝，即－|b|＝，解得|b|＝.
答案：(1)A　(2)
例6　解析：由题设知a·b＝|a||b|cos ＝1×2×＝－1
又因为2a－b和ta＋b垂直，
所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，
即2ta2＋(2－t)a·b－b2＝0，
所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.
跟踪训练3　解析：(1)设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈，所以θ＝；
|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×＋4＝3，所以|a－2b|＝.
(2)因为向量e1，e2为单位正交基，a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，a⊥b，
所以(2e1－e2)·(e1＋ke2)＝0，即＝0，
所以2－k＝0，即k＝2.
答案：(1)　(2)2
[课堂十分钟]
1．解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.
答案：B
2．解析：如图，因为ABCD是边长为1的正方形，所以＝，
·＝·＝2＋·＝1.
答案：B
3．解析：∵向量a在向量e上的投影数量为|a|cos 〈a，e〉＝4cos 30°＝2，
∴向量a在向量e上的投影向量为2e.
答案：A
4．解析：由向量垂直得
即
化简得
∴cos 〈a，b〉＝＝＝，
∴a与b的夹角为.(共36张PPT)
1.5.1　数量积的定义及计算
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点
要点一　数量积的定义
(1)设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝______________为a与b的数量积．
(2)a·b＝0 ________．
状元随笔　(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；
(2)数量积的结果为数量，不再是向量；
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角〈〉决定：当〈〉是锐角时，数量积为正；当〈〉是钝角时，数量积为负；当〈〉是直角时，数量积等于零．
a||b|cos〈a，b〉
a⊥b
要点二　投影
(1)设a，b是两个非零向量，这两个向量的夹角为α，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量；投影向量的长度|＝|||cos α|称为投影长；________称为在上的投影．
(2)a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影________的乘积．
状元随笔　(1)若是两个非零向量，两个向量的夹角为〈〉在方向上的投影||cos α的计算公式为||cos α＝.
(2)向量在向量方向上的投影||cos α可以为正，可以为负，也可以为0.
||cos α
|b|cos α
|a|cos α
要点三　数量积的运算律
设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则
(1)交换律：a·b＝________；
(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
状元随笔　(1)向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且＝，但得不到＝.
(2)() ≠()，因为是数量积，是实数，不是向量，所以() 与向量共线，()与向量共线，因此，() ＝()在一般情况下不成立．
(3)推论：( ±)2＝±2.
b·a
a·c＋b·c
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两向量的数量积仍是一个向量．(　　)
(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ＞0 a·b＞0.(　　)
(3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)
(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　)
×
√
×
×
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝(　　)
A． B．
C．1 D．－
答案：A
解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×＝.
3．若|a|＝1，|b|＝2，向量a与向量b的夹角为，则向量a在向量b上的投影向量为(　　)
A．－b B．b
C．－b D．b
答案：D
解析：a在b上的投影向量是|a|cos θ·＝1×＝b.
4．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，则a与b的夹角为
________．
解析：cos 〈a，b〉＝＝＝－，∴夹角为.
题型探究·课堂解透
题型 1　向量数量积的计算
角度1　向量数量积的计算
例1　已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解析：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 120°＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.
方法归纳
求向量的数量积的方法
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量的数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，使问题转化为两个单一向量的数量积，再用数量积公式计算．

角度2　几何图形中向量的数量积的计算
例2　在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　)
A． B．
C．－ D．
答案：C
解析：＝＝＝1，
·＝·cos (180°－60°)＝3×1×＝－.
方法归纳
解决几何图形中向量的数量积运算问题的思路方法
(1)解决几何图形中向量的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．
(2)向量的夹角是由向量的方向确定的，在△ABC中，注意与与与的夹角不是∠C，∠A，∠B，而是它们的补角．
(3)设D是△ABC的边BC的中点，则＝)．
跟踪训练1　(1)已知向量a与b的夹角θ＝120°，|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝(　　)
A．－6 B．－6
C．6 D．6
解析：根据平面向量数量积的定义可得a·b＝|a|·|b|·cos 120°＝3×4×(－)＝－6.
答案：B
(2)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于________．
2
解析：·＝()·＝||2＋·＝||2＝||2＝2.
题型 2　向量数量积的几何意义
例3　如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
解析：(1)如图，连接AD.因为D为BC的中点，AB＝AC，
所以AD⊥BC.设与同方向的单位向量为e，又BD＝DC＝，且与的夹角为150°，所以在上的投影向量||cos 150°e＝－e＝－＝－＝.
(2)如图，延长CB至点M，使BM＝CD，过点M作AB延长线的垂线MN，并交AB的延长线于点N，易知＝，BN＝.
在上的投影向量即为在上的投影向量．
又MN⊥BN，BN＝与的夹角为150°，
故在上的投影向量为＝－，即在上的投影向量为－.
方法归纳
求投影向量的方法
(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
(2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算．
跟踪训练2　(1)若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b的方向上的投影向量的模长为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
答案：C
解析：a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×2×＝4，
a在b的方向上的投影向量为：|a|cos 30°×＝4×＝b，
所以a在b的方向上的投影向量的模长为|b|＝2.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，
则a在b上的投影向量为________．
－e
解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×·e＝－e.
题型 3　向量数量积的应用
角度1　求两向量的夹角
例4　已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为
________．

解析：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉＝6cos 〈a，b〉，
∵(a＋2b)·(a－3b)＝－18，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝9－6cos 〈a，b〉－6×4＝－18
整理得：cos 〈a，b〉＝，
∴a与b的夹角为：.
方法归纳
求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，利用cos θ＝，θ∈[0，π]，求出θ的值．在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．
角度2　求向量的模
例5　(1)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则|2a＋b|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．12
答案：A
解析：由题意，向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝－1，
又由|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×1＋22＋4×(－1)＝4，
所以|2a＋b|＝2.
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝
________．
解析：由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝，即－|b|＝，解得|b|＝.
角度3　两向量的垂直问题
例6　已知向量a，b的夹角为π，|a|＝1，|b|＝2.若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值．
解析：由题设知a·b＝|a||b|cos ＝1×2×＝－1
又因为2a－b和ta＋b垂直，
所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，
即2ta2＋(2－t)a·b－b2＝0，
所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.
方法归纳
向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．
跟踪训练3　(1)已知单位向量a，b满足a·b＝，则a与b夹角的大小为
________；|a－2b|＝________．
2
解析：设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈，所以θ＝；
|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×＋4＝3，所以|a－2b|＝.
(2)设向量e1，e2为单位正交基，若a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，且a⊥b，则k＝________．
2
解析：因为向量e1，e2为单位正交基，a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，a⊥b，
所以(2e1－e2)·(e1＋ke2)＝0，即＝0，
所以2－k＝0，即k＝2.
易错辨析　忽视向量共线的特殊情况出错
例7　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos θ＝＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，化简得2t2＋15t＋7＜0.
解得－7＜t＜－.
当向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为180°时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，则解得
∴所求实数t的取值范围是(－7，－，－)．
易错警示
易错原因 纠错心得
若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负，反之不成立．所以解题时注意结论的应用．
课堂十分钟
1．已知a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
答案：B
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.
2．已知正方形ABCD的边长为1，则·＝(　　)
A． B．1
C． D．2
答案：B
解析：如图，因为ABCD是边长为1的正方形，所以＝，
·＝·＝2＋·＝1.
3．已知e为单位向量，|a|＝4，当向量e，a的夹角等于30°时，向量a在向量e上的投影向量为(　　)
A．2e B．2e
C．2e D．e
答案：A
解析：∵向量a在向量e上的投影数量为|a|cos 〈a，e〉＝4cos 30°＝2，
∴向量a在向量e上的投影向量为2e.
4．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解析：由向量垂直得即
化简得∴cos 〈a，b〉＝＝＝，
∴a与b的夹角为.1.6.1　余弦定理
教材要点
要点一　解三角形
从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形．
要点二　余弦定理
文字 语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号 语言 a2＝________________， b2＝________________， c2＝________________．
推论 cos A＝________________， cos B＝________________， cos C＝________________．
状元随笔　对余弦定理的理解
(1)余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．
(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　)
(2)余弦定理只适用于锐角三角形．(　　)
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)
2．在△ABC中，已知b＝8，c＝3，∠A＝60°，则a＝(　　)
A．73 B．49 C． D．7
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)
A． B．
C．D．
4．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝30°，则c＝________．
题型 1　已知两边及一角解三角形
例1　(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则BC的长为(　　)
A． B． C．3 D．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，∠B＝120°，则边a等于(　　)
A． B． C． D．2
方法归纳
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
(2)已知两边及其夹角解三角形的方法
首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
跟踪训练1　(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________；sin A＝________．
(2)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________．
题型 2　已知三角形三边及关系解三角形
例2　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A． B． C． D．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．
方法归纳
(1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择；
(2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论．
跟踪训练2　(1)在△ABC中，若a2＋c2＝b2－ac，则∠B＝(　　)
A． B． C． D．
(2)△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，则其最大内角等于________．
题型3　判断三角形的形状
例3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sin A＝2sin B cos C．试判断△ABC的形状．
方法归纳
利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即用转化的思想解决问题，一般有两个思路：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系；(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理．
跟踪训练3　在△ABC中，若满足a cos A＝b cos B，则△ABC一定为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
易错辨析　忽略构成三角形的条件出错
例4　已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，则实数a的取值范围为________．
解析：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边
∴
解得a>.
要使2a＋1，a，2a－1
构成三角形，需满足
解得a>2.
由题知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ(钝角)，
则cos θ＝<0，
∴a2＋(2a－1)2－(2a＋1)2<0，即a2－8a<0，解得0又a>2，∴a的取值范围为(2，8)．
答案：(2，8)
易错警示
易错原因 纠错心得
a>只能保证2a＋1，a，2a－1都是正数，而要表示三角形的三边，还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于第三边”． 由于余弦定理的变形较多，且涉及平方和开方等运算，易因不细心而导致错误．在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形．
课堂十分钟
1．在△ABC中，已知∠B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于(　　)
A．4 B． C．7 D．5
2．在△ABC中，a＝2，b＝2，c＝，则A＝(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
4．在△ABC中，a2＝2bc，b＝2c，cos A＝________．
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝.若a＝4，b＋c＝6，且b1．6.1　余弦定理
新知初探·课前预习
要点二
b2＋c2－2bc cos A　a2＋c2－2ac cos B　a2＋b2－2ab cos C　
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝82＋32－2×8×3×＝49.∴a＝7.
答案：D
3．解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos B＝＝＝.
答案：B
4．解析：由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋9－2×2×3×＝3，
∴c＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由题意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋9－6＝7，则BC＝，故选D.
(2)根据余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴6＝a2＋2－2 a×，∴a＝(负值舍去)．
答案：(1)D　(2)C
跟踪训练1　解析：(1)根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
(2)根据余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C
所以13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1(负值舍去)．
答案：(1)2　　(2)1
例2　解析：(1)因为c所以cos C＝＝＝，
所以∠C＝.
(2)已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4.
又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，
所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c.
因此a为最大边，∠A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，
即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.
又b＝a－4>0，所以a＝14.
即此三角形的最大边长为14.
答案：(1)B　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)因为a2＋c2＝b2－ac，所以a2＋c2－b2＝－ac，
所以cos B＝＝＝－，又B∈(0，π)，
所以B＝.
(2)由于c最大，故C最大，cos C＝＝－，
由于0答案：(1)D　(2)
例3　解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以cos A＝.又因为0°因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
且sin A＝2sin B cos C，
所以sin B cos C＝cos B sin C，则sin (B－C)＝0.
因为－180°又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，
故△ABC为等边三角形．
跟踪训练3　解析：因为a cos A＝b cos B，
所以由余弦定理得a·＝b·
所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)
a2b2＋a2c2－a4＝b2a2＋b2c2－b4
(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，
所以a＝b或a2＋b2＝c2，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
答案：D
[课堂十分钟]
1．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B
＝9＋25－2×3×5cos 120°
＝49
∴b＝7.
答案：C
2．解析：由余弦定理得
cos A＝＝＝
∴∠A＝60°.
答案：B
3．解析：∵△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，
∴cos B＝＝，∴a2＋c2－2ac＝0 (a－c)2＝0，
∴a＝c，∠A＝∠C，∴△ABC为等边三角形．故选D.
答案：D
4．解析：因为a2＝2bc，b＝2c，所以a2＝2×2c×c＝4c2，即a＝2c，
在△ABC中，由余弦定理可得：cos A＝＝＝.
答案：
5．解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，∵a＝4，b＋c＝6，cos A＝，∴16＝36－bc，∴bc＝8.
由可得1．7　平面向量的应用举例
最新课程标准 学科核心素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．(直观想象、逻辑推理) 2．会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．(数学建模、数学运算)
教材要点
要点一　向量在平面几何中的应用
(1)线线平行问题：
不重合的两条直线a，b平行 a∥b a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0(a，b为非零向量)．
(2)线线垂直问题：
两条直线a，b垂直 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)．
(3)夹角问题：
两个向量的夹角公式cos θ＝＝.
(4)线段的长度问题：
向量模的公式|a|＝＝.
要点二　物理中的向量问题
(1)力的问题
力是既有大小，又有方向的量．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上，主要涉及的问题是力的合成与分解．
(2)速度与位移问题
速度、位移问题主要涉及合成与分解，其实就是向量的加减法，可以通过向量的线性运算来解决，也可借助坐标运算来求解．
(3)功与动量问题
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．即W＝|F||s|cos 〈F，s〉．功是一个实数，它可正、可负，也可为零．
物理中的动量涉及物体的质量m，物体运动的速率v，因此动量的计算也是向量的数乘运算．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)
(3)物理学中的功是一个向量．(　　)
(4)速度、加速度与位移的合成和分解，实质上就是向量的加减运算．(　　)
2．在四边形ABCD中，若·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
3．若向量＝＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．－
4．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________．
题型 1　平面向量在几何证明中的应用
例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
方法归纳
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基；
②用基表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
跟踪训练1　已知点O，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，·＝·＝·，则点O，P依次是△ABC的(　　)
A．重心，垂心 B．重心，内心
C．外心，垂心 D．外心，内心
题型 2　平面向量在几何求值中的应用
例2　在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝1，AD＝2，若点P为边BC上的动点，则·的最大值为(　　)
A．B．－
C．－D．－2
方法归纳
(1)用向量法求长度的策略
①利用图形特点选择基，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)向量数量积、夹角的计算
利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算．
跟踪训练2　
(1)如图，已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝__________．
(2)已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，则∠EAC的大小为________.
题型 3　向量在物理中的应用
例3　一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
方法归纳
用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
跟踪训练3　在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　)
A．|G|＝|F1|＋|F2|
B．当θ＝时，|F1|＝|G|
C．当θ角越大时，用力越省
D．当|F1|＝|G|时，θ＝
易错辨析　未将物理问题转化为向量问题致误
例4　一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.
解析：因为v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12，
所以|v实际|＝＝＝16(km/h)．
因此所需时间t＝＝0.5(h)＝30(min)．
故该船到达B处所需的时间为30 min.
答案：30
易错警示
易错原因 纠错心得
误将船在静水中的速度作为船的实际速度导致错误． 船行驶的实际速度是船在静水中的速度与水速的合成，因此应借助平行四边形法则或三角形法则求出其实际速度，再解决相关问题．
课堂十分钟
1．在四边形ABCD中，若＝0，·＝0，则四边形为(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
2．已知作用在点A(1，1)的三个力分别为F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是(　　)
A．(8，0) B．(9，1)
C．(－1，9) D．(3，1)
3.
已知边长为2的正六边形ABCDEF，连接BE，CE，点G是线段BE上靠近B的四等分点，连接GF，则· 等于(　　)
A．－6 B．－9
C．6 D．9
4．在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝)，则||＝________．
5．在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角∠BAC的余弦值．
1．7　平面向量的应用举例
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由＝知BC∥AD，且BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
由·＝0知AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形．
答案：C
3．解析：F1＋F2＝＝(1，1)＋(－3，－2)
＝(－2，－1)．
|F1＋F2|＝＝.
答案：C
4．解析：∵＝)＝(－1，2)
∴·＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.
答案：3
题型探究·课堂解透
例1　证明：方法一　设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又因为＝＝－a＋＝＝b＋，所以·＝·＝－a·b＋＝＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
方法二　建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
跟踪训练1　解析：∵||＝||＝||，
∴O到三角形三个顶点的距离相等
∴O是三角形的外心
∵·＝·＝·
∴·()＝0，·()＝0
∴⊥⊥
∴P是△ABC的垂心．
答案：C
例2　解析：如图，以B为原点，BA，BC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系．
作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，
在△ADE中，因为AD＝2，所以AE＝1，DE＝.
在△CDF中，因为DF＝BE＝2，∠C＝60°，所以CF＝，BC＝，
则A(1，0)，D(2，)．设P(0，t)，0≤t≤，
则＝(－1，t)，＝(2，－t)，
所以·＝－t2＋t－2，
当t＝时，·取得最大值，且(·)max＝－.
答案：C
跟踪训练2　解析：(1)由题意知2＝，
因为＝5p＋2q，＝p－3q，
所以2＝＝6p－q，
所以2||＝|6p－q|
＝＝15，
所以||＝.
(2)如图，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，C(，1)，E，
＝(，1)，＝·＝2.
cos ∠EAC＝＝＝，
因为0<∠EAC<，所以∠EAC＝.
答案：(1)　(2)
例3　
解析：如图所示，设为水流速度，为航行速度，
以AC和AD为邻边作 ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，
根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，∴||＝＝2，又∵AB＝，
∴用时0.5 h，易知sin ∠EAD＝.∴∠EAD＝30°
∴该船实际航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h．
跟踪训练3　解析：根据题意可得：G＝F1＋F2，
则|G|＝|F1＋F2|＝＝θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，故A错误；
当θ＝时，|G|＝|G|，故B正确；
|G|＝y＝cos θ在(0，π)上递减，
又因行李包所受的重力为G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；
当|F1|＝|G|时，即＝|F1|，解得cos θ＝－，
又因θ∈(0，π)，所以θ＝，故D错误．
答案：B
[课堂十分钟]
1．解析：由题可知∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
答案：D
2．解析：∵F＝(8，0)，∴终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1)．
答案：B
3．解析：方法一　根据题意，＝2＝－，
所以＝＝－＝
又＝，且∠CDE＝120°，
所以·＝·()
＝＋·
＝2＋×2×2×＋4＝9.
方法二　以点F为原点，线段EF所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则F(0，0)，E(2，0)，B(0，2)，C(2，2)，＝(2，－2)，＝(0，－2)，＝(－2，0)，
＝＝＝，
故·＝－×(－2)＝9.
答案：D
4．解析：∵＝)，∴＝)，即＝)，∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线．∴||＝1.
答案：1
5.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c，0)，则B(－c，0)．
于是，＝(c，a)，＝(2c，0)，＝(c，－a)．
因为BB′，CC′都是中线，
所以＝)＝[(2c，0)＋(c，a)]＝.
同理＝.
因为BB′⊥CC′，所以－c2＋a2＝0，即a2＝9c2.
从而cos ∠BAC＝＝＝＝.
即顶角∠BAC的余弦值为.

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