资源简介 2.2 基本不等式第1课时 基本不等式1.了解基本不等式的证明过程.(数学运算)2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(逻辑推理) 填写下表:a b 与的大小关系14 162 2… …问题:(1)观察与的大小关系,从中你发现了什么结论?(2)你能给出它的证明吗?知识点 基本不等式(1)基本不等式:如果a>0,b>0,那么,当且仅当a=b时,等号成立.其中,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.(2)变形:①ab≤,a,b∈R,当且仅当a=b时,等号成立.②a+b≥2,a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立.不等式a2+b2≥2ab与不等式等号成立的条件一样吗?[提示] 不一样,前者为a=b,后者为a=b>0.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立. ( )(2)若a≠0,则a+≥2=2. ( )(3)若a>0,b>0,则ab≤. ( )[答案] (1)× (2)× (3)√类型1 对基本不等式的理解【例1】 (多选)下面四个推导过程正确的是( )A.若a,b为正实数,则+≥2=2B.若a∈R,a≠0,则+a≥2=4C.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2=-2D.若a<0,b<0,则≤abAC [∵a,b为正实数,∴,为正实数,符合基本不等式的条件,故A的推导正确;∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,∴+a≥2=4是错误的,故B错误;由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,,均变为正数,符合基本不等式的条件,故C正确;D错误,因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.故选AC.] 对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面(1)定理成立的条件是a,b都是正实数.(2)“当且仅当”的含义:当a=b时,的等号成立,即a=b =;仅当a=b时,≥的等号成立,即= a=b.[跟进训练]1.下列不等式的推导过程正确的是________.(填序号)①若x>1,则x+≥2=2.②若x<0,则x+=-≤-2=-4.③若a,b∈R,则+≥2=2.② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件,当x=,即x=1时,x+≥2等号成立,因为x>1,所以x+>2,③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件.]类型2 利用基本不等式比较大小【例2】 (1)如果0<a<b<1,P=,Q=,M=,那么P,Q,M的大小顺序是( )A.P>Q>M B.M>P>QC.Q>M>P D.M>Q>P(2)已知a,b,c是两两不等的实数,则p=a2+b2+c2与q=ab+bc+ca的大小关系是________.(1)B (2)p>q [(1)法一:显然>,又-=<0,所以>,所以>>.故M>P>Q.法二:取a=,b=,易知M>P>Q,故选B.(2)∵a,b,c互不相等,∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac.∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac).即a2+b2+c2>ab+bc+ac.即p>q.] 运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥2成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.[跟进训练]2.若0A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+bD [法一:∵02ab,a+b>2,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D.法二:(特殊值法)取a=,b=,则a2+b2=,2=,2ab=,a+b=,显然最大,故选D.]类型3 利用基本不等式证明不等式【例3】 已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,求证:++>9.思路导引:先把“++”中的“1”替换成a+b+c,然后利用基本不等式证明++>9.[证明] ∵a,b,c是正数,且a+b+c=1,∴++=++=3++++++=3+++≥3+2+2+2=3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c时取等号,而a、b、c互不相等,∴++>9.[母题探究]本例条件不变,求证:>8.[证明] ∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,∴-1=>0,-1=>0,-1=>0,∴=··≥=8,当且仅当a=b=c时取等号,∴>8. 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.[跟进训练]3.(源自北师大版教材)已知a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥++.[证明] 因为a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式,得a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立,b+c≥2,当且仅当b=c时,等号成立,a+c≥2,当且仅当a=c时,等号成立.上面三式相加,得2a+2b+2c≥2+2+2,即a+b+c≥++,当且仅当a=b=c时,等号成立.1.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是( )A.a=4 B.a=C.a=- D.a=±D [此不等式等号成立的条件为a2=,即a=±,故选D.]2.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )A.a-b<0 B.0<<1C.< D.ab>a+bC [∵a>b>0,∴由基本不等式知<一定成立.故选C.]3.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件B [a2+b2≥2ab中,ab可能小于0,则+≥2不成立;若+≥2,则a,b同号,a2+b2≥2ab成立.故选B.]4.已知a>b>c,则与的大小关系是________. [∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴=.]回顾本节知识,自主完成以下问题:1.如何由不等式a2+b2≥2ab导出?[提示] 对于a2+b2≥2ab,若用a代替a2,b代替b2,便可得到:a+b≥2,即.2.基本不等式的常见变形有哪些?[提示] ①a+b≥2;②ab≤.2.2 基本不等式第1课时 基本不等式1.了解基本不等式的证明过程.(数学运算)2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(逻辑推理)填写下表a b 与的大小关系14 162 2… …问题:(1)观察与的大小关系,从中你发现了什么结论?(2)你能给出它的证明吗?知识点 基本不等式(1)基本不等式:如果a>0,b>0,那么________,当且仅当__________时,等号成立.其中,________叫做正数a,b的算术平均数,________叫做正数a,b的几何平均数.(2)变形:①ab≤,a,b∈R,当且仅当a=b时,等号成立.②a+b≥2,a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立.不等式a2+b2≥2ab与不等式≤等号成立的条件一样吗? 思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立. ( )(2)若a≠0,则a+≥2=2. ( )(3)若a>0,b>0,则ab≤. ( )类型1 对基本不等式的理解【例1】 (多选)下面四个推导过程正确的是( )A.若a,b为正实数,则+≥2=2B.若a∈R,a≠0,则+a≥2=4C.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2=-2D.若a<0,b<0,则≤ab[尝试解答] 对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面(1)定理成立的条件是a,b都是正实数.(2)“当且仅当”的含义:当a=b时,≤的等号成立,即a=b =;仅当a=b时,≥的等号成立,即= a=b.[跟进训练]1.下列不等式的推导过程正确的是________.(填序号)①若x>1,则x+≥2=2.②若x<0,则x+=-≤-2=-4.③若a,b∈R,则+≥2=2.类型2 利用基本不等式比较大小【例2】 (1)如果0<a<b<1,P=,Q=,M=,那么P,Q,M的大小顺序是( )A.P>Q>M B.M>P>QC.Q>M>P D.M>Q>P(2)已知a,b,c是两两不等的实数,则p=a2+b2+c2与q=ab+bc+ca的大小关系是________.[尝试解答] 运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥2成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.[跟进训练]2.若0A.a2+b2 B.2C.2ab D.a+b类型3 利用基本不等式证明不等式【例3】 已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,求证:++>9.思路导引:先把“++”中的“1”替换成a+b+c,然后利用基本不等式证明++>9.[尝试解答] [母题探究]本例条件不变,求证:>8. 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.[跟进训练]3.(源自北师大版教材)已知a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥++. 1.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是( )A.a=4 B.a=C.a=- D.a=±2.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )A.a-b<0 B.0<<1C.< D.ab>a+b3.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a>b>c,则与的大小关系是________.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.如何由不等式a2+b2≥2ab导出≤?2.基本不等式≤的常见变形有哪些?第2课时 基本不等式的应用1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题.(数学运算)2.会用基本不等式求解实际应用题.(数学建模)某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算术平均数作为项链的质量来计算.顾客对这个质量的真实性提出了质疑,那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢?知识点 用基本不等式求最值已知x,y都是正数,(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值.(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2.上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.在应用基本不等式求最值时,要把握基本不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.两个正数的积为定值,一定可以用基本不等式求它们的和的最小值吗?[提示] 不一定.如y=x+(x>1),若用基本不等式求最小值,则需要满足条件:x=,即x=1,但此式不成立,所以不能用基本不等式求最小值.1.若x>0,则y=x+的最小值为________.4 [∵x>0,∴y=x+≥2=4,当且仅当x=时等号成立.]2.已知0x1,则函数y=x(1-x)的最大值为______. [∵0x1,∴01-x1,∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时等号成立.]类型1 利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x,求y=4x-2+的最大值;(2)已知0x,求y=x(1-3x)的最大值.[解] (1)∵x,∴5-4x>0,∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.(2)法一:∵0x,∴1-3x>0.∴y=x(1-3x)=×3x(1-3x)≤,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴当x=时,y=x(1-3x)取得最大值.法二:∵0x,∴-x>0.∴y=x(1-3x)=3·x≤3·=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.∴当x=时,y=x(1-3x)取得最大值. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.提醒:注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.[跟进训练]1.(1)已知x>0,求y=的最小值;(2)(源于湘教版教材) 求函数y=(0x1)的最大值.[解] (1)∵y==x++5≥2+5=9,当且仅当x=,即x=2时等号成立.故y=(x>0)的最小值为9.(2)因为0x1,所以x>0,1-x>0,所以≤,当且仅当x=1-x,即x=时等号成立.故函数y=(0x1)的最大值为.类型2 利用基本不等式求条件最值【例2】 已知x>0,y>0,且满足+=1.求x+2y的最小值.[解] ∵x>0,y>0,+=1,∴x+2y=(x+2y)=10++≥10+2=18,当且仅当即时,等号成立,故当x=12,y=3时,(x+2y)min=18.[母题探究]若把“+=1”改为“x+2y=1”,其他条件不变,求+的最小值.[解] ∵x>0,y>0,∴+=(x+2y)=8+++2=10++≥10+2=18,当且仅当时取等号,结合x+2y=1,得x=,y=,∴当x=,y=时,+取到最小值18. 常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.提醒:常值代换法适用于变量x,y是正实数,整式ax+by与分式+一个值已知求另外一个的最(大)小值问题.[跟进训练]2.已知a>0,b>0,a+2b=1,求+的最小值.[解] ∵a>0,b>0,且a+2b=1.∴+·1=·(a+2b)=1+++2=3++≥3+2=3+2,当且仅当即时等号成立.∴+的最小值为3+2.类型3 利用基本不等式解决实际问题【例3】 (源自北师大版教材)如图,动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(接头处不计)(1)现有可围36 m长钢筋网的材料,当每间禽舍的长、宽各设计为多长时,可使每间禽舍面积最大?(2)若使每间禽舍面积为24 m2,则每间禽舍的长、宽各设计为多长时,可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小?思路导引:[解] (1)设每间禽舍的长为x m,宽为y m,则4x+6y=36,即2x+3y=18.设S=xy(0x9,0y6).应用基本不等式,有2x+3y≥2,即2≤18.所以S≤13.5.当且仅当2x=3y时,不等式中的等号成立,此时解得因此,当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5 m和3 m时,可使每间禽舍面积最大,最大面积为13.5 m2.(2)由(1)及题设条件知S=xy=24,设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.∵2x+3y≥2=2=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间禽舍长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小. 应用基本不等式解决实际问题的思路与方法(1)理解题意,设出变量.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题.(3)在取值范围内,求出函数的最大值或最小值.(4)根据实际背景写出答案.[跟进训练]3.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,求该容器的最低总造价.[解] 设该长方体容器底面的长和宽分别为a m,b m,成本为y元,由于长方体容器的容积为4 m3,高为1 m,所以底面面积S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80,由基本不等式可得y=20(a+b)+80≥20×2+80=160(元),当且仅当a=b=2时,等号成立,因此,该容器的最低总造价为160元.1.(2022·北京师大附中月考)已知正数x,y满足xy=4,则x+y( )A.有最大值4 B.有最小值4C.有最大值2 D.有最小值2B [∵x>0,y>0,∴x+y≥2=4, 当且仅当x=y=2时取得等号,即x+y有最小值4.故选B.]2.(2022·河北沧州月考)已知x>0,y>0,且满足x+6y=6,则xy有( )A.最大值 B.最小值C.最大值1 D.最小值1A [xy=≤×9=,当且仅当,即时等号成立.故选A.]3.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是( )A. B.4 C. D.5C [∵a+b=2,∴=1.又∵a>0,b>0,∴+=+≥+2,当且仅当即时,等号成立.故y=+的最小值为.故选C.]4.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.5 8 [由题意可知,年平均利润=-x-+18=-+18≤-2+18=8.当且仅当x=,即x=5时,年平均利润最大,为8万元.]回顾本节知识,自主完成以下问题:1.利用基本不等式≤求最值时,必须满足哪三个条件?[提示] 一正、二定、三相等.2.应用基本不等式求最值的依据是什么?[提示] a+b≥2和ab≤,即“和定积最大,积定和最小”.3.利用基本不等式求最值的常用方法有哪些?[提示] 直接法、配凑法、常数代换法等.第2课时 基本不等式的应用1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题.(数学运算)2.会用基本不等式求解实际应用题.(数学建模)某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算术平均数作为项链的质量来计算.顾客对这个质量的真实性提出了质疑,那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢?知识点 用基本不等式求最值已知x,y都是正数,(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最________值________.(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最________值________.上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.在应用基本不等式求最值时,要把握基本不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.两个正数的积为定值,一定可以用基本不等式求它们的和的最小值吗? 1.若x>0,则y=x+的最小值为________.2.已知0类型1 利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x<,求y=4x-2+的最大值;(2)已知0[尝试解答] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.提醒:注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.[跟进训练]1.(1)已知x>0,求y=的最小值;(2)(源于湘教版教材) 求函数y=(0 类型2 利用基本不等式求条件最值【例2】 已知x>0,y>0,且满足+=1.求x+2y的最小值.[尝试解答] [母题探究]若把“+=1”改为“x+2y=1”,其他条件不变,求+的最小值. 常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.提醒:常值代换法适用于变量x,y是正实数,整式ax+by与分式+一个值已知求另外一个的最(大)小值问题.[跟进训练]2.已知a>0,b>0,a+2b=1,求+的最小值. 类型3 利用基本不等式解决实际问题【例3】 (源自北师大版教材)如图,动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(接头处不计)(1)现有可围36 m长钢筋网的材料,当每间禽舍的长、宽各设计为多长时,可使每间禽舍面积最大?(2)若使每间禽舍面积为24 m2,则每间禽舍的长、宽各设计为多长时,可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小?思路导引:[尝试解答] 应用基本不等式解决实际问题的思路与方法(1)理解题意,设出变量.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题.(3)在取值范围内,求出函数的最大值或最小值.(4)根据实际背景写出答案.[跟进训练]3.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,求该容器的最低总造价. 1.(2022·北京师大附中月考)已知正数x,y满足xy=4,则x+y( )A.有最大值4 B.有最小值4C.有最大值2 D.有最小值22.(2022·河北沧州月考)已知x>0,y>0,且满足x+6y=6,则xy有( )A.最大值 B.最小值C.最大值1 D.最小值13.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是( )A. B.4 C. D.54.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.利用基本不等式≤求最值时,必须满足哪三个条件?2.应用基本不等式求最值的依据是什么?3.利用基本不等式求最值的常用方法有哪些? 展开更多...... 收起↑ 资源列表 新教材2023年秋高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式学生用书无答案新人教A版必修第一册.doc 新教材2023年秋高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式教师用书含答案新人教A版必修第一册.doc 新教材2023年秋高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第2课时基本不等式的应用学生用书无答案新人教A版必修第一册.doc 新教材2023年秋高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第2课时基本不等式的应用教师用书含答案新人教A版必修第一册.doc