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4.3　对数
4.3.1　对数的概念
1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(数学抽象)
2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．(数学运算)
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…．
问题　依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
知识点1　对数的概念
(1)对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)两种特殊的对数：
①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N；
②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N(其中e＝2.718 28…)．
对数运算是指数运算的逆运算
1．x＝logaN中为什么规定N>0
[提示]　x＝logaN是由ax＝N(a>0，且a≠1)变形而来的，由于正数的任意次幂都是正数，即ax＝N>0，所以要规定N>0．
2．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量有何异同？
[提示]　
类别 表达式 名称
a x N
指数式 ax＝N 底数 指数 幂值
对数式 x＝logaN 底数 对数 真数
知识点2　对数的基本性质
(1)负数和0没有对数；
(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)；
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
填空：
(1)ln e＝________；(2)lg 10＝________；
(3)ln 1＝________；(4)lg 1＝________．
[答案]　(1)1　(2)1　(3)0　(4)0
类型1　对数的定义及其应用
【例1】　(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________．
(2)将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式：
①2-7＝；②＝－5；③lg 1 000＝3；④ln x＝2．
(1)(2，3)∪(3，4)　[由题意可知
解得2(2)[解]　①由2-7＝，可得log2＝－7．
②由 32＝－5，可得＝32．
③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000．
④由ln x＝2，可得e2＝x．
　指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数值作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟进训练]
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 10 000＝4．
[解]　(1)因为43＝64，所以log464＝3．
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a．
(3)因为＝n，所以＝m．
(4)因为lg 10 000＝4，所以104＝10 000．
类型2　利用指数式与对数式的关系求值
【例2】　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx 8＝6；
(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x．
[解]　(1)x＝＝＝4-2＝．
(2)x6＝8，所以x＝．
(3)10x＝100＝102，于是x＝2．
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2．
　求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m．
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N．
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b．
[跟进训练]
2．计算：(1)log9 27；(2)81；(3)．
[解]　(1)设x＝log9 27，则9x＝27，32x＝33，∴x＝．
(2)设x＝＝34，∴x＝16．
(3)令x＝625，∴()x＝＝54，∴x＝3．
类型3　对数相关性质及恒等式的应用
　对数相关性质的应用
【例3】　求下列各式中的x的值．
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)ln (log3x)＝1．
[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5．
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3，∴x＝103．
(3)由ln (log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e．
　对数恒等式的应用
【例4】　(1)设＝25，则x的值等于(　　)
A．10 B．13
C．100 D．±100
(2)若x＝，则x＝________．
(1)B　(2)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B．
法二：由＝52得log5(2x－1)＝2，即2x－1＝52＝25，∴x＝13，故选B．
(2)x＝＝．]
　
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值，解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质＝N与logaab＝b的作用
(1)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
[跟进训练]
3．(源自湘教版教材)求下列各式的值：
(1)log2；
(2)log0.61；
(3)；
(4)．
[解]　(1)log2＝log22-1＝－1；
(2)log0.61＝log0.60.60＝0；
(3)＝·2-2＝；
(4)＝2log25＝5．
1．下列选项中，可以求对数的是(　　)
A．0　　　B．－5　　　C．π　　　D．－x2
C　[根据对数的定义，得0和负数没有对数，所以选项A，B不可以求对数，又－x2≤0，所以选项D没有对数，因为π>0，所以选项C可以求对数．]
2．log3＝(　　)
A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－
B　[令log3＝t，则3t＝＝3-4，∴t＝－4．故选B．]
3．已知logx16＝2，则x等于(　　)
A．4　　　B．±4　　　C．256　　　D．2
A　[由logx16＝2，得x2＝16＝(±4)2，
又x>0，且x≠1，∴x＝4．]
4．计算：＋2log31－3log77＋3ln 1＝________．
0　[原式＝3＋0－3＋0＝0．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．指数式与对数式存在怎样的关系？
[提示]　ab＝N logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)．
2．若方程logaf (x)＝0，则f (x)等于多少？若方程＝1呢？(其中a>0，且a≠1)
[提示]　若logaf (x)＝0，则f (x)＝1；
若logaf (x)＝1，则f (x)＝a．
3．下列等式成立吗？
(1)logaab＝b；(2)＝N(其中a>0，且a≠1，N>0)．
[提示]　均成立．4.3　对数
4.3.1　对数的概念
1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(数学抽象)
2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．(数学运算)
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…．
问题　依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
知识点1　对数的概念
(1)对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以________为底________的对数，记作________，其中a叫做对数的________，N叫做________．
(2)两种特殊的对数：
①常用对数：通常，我们将以__________为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为________；
②自然对数：以________为底的对数称为自然对数，并把logeN记为________(其中e＝2.718 28…)．
对数运算是指数运算的逆运算
1．x＝logaN中为什么规定N>0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量有何异同？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　对数的基本性质
(1)负数和0________对数；
(2)loga1＝________(a>0，且a≠1)；
(3)logaa＝________(a>0，且a≠1)．
填空：
(1)ln e＝________；(2)lg 10＝________；(3)ln 1＝________；(4)lg 1＝________．
类型1　对数的定义及其应用
【例1】　(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________．
(2)将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式：
①2-7＝；②＝－5；③lg 1 000＝3；④ln x＝2．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数值作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟进训练]
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 10 000＝4．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　利用指数式与对数式的关系求值
【例2】　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx 8＝6；(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m．
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N．
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b．
[跟进训练]
2．计算：(1)log9 27；(2)81；(3)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　对数相关性质及恒等式的应用
　对数相关性质的应用
【例3】　求下列各式中的x的值．
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)ln (log3x)＝1．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　对数恒等式的应用
【例4】　(1)设＝25，则x的值等于(　　)
A．10 B．13
C．100 D．±100
(2)若x＝，则x＝________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值，解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质＝N与logaab＝b的作用
(1)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
[跟进训练]
3．(源自湘教版教材)求下列各式的值：
(1)log2；
(2)log0.61；
(3)；
(4)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列选项中，可以求对数的是(　　)
A．0　　　B．－5　　　C．π　　　D．－x2
2．log3＝(　　)
A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－
3．已知logx16＝2，则x等于(　　)
A．4 B．±4
C．256 D．2
4．计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．指数式与对数式存在怎样的关系？
2．若方程logaf (x)＝0，则f (x)等于多少？若方程＝1呢？(其中a>0，且a≠1)
3．下列等式成立吗？
(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N(其中a>0，且a≠1，N>0)．4.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．(逻辑推理)
2．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(数学运算)
(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？
知识点　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
三条运算性质成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)log2x2＝2log2x． (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
类型1　对数的运算性质
【例1】　(源自人教B版教材)用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；
(2)loga(x3y5)；
(3)loga．
[解]　(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz．
(2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay．
(3)loga＝loga(x2)
＝logax2＋loga
＝2logax＋logay－logaz．
　求解此类问题的步骤
第一步：看对数式的真数部分的组成形式：积、商还是幂；
第二步：用对数的运算性质拆解，即把对数式分解成对数式的和、差形式；
第三步：逆用运算性质，检验算式是否正确．
[跟进训练]
1．求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；(4)log35－log315．
[解]　(1)法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7．
法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7．
(2)lg 5＋lg 2＝lg (5×2)＝lg 10＝1．
(3)ln 3＋ln ＝ln ＝ln 1＝0．
(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33-1＝－1．
类型2　带有附加条件的对数式求值
【例2】　(源自苏教版教材)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1)lg 12；(2)lg ．
[解]　(1)lg 12＝lg (22×3)＝lg 22＋lg 3＝2lg 2＋lg 3≈2×0.301 0＋0.477 1＝1.079 1．
(2)lg ＝lg 33－lg 24＝3lg 3－4lg 2≈3×0.477 1－4×0.301 0＝0.227 3．
　对数式表示的两种方式
(1)
(2)
[跟进训练]
2．已知log32＝a，3b＝5，用a，b表示log3．
[解]　由3b＝5，得log35＝b．
∴log3＝log3log330
＝log35＋log36＝＋log32＋log33
＝＋a＋．
类型3　利用对数的运算性质化简、求值
【例3】　计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3)．
[解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10
＝．
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．
(3)原式＝＝＝＝．
　
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[跟进训练]
3．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25．
[解]　(1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1．
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3．
1．(2022·江苏淮安中学期中)下列等式成立的是(　　)
A．log223＝3log22
B．log2(8＋4)＝log28＋log24
C．log2(8－4)＝log28－log24
D．＝log2
A　[对于A，log223＝3log22，故A正确；
对于B，log2(8＋4)＝log212，故B错误；
对于C，log2(8－4)＝log24＝log222＝2log22＝2，故C错误；
对于D，，故D错误；
故选A．]
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 的值为(　　)
A．a－b2　　B．a－2b　　C．　　D．
B　[∵lg 3＝a，lg 7＝b，
∴lg ＝lg 3－lg 49＝lg 3－2lg 7＝a－2b．]
3．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．4
C　[2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2．故选C．]
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；(3)logax＝－loga；
(4)logax；(5)＝loga．
其中正确的有________．(填序号)
(3)(5)　[根据对数的运算性质logaM n＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对数有哪些运算性质？
[提示]　(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga ＝logaM－logaN；
＝mlogab．(其中a>0且a≠1，M>0，N>0，b>0)
2．运用对数的运算性质应注意哪些问题？
[提示]　(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，
②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)．4.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．(逻辑推理)
2．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(数学运算)
(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？
知识点　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝________________；
(2)loga＝________________；
(3)logaM n＝________(n∈R)．
三条运算性质成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)log2x2＝2log2x． (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)
类型1　对数的运算性质
【例1】　(源自人教B版教材)用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；
(2)loga(x3y5)；
(3)loga．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解此类问题的步骤
第一步：看对数式的真数部分的组成形式：________、________还是________；
第二步：用对数的运算性质拆解，即把对数式分解成对数式的和、差形式；
第三步：逆用运算性质，检验算式是否正确．
[跟进训练]
1．求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；(4)log35－log315．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　带有附加条件的对数式求值
【例2】　(源自苏教版教材)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1)lg 12；(2)lg ．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　对数式表示的两种方式
(1)
(2)
[跟进训练]
2．已知log32＝a，3b＝5，用a，b表示log3．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　利用对数的运算性质化简、求值
【例3】　计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[跟进训练]
3．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2022·江苏淮安中学期中)下列等式成立的是(　　)
A．log223＝3log22
B．log2(8＋4)＝log28＋log24
C．log2(8－4)＝log28－log24
D．＝log2
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 的值为(　　)
A．a－b2　　B．a－2b　　C．　　D．
3．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．4
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)＝logax；
(5)＝loga．
其中正确的有________．(填序号)
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对数有哪些运算性质？
2．运用对数的运算性质应注意哪些问题？第2课时　换底公式
1．掌握换底公式及其推论．(逻辑推理)
2．能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．(数学运算)
大家可能已经看出，对数值的计算并不容易，比如lg 3，lg 5，log35等．事实上，在没有计算器的时代，人们曾花费了大量的精力，求出一些常用对数的近似值，制成表格以供大家查询使用．这样一来，大家就可以根据已知的值和对数运算法则，求出另一些对数的值，例如，由lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0可得出lg 15＝lg 3＋lg 5≈0.477 1＋0.699 0＝1.176 1．
但是我们知道，对数的底可以是任意不等于1的正数，那么知道常用对数的值，能不能求出任意对数的值呢？比如，能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？
知识点　对数换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝．
换底公式的作用：
(1)将不同底对数转换为相同底对数；
(2)同底对数相除的运算；
(3)将底数转换为常用对数或自然对数计算．
1．logab与logba(a>0，a≠1；b>0，b≠1)存在什么关系？
[提示]　logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
2．与logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)存在什么关系？
[提示]　＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)．
1．化简：log832＝________．
　[log832＝．]
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则log721＝________．(用a，b表示)
　[log721＝．]
类型1　运用换底公式化简求值
【例1】　(源自北师大版教材)计算：
(1)log4＋log23－log0.5；
(2)(log32＋log23)2－－．
[解]　根据对数的换底公式，得
(1)log4＋log23－log0.5＝＋log23－
＝log2＋log23－log25＝log2＝log21＝0．
(2)(log32＋log23)2－－
＝－－
＝＋＋2－－＝2．
　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[跟进训练]
1．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
[解]　(1)原式＝＝4．
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝·()＝log25·3log52＝×3＝13．
类型2　对数运算中的条件求值问题
【例2】　(1)若3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
思路导引：
(1)
(2)
[解]　(1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436．
∴＝2log363＝log369，
＝log364．
∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1．
(2)∵18b＝5，∴b＝log185．
又log189＝a，
∴log3645＝＝．
[母题探究]
在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)
[解]　∵log189＝a，∴log183＝．
又log185＝b，∴log915＝＝．
　条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．
[跟进训练]
2．已知3x＝4y＝6z，求证：＋．
[证明]　设3x＝4y＝6z＝m(m>0)，
则x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m．
所以＝logm3，＝logm4，＝logm6．
故＋＝logm3＋logm4＝logm3＋logm4＝logm3＋logm2＝logm(3×2)＝logm6＝．
类型3　实际问题中的对数运算
【例3】　中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示在被高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．20%　　B．23%　　C．28%　　D．50%
B　[将信噪比从1 000提升至5 000，C大约增加了＝≈≈0.233，所以C大约增加了23%．故选B．]
　关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
[跟进训练]
3．某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%．若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9
C　[设至少需要过滤n次，
则0.02×＝0.001，即．
所以n lg ＝lg ，即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20，
即n＝≈7.4．
又n∈N，所以n≥8．所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求．]
1．(多选)下列等式正确的有(　　)
A．log34＝ B．log34＝
C．log34＝ D．log34＝
[答案]　ABC
2．＝(　　)
A．　　　B．2　　　C．
B　[原式＝log39＝log332＝2log33＝2．故选B．]
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)
A．　　　C．ab　　　D．a＋b
B　[∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝．故选B．]
4．已知2a＝5b＝10，则＋＝________．
1　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴＝log102＝lg 2，＝lg 5，∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对数有哪些运算性质？
[提示]　(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
＝mlogab．其中(a>0且a≠1，M>0，N>0，b>0)
2．你能用对数的换底公式证明吗？
[提示]　logNM．
3．常见的换底公式变形有哪些？
[提示]　(1)logab＝．
(2)logab·logba＝1(其中a>0，且a≠1，b>0, 且b≠1)．
指数的换底公式
很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在3根金针上移动”)都涉及264这个数．
(1)你能用64个2相乘算出它的值吗？
(2)你会用计算器得出它的结果吗？
(3)如果恰好你手头没有计算器，又需要你马上估计出它的值，你有什么办法？
分析　(1)如果你愿意不厌其烦地计算，可以得出
264＝18 446 744 073 709 551 616．
(2)使用科学计算器，可以算出
264≈1.844 674 407×1019．
(3)若把264换成以10为底的幂，则便于估计它的值．怎么转换呢？
根据指数函数的性质，对于数2一定存在唯一的常数α，使得2＝10α(如图)．由对数的概念，得α＝lg 2．
因而264＝1064α＝1064lg 2≈1064×0.301 0＝1019.264．
也就是说，264是1019和1020之间的数．因此，264秒大概是5 849亿年，而太阳的寿命大约是100亿年．
一般地，对于任意不为1的正数a和b，有a＝，所以对任意的实数α，都有
aα＝．
这就是指数的换底公式．
例如，可以用上述公式把以3为底的幂转换为以10或以e为底的幂：
35＝105lg 3，35＝e5ln 3．第2课时　换底公式
1．掌握换底公式及其推论．(逻辑推理)
2．能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．(数学运算)
大家可能已经看出，对数值的计算并不容易，比如lg 3，lg 5，log35等．事实上，在没有计算器的时代，人们曾花费了大量的精力，求出一些常用对数的近似值，制成表格以供大家查询使用．这样一来，大家就可以根据已知的值和对数运算法则，求出另一些对数的值，例如，由lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0可得出lg 15＝lg 3＋lg 5≈0.477 1＋0.699 0＝1.176 1．
但是我们知道，对数的底可以是任意不等于1的正数，那么知道常用对数的值，能不能求出任意对数的值呢？比如，能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？
知识点　对数换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝________．
换底公式的作用：
(1)将不同底对数转换为相同底对数；
(2)同底对数相除的运算；
(3)将底数转换为常用对数或自然对数计算．
1．logab与logba(a>0，a≠1；b>0，b≠1)存在什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．与logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)存在什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．化简：log832＝________．
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则log721＝________．(用a，b表示)
类型1　运用换底公式化简求值
【例1】　(源自北师大版教材)计算：
(1)log4＋log23－log0.5；
(2)(log32＋log23)2－－．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[跟进训练]
1．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　对数运算中的条件求值问题
【例2】　(1)若3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
思路导引：
(1)
(2)
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．
[跟进训练]
2．已知3x＝4y＝6z，求证：＋＝．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　实际问题中的对数运算
【例3】　中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示在被高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．20%　　　B．23%　　　C．28%　　　D．50%
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
[跟进训练]
3．某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%．若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9
1．(多选)下列等式正确的有(　　)
A．log34＝ B．log34＝
C．log34＝ D．log34＝
2．＝(　　)
A．　　　B．2　　　C．
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)
A．　　　C．ab　　　D．a＋b
4．已知2a＝5b＝10，则＋＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对数有哪些运算性质？
2．你能用对数的换底公式证明＝logNM吗？
3．常见的换底公式变形有哪些？
指数的换底公式
很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在3根金针上移动”)都涉及264这个数．
(1)你能用64个2相乘算出它的值吗？
(2)你会用计算器得出它的结果吗？
(3)如果恰好你手头没有计算器，又需要你马上估计出它的值，你有什么办法？
分析　(1)如果你愿意不厌其烦地计算，可以得出
264＝18 446 744 073 709 551 616．
(2)使用科学计算器，可以算出
264≈1.844 674 407×1019．
(3)若把264换成以10为底的幂，则便于估计它的值．怎么转换呢？
根据指数函数的性质，对于数2一定存在唯一的常数α，使得2＝10α(如图)．由对数的概念，得α＝lg 2．
因而264＝1064α＝1064lg 2≈1064×0.301 0＝1019.264．
也就是说，264是1019和1020之间的数．因此，264秒大概是5 849亿年，而太阳的寿命大约是100亿年．
一般地，对于任意不为1的正数a和b，有a＝，所以对任意的实数α，都有
aα＝．
这就是指数的换底公式．
例如，可以用上述公式把以3为底的幂转换为以10或以e为底的幂：
35＝105lg 3，35＝e5ln 3．

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