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2024届高三年级第三次月考数学试卷 10.29
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，若中恰有两个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，，满足，，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知不重合的平面，及不重合的直线m，n，则（ ）．
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．把1，2，3，4，5这5个数排成一列，则满足先增后减（例如：1，3，5，4，2）的数列的个数是（ ）．
A．6 B．10 C．14 D．20
5．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6. 有一个棱柱形状的石料，底面是边长为的等边三角形，该石料侧棱垂直于底面，若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆M：的上顶点为A，过点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为（其中），过B作l的垂线，交y轴于点C．若，则l的斜率（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中,有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知正四棱锥的所有棱长相等，，分别是棱，的中点，则（ ）
A． B．面
C． D．面
10.已知函数为奇函数，则参数的可能值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知等比数则的公比为，前项积为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12．非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知直线过定点,则的最小值为__________．
14．已知点，，动点M满足，则点M到直线的距离可以是__________．（写出一个符合题意的整数值）
15.袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则__________.
16. 若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为__________．
四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （本题10分）
已知数列的各项均不为0，其前项和满足，，且．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．
18．（本题12分）
△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且△ABC的周长为6．
（1）证明：； （2）求△ABC面积的最大值
19. （本题12分）
如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，．
（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦的最大值．
20. （本题12分）
一对夫妻计划进行为期60天自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．（1）在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
（2）设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．
21.（本题12分）
已知双曲线：的焦距为8．过左焦点的直线与的左半支交于，两点，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，且当垂直于轴时，． （1）的标准方程； （2）设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22. （本题12分）
已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，
（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．
2024届高三第二次月考数学答案
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 A A B C D B D C BC AC AC BCD
13. 14. 1（或0） 15. 16.
17．【解析】（1）因为，所以．两式相减，得．
因为，所以．所以是以1为首项，4为公差的等差数列，是以3为首项，4为公差的等差数列．所以，．故．
（2）因为，所以．
因为，所以．
18.（1）在△ABC中，由余弦定理可得：，
即，又因为，
所以，整理可得：，
所以得证.
（2）由（1）可知：，
所以，当且仅当时取等号，
所以或，因为，所以，
则，所以，
故△ABC面积的最大值为.
19．【解析】（1）因为点为棱的中点，，所以． 1分
因为平面，平面，所以．
又因为，平面，
所以平面． 3分
因为平面，所以． 4分
（2）设．
以为轴，为轴，过点与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则． 5分
所以， 6分
设平面的法向量为，所以
令，则，．所以． 8分
所以 10分
（当且仅当，即时，等号成立）．
所以直线与平面所成角的正弦的最大值为． 12分
20.解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:,
由题意可知:,,,
所以的分布列如下表所示:
0 1 2
所以;
【小问2详解】
假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,
此时第n天时,由丈夫驾车的概率为,
即,则有,
所以,因为,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
即,故
21,由题可知，焦距，所以，当AB垂直于x轴时，，
又，联立，解得或（舍），所以则的标准方程为；
【小问2详解】如图，
①当直线斜率不存在时，此时，则，所以，要使得为定值，则；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，，则，由于均在左半支，所以，且，
所以，消去得，则
所以，同理，
则
，要使得为定值，则满足，解得，此时，经检验，此结果也符合斜率不存在的情况
综上，存在使得为定值.
22．解：（1）因为，所以，
①当时，，所以函数在上单调递减；②当时，由得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．综上：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．（4分）
（2）（ⅰ）方程可化为，即．
令．因为函数在上单调递增，结合题意，关于t的方程（*）有两个不等的实根．
又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为．令，则．
易得函数在和上单调递减，在上单调递增．
结合函数的图象可知，实数a的取值范围是．（8分）
（ⅱ）要证，只需证．因为，所以只需证．由（ⅰ）知，不妨设．因为，所以，即，．所以只需证，即只需证．令，只需证．令，，则，所以在上单调递增，故，即在上恒成立．所以原不等式得证．（12分）

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