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1.1　集合的概念
第1课时　集合的含义
1．通过实例了解集合的含义．(抽象素养)
2．理解元素与集合的“属于”关系，掌握常用数集的表示符号并会应用．(逻辑推理)
有一位牧民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是他请教了一位数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”数学家很难回答．
一天，数学家看到牧民正在向羊圈里赶羊，等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门，数学家突然灵机一动，高兴地告诉牧民：“这就是集合．”你能理解集合了吗？
知识点1　元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：构成两个集合的元素是一样的．
集合中元素的三个特性
(1)确定性：集合中的元素是确定的．
(2)互异性：同一集合中的元素是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素没有顺序．
1．若集合A由0与x两个元素构成，则实数x的取值有限制吗？为什么？
[提示]　有限制，x≠0．因为集合中的元素必须是互异的．
知识点2　元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
2．若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2与A，6与A有什么关系？
[提示]　2∈A ，6 A．
知识点3　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)我校高一学生中所有的共青团员可以组成集合． (　　)
(2)分别由元素0，1，2和2，0，1构成的两个集合是相等的． (　　)
(3)由－1，1，1构成的集合中有3个元素． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
2．用“∈”或“ ”填空：
________ N；0________Z；________Q;－________R．
[答案]　 　∈　 　∈
类型1　集合的基本概念
【例1】　(1)(多选)下列各组对象能构成集合的是(　　)
A．中国古典文学四大名著
B．中国最美乡村
C．清华大学2023年入校的全体学生
D．到定点A的距离为1的所有点
(2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝________．
(1)ACD　(2)1　[(1)AC选项显然正确；B选项中“最美”的标准不明确，不能构成集合，D选项中的所有点在以A为圆心，1为半径的圆上，能构成集合．故选ACD．
(2)由题意知a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1．]
　一组对象能构成集合的两个条件
(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
(2)任何两个对象都是不同的．
[跟进训练]
1．(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．的近似值的全体能构成集合
B．未来世界的高科技产品组成一个集合
C．正三角形的全体能构成集合
D．不大于2的所有自然数组成一个集合
(2)2022年北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩(Bing Dwen Dwen)寓意创造非凡、探索未来；2022年北京冬季残奥会吉祥物雪容融(Shuey Rhon Rhon)寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的英文名字中的所有英文字母组成的集合包含________个元素．
(1)CD　(2)13　[(1)A错误，“的近似值”的标准不明确，不能构成集合；B错误，“高科技”没有确定的标准，故不能构成集合；CD中元素的标准明确，故都能构成集合．故选CD．
(2)根据题意可得，“Bing Dwen Dwen”“Shuey Rhon Rhon”中共含有13个不同的英文字母，所以所求集合元素个数为13．]
类型2　元素与集合的关系
【例2】　(1)(2022·重庆西南大学附中月考)下列结论不正确的是(　　)
A．0∈N　　　B．∈Q　　　C． R　　　D．－1∈Z
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
(1)C　(2)0，1，2　[(1)由N表示自然数集，知0∈N，故A正确；由Q表示有理数集，知∈Q，故B正确；由R表示实数集，知∈R，故C错误；由Z表示整数集，知－1∈Z，故D正确．故选C．
(2)∵∈N，
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3．
又x∈N，故x＝0或1或2．
即集合A中的元素为0，1，2．]
　判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[跟进训练]
2．(多选)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　　)
A．－2∈A　　B．－11 A　　C．3k2－1∈A　　D．－34 A
BC　[若－2∈A，则3k－1＝－2，即k＝－ Z，故A错误；
若－11∈A，则3k－1＝－11，即k＝－ Z，故B正确；
因为k∈Z，故k2∈Z，故3k2－1∈A，故C正确；
若－34＝3k－1，则k＝－11∈Z，故D错误．
故选BC．]
类型3　集合中元素的特性及应用
【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
思路导引：a∈Aa＝1或a2＝a．
[解]　由题意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1．
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0．
[母题探究]
本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解]　由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．
　根据集合中元素的特性求值的3个步骤
[跟进训练]
3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x．
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
[解]　(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，
且x≠x2－2x，x2－2x≠3．
解得x≠－1且x≠0，x≠3．
(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2．
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
即x2－2x＝－2无解．
∴x＝－2．
1．(多选)(2022·河北沧州月考)下列各组对象能构成集合的是(　　)
A．1～10之间的所有奇数
B．北方学院2022年入校的一年级学生
C．滑雪速度较快的人
D．直线y＝2x＋1上的所有的点
ABD　[由于集合中的元素满足确定性，ABD选项中的对象均满足确定性，而C选项中，滑雪速度的快慢没有确切的标准，所以这组对象不能构成集合．故选ABD．]
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
C　[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．故选C．]
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A．3.14　　　B．－5　　　C．
D　[由题意可知，a∈R且a Q，所以a是无理数，故选D．]
4．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的值为________．
－1或－4　[∵3∈A，∴a2－a＋1＝3或|a＋1|＝3．
①若a2－a＋1＝3，则a＝2或a＝－1．
当a＝2时，|a＋1|＝3，此时与集合的互异性相矛盾，因此应舍去．
当a＝－1时，|a＋1|＝0≠3，满足题意．
②若|a＋1|＝3，则a＝－4或a＝2(舍去)．
当a＝－4时，a2－a＋1＝21≠3，满足题意．
综上可知a＝－1或a＝－4．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？
[提示]　集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键．
2．元素与集合间存在哪些关系？
[提示]　元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系．
3．学习了哪些常用数集？
[提示]　自然数集(或非负整数集)(N)、正整数集(N*或N＋)、整数集(Z)，有理数集(Q)和实数集(R)．1.1　集合的概念
第1课时　集合的含义
1．通过实例了解集合的含义．(抽象素养)
2．理解元素与集合的“属于”关系，掌握常用数集的表示符号并会应用．(逻辑推理)
有一位牧民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是他请教了一位数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”数学家很难回答．
一天，数学家看到牧民正在向羊圈里赶羊，等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门，数学家突然灵机一动，高兴地告诉牧民：“这就是集合．”你能理解集合了吗？
知识点1　元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，我们把________统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为________)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：构成两个集合的元素是________．
集合中元素的三个特性
(1)确定性：集合中的元素是确定的．
(2)互异性：同一集合中的元素是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素没有顺序．
1．若集合A由0与x两个元素构成，则实数x的取值有限制吗？为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说________________，记作________．
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说________________，记作________．
2．若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2与A，6与A有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点3　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 ______ 有理 数集 ______
符号 ______ ________ Z ____ R
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)我校高一学生中所有的共青团员可以组成集合． (　　)
(2)分别由元素0，1，2和2，0，1构成的两个集合是相等的． (　　)
(3)由－1，1，1构成的集合中有3个元素． (　　)
2．用“∈”或“ ”填空：
________ N；0________Z；________Q; －________R．
类型1　集合的基本概念
【例1】　(1)(多选)下列各组对象能构成集合的是(　　)
A．中国古典文学四大名著
B．中国最美乡村
C．清华大学2023年入校的全体学生
D．到定点A的距离为1的所有点
(2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　一组对象能构成集合的两个条件
(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
(2)任何两个对象都是不同的．
[跟进训练]
1．(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．的近似值的全体能构成集合
B．未来世界的高科技产品组成一个集合
C．正三角形的全体能构成集合
D．不大于2的所有自然数组成一个集合
(2)2022年北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩(Bing Dwen Dwen)寓意创造非凡、探索未来；2022年北京冬季残奥会吉祥物雪容融(Shuey Rhon Rhon)寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的英文名字中的所有英文字母组成的集合包含________个元素．
类型2　元素与集合的关系
【例2】　(1)(2022·重庆西南大学附中月考)下列结论不正确的是(　　)
A．0∈N B．∈Q　　　　C． R D．－1∈Z
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[跟进训练]
2．(多选)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　　)
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
类型3　集合中元素的特性及应用
【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
思路导引：a∈Aa＝1或a2＝a．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据集合中元素的特性求值的3个步骤
[跟进训练]
3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x．
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选)(2022·河北沧州月考)下列各组对象能构成集合的是(　　)
A．1～10之间的所有奇数
B．北方学院2022年入校的一年级学生
C．滑雪速度较快的人
D．直线y＝2x＋1上的所有的点
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A．3.14 B．－5 C． D．
4．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？
2．元素与集合间存在哪些关系？
3．学习了哪些常用数集？第2课时　集合的表示
1．初步掌握集合的两种表示方法－－列举法、描述法．(数学抽象)
2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(数学运算)
四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》．四大名著是中国古典文学的精品，受到很多读者的喜爱．中国古典四大名著能组成集合吗？如何表示该集合？
知识点1　列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
用列举法表示集合时应注意以下两点：
(1)元素间用“，”隔开；
(2)花括号“{　}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}．
知识点2　描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
用描述法表示集合时应注意以下三点：
(1)代表元素x可以是数，也可以是点，…．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．如偶数集可以表示为{x|x＝2k，k∈Z}，其中k∈Z不能省略．
(3)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x－1，或x>1}．
{(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？
[提示]　不能．前面集合表示的是点集；而后两个集合表示的是数集．
1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)
A．{(－2，2)}　　　 B．{－2，2}
C．{－2} D．{2}
B　[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2，2}．]
2．用描述法表示不等式4x－57的解集为________．
{x|x3}　[用描述法可表示为{x|x3}．]
类型1　用列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．
[解]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．
(2)小于8的质数有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，
所以C＝．
(4)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，
所以D＝{(1，4)}．
　用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
[跟进训练]
1．用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有正整数组成的集合；
(2)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
[解]　(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
类型2　用描述法表示集合
【例2】　(源自北师大版教材)用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理数组成的集合A；
(2)所有奇数组成的集合B；
(3)平面α内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C．
[解]　(1)设x∈A，则x∈Q，且使x10成立．因此，用描述法可以表示为A＝{x∈Q|x10}．
(2)设x∈B，则x是一个奇数．因此，用描述法可以表示为B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}．
(3)设M∈C，则M∈α，M到α内的定点O的距离等于定长r．因此，用描述法可以表示为C＝{M∈α|O为α内的定点，r为定值，且M到O的距离等于r}．
　用描述法表示集合的2个步骤
提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．
[跟进训练]
2．用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合；
(3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合．
[解]　(1){(x，y)|x∈R，y＝0}．
(2){(x，y)|y＝x2－4}．
(3){x|x≠1}．
类型3　集合表示方法的综合应用
【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
思路导引：A中只有一个元素方程kx2－8x＋16＝0有唯一解．
[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}．
[母题探究]
本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1．
综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．
　解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
[跟进训练]
3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)
　[当a＝0时，方程有实数解x＝－1，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝1－4a≤0，解得a≥．
故实数a的取值范围为．]
1．(2022·黑龙江鸡西市第四中学月考)用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为(　　)
A．{1，3} B．{1，－3}
C．{(－1，3)} D．{－1，3}
D　[解x2－2x－3＝0可得x1＝－1，x2＝3，故列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为{－1，3}，故选D．]
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)} D．{(1，－2)}
D　[由得∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]
3．(多选)由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)
A．{－2，0，2，4，6，8，10}
B．{0，2，4，6，8，10}
C．{x|－3x11，x＝2k}
D．{x|－3x11，x＝2k，k∈Z}
AD　[由题意可知，满足题设条件的有选项AD，故选AD．]
4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
{－1，4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？
[提示]　列举法和描述法．
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？
[提示]　(1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；
(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；
{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；
{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1上的点(x，y)组成的集合．第2课时　集合的表示
1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(数学抽象)
2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(数学运算)
四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》．四大名著是中国古典文学的精品，受到很多读者的喜爱．中国古典四大名著能组成集合吗？如何表示该集合？
知识点1　列举法
把集合的所有元素________出来，并用____________括起来表示集合的方法叫做列举法．
用列举法表示集合时应注意以下两点：
(1)元素间用“，”隔开；
(2)花括号“{　}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}．
知识点2　描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有________P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
用描述法表示集合时应注意以下三点：
(1)代表元素x可以是数，也可以是点，…．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．如偶数集可以表示为{x|x＝2k，k∈Z}，其中k∈Z不能省略．
(3)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}．
{(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)
A．{(－2，2)}　 B．{－2，2}
C．{－2} D．{2}
2．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．
类型1　用列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
[跟进训练]
1．用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有正整数组成的集合；
(2)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　用描述法表示集合
【例2】　(源自北师大版教材)用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理数组成的集合A；
(2)所有奇数组成的集合B；
(3)平面α内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用描述法表示集合的2个步骤
提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．
[跟进训练]
2．用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合；
(3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　集合表示方法的综合应用
【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
思路导引：A中只有一个元素方程kx2－8x＋16＝0有唯一解．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
[跟进训练]
3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)
1．(2022·黑龙江鸡西市第四中学月考)用列举法表示集合为(　　)
A．{1，3} B．{1，－3}
C．{(－1，3)} D．{－1，3}
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)} D．{(1，－2)}
3．(多选)由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)
A．{－2，0，2，4，6，8，10}
B．{0，2，4，6，8，10}
C．{x|－3D．{x|－34．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？

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