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第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.3 函数模型的应用
学案
学习目标
1.会通过具体的函数模型分析实际问题.
2.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型，并对不同数学模型进行比较并择优选择.
知识汇总
1.常见的函数模型：
（1）一次函数模型：（k，b为常数，）.
（2）二次函数模型：（a，b，c为常数，）.
（3）指数函数模型：（a，b，c为常数，，，且）.
（4）对数函数模型：（m，a，n为常数，，，且）.
（5）幂函数模型：（a，n，b为常数，）.
2.利用函数模型解决实际问题的基本过程：
（1）审题：弄清题意，分清条件和要求的结论，理顺数量关系；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型；
（3）求模：推理并求解函数模型；
（4）还原：用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.
习题检测
1.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式求得.其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有100℃的物体，放在10℃的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是40℃，则k约等于（参考数据：）( )
A.0.22 B.0.27 C.0.36 D.0.55
2.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度(单位：，满足：)若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为( )(参考数据：)
A.39分钟 B.41分钟 C.43分钟 D.45分钟
3.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为(，，)，，该函数也可以简化为(，，)的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要( )
A.4年 B.3年 C.5年 D.2年
4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为( )(参考数据：)
A.72 B.74 C.76 D.78
5.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为，3周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度(单位：)与竣工后保持良好通风的时间(单位：周)近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )
A.5周 B.6周 C.7周 D.8周
6.某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.
7.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_____倍.（结果精确到0.01.当较小时，）
8.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与参考声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（单位：贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y（单位：分贝）与喷出的泉水高度xdm满足关系式，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50dm，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm.
9.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晩神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
(参考数据：，，)
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意得，，，两边取自然对数得，，所以，故选：A.
2.答案：B
解析：由题知，，，，，，，.故选B.
3.答案：A
解析：由题可得，则，解得，，所以，由函数解析式可知，在上单调递增，且，，故该果树的高度超过8m，至少需要4年.故选A.
4.答案：B
解析：由于，所以，依题意，则，则，由，所以，即，所以所需的训练迭代轮数至少为74次.故选B.
5.答案：B
解析：由题意可知，，，，解得.
设该文化娱乐场所竣工后放置周后甲醛浓度达到安企开放标准，则，整理得，设，因为，所以，即，则，即.故至少需要放置的时间为6周.故选B.
6.答案：5
解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.
7.答案：1.26
解析：由题意，两颗星的星等与亮度满足：，令“心宿二”的星等，“天津四“的星等，则，所以，即，所以，则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，
8.答案：45
解析：设B同学的声强为，喷出泉水高度为xdm，则A同学的声强为，喷出泉水高度为50dm，由，得①，，②，①-②得，解得，B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45dm.
9.解析：（1）由已知可得
.
（2）设在材料更新和技术改进前总质比为x，且，，若要使火箭的最大速度至少增加，
所以，
即，，
所以，解得，
因为，所以，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11.

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