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第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求方程的近似解
学案
学习目标
1.理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解，体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.
3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值，了解二分法求方程的近似解具有一般性.
知识汇总
1.二分法的概念：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.用二分法求函数的零点的近似值：给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点c；
（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：
①若（此时），则c就是函数的零点，
②若（此时），则令，
③若（此时），则令；
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.
习题检测
1.某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，，，则该同学在第二次应计算的函数值为( )
A. B. C. D.
2.用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125
-6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.3418 0.5793
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为( )
A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9
3.在用二分法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间( ).
A. B. C. D.不能确定
4.用二分法判断方程在区间内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：，)( )
A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25
5.（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的是( )
A. B.
C. D.
6.用二分法研究函数的零点，第一次经计算，，则第二次计算的的值为___.
7.用二分法求方程的一个近似解时，已确定有一个根在区间内，则下一步可确定这个根所在的区间为__________.
8.根据下表，用二分法求函数在区间上的零点的近似值（精确度）是__________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，，，在区间（1，1.5）内函数存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值为.故选C.
2.答案：C
解析：根据表中数据可知，，又，所以区间内的任何一个值都可作为方程的近似解.故选C.
3.答案：B
解析：设，，，，在R上连续且单调递增，在区间内，函数存在一个零点，又，，同理可知，在区间内，函数存在一个零点，由此可得方程的根落在区间内，故选B.
4.答案：B
解析：设，，，
，在内有零点，
在内有零点，
方程根可以是0.635.故选B.
5.答案：ACD
解析：对于选项B， ，，当时，.当时，，在零点两侧的函数值同号，不能用二分法求函数零点；选项A，C，D中，在函数零点两侧的函数值异号，故可用二分法求函数零点.故选ACD.
6.答案：或-0.484375
解析：因为，所以第二次应计算，
所以，
7.答案：
解析：令，它的图像在上是连续不断的.
，，
下一步可确定这个根所在的区间为.
8.答案：1.5（答案不唯一）
解析：由二分法定义：由函数，由图表知；；；.由于，故零点的近似值是1.5或1.5625或区间上的任何一个值.故答案为：1.5.（答案不唯一）

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