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3.4　函数的应用(一)
1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)
类型1　一次函数模型的应用
【例1】　(源自人教B版教材改编)城镇化是国家现代化的重要指标，若1978－2013年，某国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿．假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t(限定t50)年的城镇常住人口为f (t)亿．写出f (t)的解析式，并由此估算出该国2025年的城镇常住人口数．
[解]　因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f (t)是一次函数，设f (t)＝kt＋b，其中k，b是常数．
注意到2013年是1978年后的第2 013－1 978＝35年，因此
即
解得k＝0.16，b＝1.7．因此
f (t)＝0.16t＋1.7，t∈N且t50．
又因为2025年是1978年后的第2 025－1 978＝47年，即f (47)＝0.16×47＋1.7＝9.22，
所以由此可估算出该国2025年的城镇常住人口为9.22亿．
　一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
[跟进训练]
1．如图所示，这是某通信公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系图象．根据图象填空：
①通话2分，需要付电话费________元；
②通话5分，需要付电话费________元；
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为________．
①3.6　②6　③y＝1.2t(t≥3)　[①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
③易知当t≥3时，图象过点(3，3.6)，(5，6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]
类型2　幂函数与二次函数模型
【例2】　(2022·江苏宿迁中学期中)党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业，这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A，B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，且当投资2万元时，利润为1万元；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，且当投资4万元时，利润为4万元．
(1)分别求出A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入到A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
[解]　(1)设投资为x万元，
则A产品的利润yA＝kx，B产品的利润yB＝t，
由题意得，1＝2k，4＝t，解得k＝，t＝2，
所以A产品的利润yA＝x(x≥0)，B产品的利润yB＝2(x≥0)．
(2)设企业利润为W，分配给B产品的投资为x万元，则分配给A产品的投资为(10－x)万元，所以W＝yA＋yB＝(10－x)＋2＝－(－2)2＋7(0≤x≤10)，
故当＝2，即x＝4时，企业利润W取得最大值7，
所以这10万元资金中有6万元投资给A产品，4万元投资给B产品，可使企业获得最大利润，且最大利润为7万元．
　根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
[跟进训练]
2．小婷经营一花店，每天的房租、水电费等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　)
A．15元　　　B．13元　　　C．11元　　　D．10元
B　[设每天获利y元，则y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，
由x>0，Q＝100－5x≥0，得0x≤20，
故当x＝13时，每天获利最大．]
类型3　分段函数模型的应用
【例3】　经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t，价格近似满足f (t)＝
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
思路导引：
[解]　(1)由已知得，
y＝
＝
＝
(2)由(1)知，①当0≤t≤10时，
y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈(5，10]上单调递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，
ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；
②当10t≤20时，y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，
函数图象开口向上，对称轴为t＝45，
该函数在t∈(10，20]上单调递减，
∴y1 200，
ymin＝600(当t＝20时取得)．
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，
ymin＝600(当t＝20时取得)．
　分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
[跟进训练]
3．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离y(千米)表示为时间t(时)的函数；
(2)求汽车行驶5小时后与A地的距离．
[解]　(1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时y＝60t；当2.5t≤3.5时，y＝150；汽车以50千米/时的速度返回A地需3小时，这时y＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325．则所求函数的解析式为y＝
(2)当t＝5时，y＝－50×5＋325＝75，
即汽车行驶5小时后与A地的距离为75千米．
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．分段函数模型
D．无法确定
C　[由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型．故选C．]
2．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元；如果购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　)
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
C　[设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000．当y＝400时，即400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．故选C．]
3．若国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税．已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为(　　)
A．2 800元 B．3 000元
C．3 800元 D．3 818元
C　[由题意知，纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为
y＝
令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3 800，
令11.2%x＝420，得x＝3 750(舍去)．故这个人应得稿费(扣税前)3 800元，故选C．]
4．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为______台．
50　[设生产x台，获得利润f (x)万元，则f (x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能总结一下数学建模的流程吗？
[提示]　数学建模的过程图示如下：
2．应用函数解决实际问题时，应注意什么？
[提示]　所建函数模型应符合实际问题，同时要注意函数的定义域等，即主要抓住四点：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．3.4　函数的应用(一)
1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)
类型1　一次函数模型的应用
【例1】　(源自人教B版教材改编)城镇化是国家现代化的重要指标，若1978－2013年，某国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿．假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t(限定t<50)年的城镇常住人口为f (t)亿．写出f (t)的解析式，并由此估算出该国2025年的城镇常住人口数．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
[跟进训练]
1．如图所示，这是某通信公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系图象．根据图象填空：
①通话2分，需要付电话费________元；
②通话5分，需要付电话费________元；
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为________．
类型2　幂函数与二次函数模型
【例2】　(2022·江苏宿迁中学期中)党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业，这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A，B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，且当投资2万元时，利润为1万元；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，且当投资4万元时，利润为4万元．
(1)分别求出A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入到A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
[跟进训练]
2．小婷经营一花店，每天的房租、水电费等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　)
A．15元　　　B．13元　　　C．11元　　　D．10元
类型3　分段函数模型的应用
【例3】　经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t，价格近似满足f (t)＝
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
思路导引：
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
[跟进训练]
3．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离y(千米)表示为时间t(时)的函数；
(2)求汽车行驶5小时后与A地的距离．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．分段函数模型 D．无法确定
2．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元；如果购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　)
A．820元　　　B．840元　　　C．860元　　　D．880元
3．若国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的11.2%纳税．已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为(　　)
A．2 800元 B．3 000元
C．3 800元 D．3 818元
4．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能总结一下数学建模的流程吗？
2．应用函数解决实际问题时，应注意什么？

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