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4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(数学抽象)
2．会求简单的对数型函数的定义域．(数学运算)
我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足
y＝，也就是说，y是x的函数．
在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？
知识点　对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，故对数函数的定义域是(0，＋∞)，底数a>0，且a≠1．
(1)y＝logxa(a>0，且a≠1)是对数函数吗？
(2)y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)是对数函数吗？
[提示]　都不是．
1．函数y＝loga(x－1)的定义域为________．
[答案]　(1，＋∞)
2．若对数函数f (x)的图象过点(4，2)，那么f (x)＝________．
log2x　[设对数函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f (4)＝loga4＝2得a2＝4，∴a＝±2．
又a>0，且a≠1，∴a＝2，故f (x)＝log2x．]
类型1　对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝，其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤　　B．②④⑥　　C．①③⑤⑥　　D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．
(3)已知对数函数的图象过点(16，4)，则＝________．
(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D．
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以
解得a＝4．
(3)设对数函数为f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，
由f (16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f (x)＝log2x，∴f ＝log2＝－1．]
　判断一个函数是对数函数的方法
[跟进训练]
1．若函数f (x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________．
2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2．
又a>0且a≠1，所以a＝2．]
类型2　对数函数的定义域
【例2】　(源自湘教版教材)求下列函数的定义域：
(1)y＝log0.5(3－x)；
(2)y＝log2x－3(x2＋3)．
[解]　(1)要使函数有意义，需3－x>0，即x3．
所以函数y＝log0.5(3－x)的定义域是(－∞，3)．
(2)要使函数有意义，需2x－3>0且2x－3≠1，即x>且x≠2．
所以函数y＝log2x－3(x2＋3)的定义域是∪(2，＋∞)．
　求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0．
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
[跟进训练]
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解]　(1)∵x＞0，且lg x≠0，
∴x＞0且x≠1．
∴函数y＝＞0且x≠1}．
(2)由题意得解得
故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为．
类型3　对数函数模型的应用
【例3】　已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位，求y与x的关系式．
思路导引：
[解]　由题意可知(1－20%)y＝x，0x≤1，
即y＝log0.8x，0x≤1．
y与x的关系式为y＝log0.8x，0x≤1．
　利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax．
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
[跟进训练]
3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余质量是原来的(结果保留1位有效数字，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解]　假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的，根据题意得0.75x＝．
所以x＝log0.75≈4(年)．
故估计经过4年，该物质的剩余质量是原来的．
1．(多选)下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
[答案]　BD
2．(2022·广东东莞期中)函数f (x)＝＋lg (x－2)的定义域为(　　)
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C． D．
B　[由题意可得，解得x>2．故选B．]
3．已知对数函数y＝f (x)的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为________．
f (x)＝log3x　[设此对数函数的解析式为f (x)＝logax(a>0且a≠1)，则2＝loga9，所以a2＝9．又a＞0，所以a＝3．所以f (x)＝log3x．]
4．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案中奖励金额y与销售额x的关系式为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
128　[由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断一个函数是不是对数函数？
[提示]　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1．
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x．
2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？
[提示]　除了要特别注意真数和底数外，还要遵循前面学习过的求函数定义域的方法，比如函数解析式为分式、根式等情形．4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(数学抽象)
2．会求简单的对数型函数的定义域．(数学运算)
我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足y＝，也就是说，y是x的函数．
在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？
知识点　对数函数的概念
函数y＝________(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．
对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，故对数函数的定义域是(0，＋∞)，底数a>0，且a≠1．
(1)y＝logxa(a>0，且a≠1)是对数函数吗？
(2)y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)是对数函数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数y＝loga(x－1)的定义域为________．
2．若对数函数f (x)的图象过点(4，2)，那么f (x)＝________．
类型1　对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝，其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤　　B．②④⑥　　C．①③⑤⑥　　D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．
(3)已知对数函数的图象过点(16，4)，则＝________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断一个函数是对数函数的方法
[跟进训练]
1．若函数f (x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________．
类型2　对数函数的定义域
【例2】　(源自湘教版教材)求下列函数的定义域：
(1)y＝log0.5(3－x)；
(2)y＝log2x－3(x2＋3)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0．
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
[跟进训练]
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　对数函数模型的应用
【例3】　已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位，求y与x的关系式．
思路导引：
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax．
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
[跟进训练]
3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余质量是原来的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选)下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
2．(2022·广东东莞期中)函数f (x)＝＋lg (x－2)的定义域为(　　)
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C． B．
3．已知对数函数y＝f (x)的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为________．
4．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案中奖励金额y与销售额x的关系式为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断一个函数是不是对数函数？
2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？4.4.2　对数函数的图象和性质
第1课时　对数函数的图象和性质
1．初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象、数学抽象)
2．会利用对数函数的单调性比较大小．(逻辑推理、数学运算)
　　分别求出对数函数y＝log2x在自变量取，1，2，4，8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝log2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
x 1 2 4 8
y＝log2x
知识点　对数函数的图象和性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 定点 (1，0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象的“上升”或“下降”与谁有关？
[提示]　底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0函数f (x)＝loga(x＋1)的图象必经过定点________．
(0，0)　[由x＋1＝1得x＝0，∴f (x)的图象必过定点(0，0)．]
类型1　对数函数的图象问题
【例1】　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b＝________，c＝________．
(3)已知f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象．
(1)B　(2)－2　2　[(1)结合图象可知0x1＝a，x2＝b，结合图知b(2)由于函数图象恒过定点(3，2)，故
]
(3)[解]　因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f (x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
[母题探究]
把本例(3)改为f (x)＝＋2，试作出其图象．
[解]　第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
(1)　　　　　　　(2)
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3)　　　　　　　(4)　
　函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f (x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f (x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f (|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f (x)|的图象与y＝f (x)的图象在f (x)≥0的部分相同，在f (x)<0的部分关于x轴对称．
[跟进训练]
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
C　[∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C．]
类型2　比较对数值的大小
【例2】　(源自北师大版教材)比较下列各题中两个数的大小：
(1)log25.3，log24.7；
(2)log0.27，log0.29；
(3)log3π，logπ3；
(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．
[解]　(1)因为2>1，所以函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数．由5.3>4.7，得log25.3>log24.7．
(2)因为0<0.2<1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上是减函数．
由7<9，得log0.27>log0.29．
(3)因为3>1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞) 上是增函数．
由π>3，得log3π>log33＝1．
同理可得1＝logππ>logπ3．
因此log3π>logπ3．
(4)当a>1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数，
此时由3.1<5.2，得loga3.1当0此时由3.1<5.2，得loga3.1>loga5.2．
　比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
[跟进训练]
2．比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)2与2；
(3)log23与log54．
[解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而，所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于2＝，2＝，
对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以，
所以2<2．
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝x及y＝x的图象，由图易知：2<2．
(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54．
类型3　解对数不等式
【例3】　解下列关于x的不等式：
(1)x>(4－x)；
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
思路导引：
[解]　(1)由题意可得解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)当a>1时，原不等式等价于解得x>4．
当0解得综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0　常见的对数不等式的3种类型
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
[跟进训练]
3．已知loga<1，其中a＞0且a≠1，求a的取值范围．
[解]　由loga<1得loga(1)当a>1时，有a>，此时a>1．
(2)当0所以a的取值范围是∪(1，＋∞)．
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　B．　　 C．　　D．
A　[由题图可知，a>1，故选A．]
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．　　B．[2，＋∞)　　C．　　D．
D　[依题意0<2x－3≤1，解得3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b　　B．b>c>a　　C．c>b>a　　D．c>a>b
D　[a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log524．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
{x|2∴0<2x－4≤10，即2回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝，y＝，y＝，y＝的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示]　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0．
2．如何解对数不等式logaf (x)>logag(x)(a>0，且a≠1)
[提示]　分01两类分别求解．
当0logag(x) 0当a>1时，logaf (x)>logag(x) f (x)>g(x)>0．
3．比较对数值大小的常用方法有哪些？
[提示]　(1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法．4.4.2　对数函数的图象和性质
第1课时　对数函数的图象和性质
1．初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象、数学抽象)
2．会利用对数函数的单调性比较大小．(逻辑推理、数学运算)
分别求出对数函数y＝log2x在自变量取，，，1，2，4，8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝log2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
x 1 2 4 8
y＝log2x
知识点　对数函数的图象和性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 定点 ________，即x＝______时，y＝______
单调性 在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象的“上升”或“下降”与谁有关？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
函数f (x)＝loga(x＋1)的图象必经过定点________．
类型1　对数函数的图象问题
【例1】　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b＝_______，c＝________．
(3)已知f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
把本例(3)改为f (x)＝＋2，试作出其图象．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f (x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f (x)的图象沿x轴向左或向右平移________个单位长度，再沿y轴向上或向下平移________个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f (|x－a|)的图象是关于直线________对称的轴对称图形；函数y＝|f (x)|的图象与y＝f (x)的图象在______的部分相同，在________的部分关于x轴对称．
[跟进训练]
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　B　　　 　C　　　　D
类型2　比较对数值的大小
【例2】　(源自北师大版教材)比较下列各题中两个数的大小：
(1)log25.3，log24.7；
(2)log0.27，log0.29；
(3)log3π，logπ3；
(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用______________________．
(2)同真数的利用对数函数的__________或用________转化．
(3)底数和真数都不同，找________．
[跟进训练]
2．比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)2与2；
(3)log23与log54．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　解对数不等式
【例3】　解下列关于x的不等式：
(1)x>(4－x)；
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
思路导引：
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　常见的对数不等式的3种类型
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
[跟进训练]
3．已知loga<1，其中a＞0且a≠1，求a的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　B．　　 C．　　D．
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．　　B．[2，＋∞)　　C．　　D．
3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
4．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝，y＝，y＝，y＝的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
2．如何解对数不等式logaf (x)>logag(x)(a>0，且a≠1)
3．比较对数值大小的常用方法有哪些？第2课时　对数函数性质的应用
能解决与对数型函数的单调性、值域、奇偶性等相关的问题．(逻辑推理、数学运算)
类型1　对数型复合函数的单调性
【例1】　讨论函数f (x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
思路导引：
[解]　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为．
①当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数；
若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
②当0＜a＜1时，若x＞1，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；若x＜－，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
　形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法：
第一步：求函数f (x)的定义域；
第二步：求函数g(x)在定义域上的单调区间；
第三步：应用复合函数单调性的“同增异减”原则，得出f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调区间．
[跟进训练]
1．已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2＋2]．
类型2　对数型复合函数的值域
【例2】　求下列函数的值域：
(1)y＝(3＋2x－x2)；
(2)求函数f (x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
[解]　(1)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4．
因为u>0，所以0又y＝u在(0，4]上为减函数，
所以u≥4＝－2，
所以y＝(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
(2)f (x)＝log2(4x)·
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t．
∵x∈，∴t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝．
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2．
∴f (x)的值域为
　对于形如y＝logaf (x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f (x)两个函数．
(2)求u的取值范围，注意u>0．
(3)利用y＝logau的单调性求值域．
[跟进训练]
2．求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)f (x)＝log2·log2．
[解]　(1)因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2．
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)∵f (x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1)＝，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝＝2时，f (x)取得最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f (x)取得最大值2，
∴函数f (x)的值域是．
类型3　对数型复合函数的奇偶性
【例3】　已知函数f (x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函数y＝f (x)的定义域；
(2)判断函数y＝f (x)的奇偶性；
(3)若f (m－2)＜f (m)，求m的取值范围．
[解]　(1)要使函数f (x)有意义，则
解得－2∴函数y＝f (x)的定义域为{x|－2(2)由(1)可知，函数y＝f (x)的定义域为{x|－2∵f (－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝f (x)，
∴函数y＝f (x)为偶函数．
(3)∵函数f (x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)，
当0≤x<2时，函数y＝f (x)为减函数，
当－2∴不等式f (m－2)由解得0＜m＜2．
综上所述，m的取值范围是(0，1)．
　对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性了，如y＝loga|x|就是偶函数．一般利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断这类函数的奇偶性．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝是奇函数，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f (x)＋(x－1)[解]　(1)∵函数f (x)是奇函数，
∴函数f (x)的定义域关于原点对称且a≠0．
由>0，得(x－1)(1－ax)>0，
令(x－1)(1－ax)＝0，
得x1＝1，x2＝，∴＝－1，a＝－1，
经验证，a＝－1满足题意．
(2)∵f (x)＋(x－1)＝＋(x－1)＝(1＋x)，
∴当x>1时，(1＋x)<－1，
又当x∈(1，＋∞)时，f (x)＋(x－1)即实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
1．已知函数f (x)＝x，x∈，则f (x)的值域是(　　)
A．　　B．　　C．[0，2] 　　D．
A　[因为函数f (x)＝x，x∈是减函数，所以函数f (x)的最小值为f ＝，函数f (x)的最大值为f ＝＝2．所以函数f (x)的值域为．]
2．函数y＝(－x2－2x＋3) 的单调递增区间是(　　)
A．[－1，1) B．(－∞，1)
C．[1，3) D．(1，＋∞)
A　[由题意，得要使函数y＝(－x2－2x＋3)有意义，则满足－x2－2x＋3>0，
即x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)<0，解得－3即函数的定义域为(－3，1)，
令g(x)＝－x2－2x＋3，则函数g(x)表示图象开口向下，对称轴方程为x＝－1的抛物线，
所以函数g(x)在区间(－3，－1]上单调递增，在区间[－1，1)上单调递减，
又由函数y＝x在定义域上是减函数，
所以y＝(－x2－2x＋3)的单调递增区间为[－1，1)．]
3．(多选)已知函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f (x)>0
D．若0ACD　[由题知2＝loga4，即a＝2，故f (x)＝log2x．所以函数为增函数，故A正确；
f (x)＝log2x不为偶函数，故B错误；
当x>1时，f (x)＝log2x>log21＝0成立，故C正确；
因为f (x)＝log2x的图象往上凸，故若0则4．函数f (x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为________．
[1，＋∞)　[令u＝x2＋2x＋4，则u＝(x＋1)2＋3≥3，
∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，
即函数f (x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．求解形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性需注意哪些问题？
[提示]　首先注意函数的定义域、其次求解时注意满足“同增异减”的原则．
2．若f (x)∈(m，＋∞)，则y＝logaf (x)(a>1)的值域一定是(logam，＋∞)吗？
[提示]　不一定，必须保证m>0才可以．第2课时　对数函数性质的应用
　　能解决与对数型函数的单调性、值域、奇偶性等相关的问题．(逻辑推理、数学运算)
类型1　对数型复合函数的单调性
【例1】　讨论函数f (x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
思路导引：
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法：
第一步：求函数f (x)的________；
第二步：求函数________在定义域上的单调区间；
第三步：应用复合函数单调性的“________”原则，得出f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调区间．
[跟进训练]
1．已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　对数型复合函数的值域
【例2】　求下列函数的值域：
(1)y＝(3＋2x－x2)；
(2)求函数f (x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　对于形如y＝logaf (x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f (x)两个函数．
(2)求u的取值范围，注意u>0．
(3)利用y＝logau的单调性求值域．
[跟进训练]
2．求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)f (x)＝log2·log2．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　对数型复合函数的奇偶性
【例3】　已知函数f (x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函数y＝f (x)的定义域；
(2)判断函数y＝f (x)的奇偶性；
(3)若f (m－2)＜f (m)，求m的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性了，如y＝loga|x|就是偶函数．一般利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断这类函数的奇偶性．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝是奇函数，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f (x)＋(x－1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知函数f (x)＝x，x∈，则f (x)的值域是(　　)
A．　　B．　　C．[0，2] 　　D．
2．函数y＝(－x2－2x＋3) 的单调递增区间是(　　)
A．[－1，1) B．(－∞，1)
C．[1，3) D．(1，＋∞)
3．(多选)已知函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f (x)>0
D．若04．函数f (x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．求解形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性需注意哪些问题？
2．若f (x)∈(m，＋∞)，则y＝logaf (x)(a>1)的值域一定是(logam，＋∞)吗？4.4.3　不同函数增长的差异
1．了解常用的描述现实生活中不同增长规律的函数模型．(数据分析、直观想象)
2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(数据分析、数学建模)
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年能固定攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A．5年　B．7年　C．8年　D．9年　E．永远买不起
房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？
知识点　三种函数模型的增长差异
函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度
增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢
增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x每增加一个单位长度时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数． (　　)
(2)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．(　　)
(3)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax(4)对数函数y＝logax(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
类型1　几类函数模型的增长差异
【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 024x B．y＝2 024
C．y＝log2 024x D．y＝2 024x
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
(1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快．故选A．
(2)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数．]
　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[跟进训练]
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
B　[D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
类型2　函数增长速度的比较
【例2】　(1)(多选)如图，能使得不等式log2xA．x>2 B．x>4
C．0(2)已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
②借助图象，比较f (x)和g(x)的大小．
(1)BC　[结合图象可知，当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，有log2x(2)[解]　①C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f (x)＝ln x．
②当x∈(0，x1)时，g(x)>f (x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)．
　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[跟进训练]
2．函数f (x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f 与g，f (2 024)与g(2 024)的大小．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f (x)＝2x．
(2)∵f (1)＝g(1)，f (2)＝g(2)，
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f (x)＜g(x)，
∴f ＜g；
当x＞2时，f (x)＞g(x)，∴f (2 024)＞g(2 024)．
类型3　函数模型的选择
【例3】　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
思路导引：
[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
　几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
[跟进训练]
3．为了减少自身消费的碳排放，节省燃料．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(40≤v≤120)的数据关系如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：
Q(v)＝0.9v＋a，Q(v)＝0.04v＋b，
Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋cv．
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
[解]　(1)该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合；
若选择第二种模型，代入(40，5.2)得5.2＝0.04×40＋b，解得b＝3.6，
∴Q(v)＝0.04v＋3.6，此时Q(90)＝7.2，Q(100)＝7.6，Q(120)＝8.4，与实际数据相差较大，故第二种不符合；
经观察﹐第三种函数模型最符合实际，
代入(40，5.2)，可得0.000 025×403－0.004×402＋c×40＝5.2，即1.6－6.4＋c×40＝5.2，解得c＝0.25，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v，
此时，Q(60)＝6，Q(90)＝8.325，Q(100)＝10，Q(120)＝15.6，符合题意，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v．
(2)设总耗油量为W，
∵W＝×Q＝0.002 5v2－0.4v＋25
＝0.002 5(v－80)2＋9，40≤v≤120，
当v＝80时，W取得最小值为9，
∴这辆车应以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少．
1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
A　[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．故选A．]
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
A　[随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．故选A．]
3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
其中关于x呈指数增长的变量是________．
y2　[由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．]
4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
②③　[结合图象可知②③正确，故填②③．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
如何描述三种函数模型的增长差异？
[提示]　直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k＞0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长量固定不变．
指数爆炸与生活哲学
指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？
1.01365≈？
1.02365≈？
0.99365≈？
1.01219×0.98146≈？
0.9550≈？
有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？4.4.3　不同函数增长的差异
1．了解常用的描述现实生活中不同增长规律的函数模型．(数据分析、直观想象)
2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(数据分析、数学建模)
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年能固定攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A．5年　　B．7年　　C．8年D．9年　　E．永远买不起
房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？
知识点　三种函数模型的增长差异
函数 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 ________ ________ ________
图象的变化 趋势 随x增大逐渐近似与____平行 随x增大逐渐近似与____平行 保持固定增长速度
增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度______，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度______
增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有________________
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x每增加一个单位长度时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数． (　　)
(2)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些． (　　)
(3)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax(4)对数函数y＝logax(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢． (　　)
类型1　几类函数模型的增长差异
【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 024x B．y＝2 024
C．y＝log2 024x D．y＝2 024x
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[跟进训练]
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
类型2　函数增长速度的比较
【例2】　(1)(多选)如图，能使得不等式log2xA．x>2 B．x>4
C．0(2)已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
②借助图象，比较f (x)和g(x)的大小．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[跟进训练]
2．函数f (x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f 与g，f (2 024) 与g(2 024)的大小．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　函数模型的选择
【例3】　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
思路导引：
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快， 即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
[跟进训练]
3．为了减少自身消费的碳排放，节省燃料．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(40≤v≤120)的数据关系如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)＝0.9v＋a，Q(v)＝0.04v＋b，
Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋cv．
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
其中关于x呈指数增长的变量是________．
4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
如何描述三种函数模型的增长差异？
指数爆炸与生活哲学
指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？
1.01365≈？
1.02365≈？
0.99365≈？
1.01219×0.98146≈？
0.9550≈？
有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？
1.01365≈37.78
0.99365≈0.03
积跬步以至千里
积怠惰以至深渊1.02365≈1 377.41
1.01365≈37.78
多百分之一的努力
得千份收获
1.01219×0.98146≈0.46
三天打鱼两天晒网
终将一无所获
0.9550≈0.08
如果每次失败的概率是95%
连续失败50次的概率不到8%

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