资源简介 3.3 幂函数1.了解幂函数的概念.(数学抽象)2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=的图象,掌握它们的性质.(直观想象)3.能利用幂函数的单调性比较幂的大小.(逻辑推理)经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041根据此表,我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y=x-0.38.这是一类怎样的函数,这类函数有什么一般的性质?知识点1 幂函数的概念一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.幂函数解析式的特征:(1)xα的系数为1;(2)x为自变量;(3)α为常数.知识点2 五个幂函数的图象与性质(1)在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象如图所示:(2)五个幂函数的性质函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 在[0,+∞)上增 在(-∞,0)上减 增 增 在(0,+∞)上减 在(-∞,0)上减公共点 都经过点(1,1)对于幂函数y=xα(α为实数)有以下结论:(1)当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增;(2)当α0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减;(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的幂指数由大变小.1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)幂函数的图象都过点(0,0),(1,1). ( )(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限. ( )(3)幂函数y=xα的定义域为R,与指数无关. ( )(4)当幂指数α取2,时,幂函数y=xα是增函数. ( )(5)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数. ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×2.下列函数中不是幂函数的是________.①y=x0;②y=x3;③y=2x;④y=x-1.[答案] ③3.幂函数y=x-1,y=,y=x2,y=x3依次对应的图象为________.① ② ③ ④[答案] ④③②①4.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R的所有α的值为________;函数y=xα为奇函数的所有α的值为________.[答案] 1,3 -1,1,3类型1 幂函数的概念【例1】 (1)在函数y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3(2)已知y=+2n-3是幂函数,求m,n的值.(1)B [∵y==x-2,∴是幂函数;y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数;y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=1=x0(x≠0),可以看出,常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y=1不是幂函数.故选B.](2)[解] 由题意得解得所以m=-3,n=. 判断一个函数为幂函数的依据(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.[跟进训练]1.已知幂函数f (x)=k·xα的图象过点,则k+α等于( )A. B.1 C. D.2C [由幂函数的定义知k=1.又f ,所以,解得α=,从而k+α=.]类型2 幂函数的图象及应用【例2】 (1)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( )A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c(2)已知幂函数f (x)=xα的图象过点P,试画出f (x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间.(1)B [令a=2,b=,c=-,d=-1,和题目所给的形式相符合.在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.故选B.](2)[解] 因为f (x)=xα的图象过点P,所以f (2)=,即2α=,得α=-2,即f (x)=x-2,f (x)的图象如图所示,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调减区间为(0,+∞),单调增区间为(-∞,0). 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断.[跟进训练]2.如图,函数y=,y=x,y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧,则f (x)的解析式可能是( )A.f (x)=x2 B.f (x)=C.f (x)= D.f (x)=x-2B [∵幂函数f (x)=xα的图象过④⑧部分,∴f (x)=xα在第一象限内单调递减,∴α0.又易知当x=2时,f (x)>,∴只有B项符合题意.]类型3 幂函数性质的综合应用【例3】 (源自苏教版教材)试比较下列各组数的大小:(1)1.13,0.893;(2),,;(3),1,.思路导引:[解] (1)因为函数y=x3在区间[0,+∞)上是增函数,又1.1>0.89,所以1.13>0.893.(2)因为函数y=在区间[0,+∞)上是增函数,又2.1>2>1.8,所以>>.(3)因为函数y=x1.3在区间[0,+∞)上是增函数,又1=11.3,1,所以11.3=1.因为函数y=在区间[0,+∞)上是增函数,又=1,3>1,所以>=1.于是1. 比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时,则可构造函数,利用幂函数的单调性比较大小.(2)若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”.[跟进训练]3.比较下列各组数的大小:(1)与;(2)与.[解] (1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上是单调递增的,又,所以.(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又--,所以.1.(多选)下列函数中是幂函数的是( )A.y= B.y=x3C.y=3x D.y=x-1ABD [只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式,故选ABD.]2.下列不等式成立的是( )A. B.C. D.[答案] A3.已知幂函数的图象经过点P,则该幂函数的大致图象是( )A BC DA [设幂函数为y=xα,因为该幂函数的图象经过点P,所以4α=,即22α=2-1,解得α=-,即函数为y=,则函数的定义域为(0,+∞),所以排除CD,因为α=-0,所以y=在(0,+∞)上为减函数,所以排除B,故选A.]4.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f (x)=________.①f (x)=xα(α∈R);②f (x)在R上单调递增;③f (-x)=-f (x).x(答案不唯一) [例如f (x)=x,是单调递增函数,f (-x)=-x=-f (x),满足三个条件.]回顾本节知识,自主完成以下问题:1.判断一个函数是幂函数的关键是什么?[提示] 关键是判断其是否符合y=xα(α为常数)的形式.2.所有幂函数y=xα在原点处都有意义吗?图象都过点(1,1)吗?[提示] 当α0时,幂函数在原点处无意义,图象都过点(1,1).3.在第一象限内,幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律?[提示] 观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象,可知,幂函数y=xα的图象在第一象限内具有如下特征:直线y=1,y=x将直角坐标平面第一象限中的直线x=1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域,如图所示,若α∈(1,+∞) y=xα的图象经过区域(Ⅰ);若α∈(0,1) y=xα的图象经过区域(Ⅱ);若α∈(-∞,0) y=xα的图象经过区域(Ⅲ),并且在直线x=1的右侧,从x轴起,幂函数y=xα的指数α由小到大递增,即“指大图高”“指小图低”.3.3 幂函数1.了解幂函数的概念.(数学抽象)2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,掌握它们的性质.(直观想象)3.能利用幂函数的单调性比较幂的大小.(逻辑推理)经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041 根据此表,我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y=x-0.38.这是一类怎样的函数,这类函数有什么一般的性质?知识点1 幂函数的概念一般地,函数________叫做幂函数,其中________是自变量,________是常数.幂函数解析式的特征:(1)xα的系数为1;(2)x为自变量;(3)α为常数.知识点2 五个幂函数的图象与性质(1)在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象如图所示:(2)五个幂函数的性质函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1定义域 R R R ________ ________值域 R [0,+∞) ____ ________ ________奇偶性 奇 偶 ____ ________ ____单调性 增 在[0,+∞)上____ 在(-∞,0)上____ ____ ____ 在(0,+∞) 上____ 在(-∞,0)上____公共点 都经过点(1,1)对于幂函数y=xα(α为实数)有以下结论:(1)当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增;(2)当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减;(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的幂指数由大变小.1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)幂函数的图象都过点(0,0),(1,1). ( )(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限. ( )(3)幂函数y=xα的定义域为R,与指数无关. ( )(4)当幂指数α取2,时,幂函数y=xα是增函数. ( )(5)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数. ( )2.下列函数中不是幂函数的是________.①y=x0; ②y=x3;③y=2x;④y=x-1.3.幂函数y=x-1,y=,y=x2,y=x3依次对应的图象为________.① ② ③ ④4.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R的所有α的值为______________;函数y=xα为奇函数的所有α的值为__________.类型1 幂函数的概念【例1】 (1)在函数y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3(2)已知y=+2n-3是幂函数,求m,n的值.[尝试解答] 判断一个函数为幂函数的依据(1)指数为________;(2)底数为__________;(3)系数为________.[跟进训练]1.已知幂函数f (x)=k·xα的图象过点,则k+α等于( )A. B.1 C. D.2类型2 幂函数的图象及应用【例2】 (1)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( )A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c(2)已知幂函数f (x)=xα的图象过点P,试画出f (x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间.[尝试解答] 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断.[跟进训练]2.如图,函数y=,y=x,y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧,则f (x)的解析式可能是( )A.f (x)=x2 B.f (x)=C.f (x)= D.f (x)=x-2类型3 幂函数性质的综合应用【例3】 (源自苏教版教材)试比较下列各组数的大小:(1)1.13,0.893;(2),,;(3),1,.思路导引:[尝试解答] 比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时,则可构造函数,利用幂函数的单调性比较大小.(2)若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”.[跟进训练]3.比较下列各组数的大小:(1)与;(2)与. 1.(多选)下列函数中是幂函数的是( )A.y= B.y=x3C.y=3x D.y=x-12.下列不等式成立的是( )A. B.C. D.3.已知幂函数的图象经过点P,则该幂函数的大致图象是( )A BC D4.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f (x)=________.①f (x)=xα(α∈R);②f (x)在R上单调递增;③f (-x)=-f (x).回顾本节知识,自主完成以下问题:1.判断一个函数是幂函数的关键是什么?2.所有幂函数y=xα在原点处都有意义吗?图象都过点(1,1)吗?3.在第一象限内,幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律? 展开更多...... 收起↑ 资源列表 新教材2023年秋高中数学第3章函数的概念与性质3.3幂函数学生用书无答案新人教A版必修第一册.doc 新教材2023年秋高中数学第3章函数的概念与性质3.3幂函数教师用书含答案新人教A版必修第一册.doc