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5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(数学抽象)
2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(数学抽象)
在生活中，拧紧螺丝时，需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺丝时，需要将扳手逆时针方向旋转，可以旋转一圈，也可以旋转多圈．为了描述这种现象，需要对角的概念进行推广．
知识点1　角的概念与分类
(1)角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)角的分类
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 射线OA没有做任何旋转，终边OB与OA重合
知识点2　角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β．
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知识点3　象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点4　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
[提示]　终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)－30°是第四象限角． (　　)
(2)第二象限角是钝角． (　　)
(3)225°是第三象限角． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．
图(1)　　　　　　　　　图(2)
[答案]　390°　－150°　60°
3．如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________．
图(1)　　　　　　图(2)
[答案]　110°　－70°
类型1　任意角的概念
【例1】　(1)下列结论：
①始边相同而终边不同的角一定不相等；
②小于90°的角是第一象限角；
③钝角比第三象限角小；
④角α与－α的终边关于x轴对称．
其中正确的结论为________(填序号)．
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________．
(1)①④　(2)－40°　[(1)①正确；②错误，如α＝－30°是第四象限角；③错误，如α＝－110°；④正确．
(2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°．]
　理解角的概念的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
[跟进训练]
1．经过2个小时，钟表上的时针旋转形成的角为(　　)
A．60°　　　B．－60°　　　C．30°　　　D．－30°
B　[钟表的时针旋转一周形成的角是－360°，其中每小时旋转形成的角是－＝－30°，所以经过2个小时旋转形成的角是－60°．故选B．]
类型2　终边相同的角的表示及应用
　求与已知角终边相同的角
【例2】　(源自人教B版教材)分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
(1)60°；(2)－21°．
[解]　(1)S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}．
解不等式－360°≤60°＋k·360°<720°，得－1－≤k<2－，所以k可取－1，0或1．因此S中满足－360°≤β<720°的元素是
60°＋(－1)×360°＝－300°，
60°＋0×360°＝60°，
60°＋1×360°＝420°．
(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}．
解不等式－360°≤－21°＋k·360°<720°，得－1＋≤k<2＋，
所以k可取0，1或2．
因此S中满足－360°≤β<720°的元素是
－21°＋0×360°＝－21°，
－21°＋1×360°＝339°，
－21°＋2×360°＝699°．
　求终边在给定直线上的角的集合
【例3】　在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
120°，300°　[与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z．
∵所求角在0°～360°范围内，
∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，k∈Z，
解得≤k≤，k∈Z，∴k＝1或2．
当k＝1时，β＝120°；
当k＝2时，β＝300°．]
　终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
[跟进训练]
2．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
[解]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．
(1)最小的正角为315°．
(2)最大的负角为－45°．
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°．
类型3　象限角及区域角的表示
　象限角的表示
【例4】　若α是第一象限角，则－是(　　)
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
D　[因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
所以－k·180°－45°<－<－k·180°，k∈Z，
所以－是第二、四象限角．故选D．]
　区域角的表示
【例5】　如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
思路导引：
[解]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[母题探究]
若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？
[解]　在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
　
1．表示区间角的3个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
2．nα或所在象限的判断方法
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z．
由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
[跟进训练]
3．(1)若θ是第二象限角，那么和90°－θ都不是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．
(1)B　[∵θ是第二象限角，∴k·360°＋90°<(2)[解]　在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
1．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．锐角是第一象限角
B．第一象限角都是锐角
C．小于90°的角是锐角
D．大于0°小于90°的角是锐角
[答案]　AD
2．下列各个角中与角2 024°终边相同的角的度数是(　　)
A．－149° B．679°
C．321° D．224°
D　[因为2 024°＝360°×5＋224°，所以与2 024°终边相同的角是224°．故选D．]
3．角－870°的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C　[∵－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C．]
4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
[答案]　{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．任意角的分类有哪几种？
[提示]　按旋转方向分为：正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角．
2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？
[提示]　所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意k是整数，这个条件不能漏掉．
3．若角α与角β的终边在一条直线上，则α与β存在怎样的等量关系？
[提示]　若角α与角β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(数学抽象)
2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(数学抽象)
在生活中，拧紧螺丝时，需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺丝时，需要将扳手逆时针方向旋转，可以旋转一圈，也可以旋转多圈．为了描述这种现象，需要对角的概念进行推广．
知识点1　角的概念与分类
(1)角可以看成一条________绕着它的________旋转所成的________．
(2)角的分类
类型 定义 图示
正角 按________方向旋转形成的角
负角 按________方向旋转形成的角
零角 射线OA没有做任何旋转，终边OB与OA重合
知识点2　角的加法与减法
设α，β是任意两个角，________为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的________旋转角β．
(2)α－β：α－β＝________．
知识点3　象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与________重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的________在第几象限，就说这个角是第几__________；如果角的终边在________，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点4　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝______________}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)－30°是第四象限角． (　　)
(2)第二象限角是钝角． (　　)
(3)225°是第三象限角． (　　)
2．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．
图(1)　　　　　　　　　图(2)
3．如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________．
图(1)　　　　　　图(2)
类型1　任意角的概念
【例1】　(1)下列结论：
①始边相同而终边不同的角一定不相等；
②小于90°的角是第一象限角；
③钝角比第三象限角小；
④角α与－α的终边关于x轴对称．
其中正确的结论为________(填序号)．
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　理解角的概念的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
[跟进训练]
1．经过2个小时，钟表上的时针旋转形成的角为(　　)
A．60°　　　B．－60°　　　C．30°　　　D．－30°
类型2　终边相同的角的表示及应用
　求与已知角终边相同的角
【例2】　(源自人教B版教材)分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
(1)60°；(2)－21°．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求终边在给定直线上的角的集合
【例3】　在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差________的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差________的整数倍．
[跟进训练]
2．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　象限角及区域角的表示
　象限角的表示
【例4】　若α是第一象限角，则－是(　　)
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　区域角的表示
【例5】　如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
思路导引：
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．表示区间角的3个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的________和________．
第二步：按由小到大分别标出________和________对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上________的整数倍，即得区间角集合．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
2．nα或所在象限的判断方法
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z．
由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
[跟进训练]
3．(1)若θ是第二象限角，那么和90°－θ都不是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．锐角是第一象限角
B．第一象限角都是锐角
C．小于90°的角是锐角
D．大于0°小于90°的角是锐角
2．下列各个角中与角2 024°终边相同的角的度数是(　　)
A．－149°　　　B．679°　　　C．321°　　　D．224°
3．角－870°的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．任意角的分类有哪几种？
2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？
3．若角α与角β的终边在一条直线上，则α与β存在怎样的等量关系？5.1.2　弧度制
1．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．(数学抽象)
2．能对弧度和角度进行正确的转换，掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．(数学运算)
如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？
知识点1　角度制与弧度制
(1)度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度 的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．1弧度记作1 rad
(2)弧度数的计算
比值与所取的圆的半径大小是否有关？
[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)角度制与弧度制的换算
知识点2　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
?度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝ l＝αR
扇形的面积 S＝ S＝＝
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧． (　　)
(2)用弧度表示的都是正角． (　　)
(3)160°化为弧度制是π rad． (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．(1) rad化为角度是________．
(2)105°的弧度数是________ rad．
(1)252°　(2)　[(1) rad＝＝252°；
(2)105°＝105× rad＝ rad．]
3．(1)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长扩大为原来的________倍；
(2)半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
(1)2　(2)　[(1)由l＝|α|R知，当半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长扩大为原来的2倍．
(2)由已知得S扇＝××22＝．]
类型1　角度与弧度的互化与应用
【例1】　将下列各角度与弧度互化：
(1)67.5°；(2)112°30′；(3)；(4)3．
[解]　(1)67.5°＝67.5×．
(2)112°30′＝112.5°＝112.5×．
(3)×＝405°．
(4)3＝3×≈3×57.30°＝171.90°．
　角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数．
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
[跟进训练]
1．(1)(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D． rad化成角度是15°
(2)将下表中的角度与弧度互化．
角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°
弧度 π
(1)ABD　(2)角度：30°　75°　270°　360°　弧度：0　　　　　　π　[(1)对于A，60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°．故选ABD．]
类型2　用弧度制表示角的集合
【例2】　(1)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
(2)用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
(1)C　[A，B中弧度与角度混用，错误．
π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C．]
(2)[解]　30°＝ rad，150°＝ rad．
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是．
　
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用．
[跟进训练]
2．已知角α＝－1 125°．
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在[－4π，4π]范围内找出与β终边相同的角的集合．
[解]　(1)－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋，其中<2π，
所以是第四象限角，
所以－1 125°是第四象限角．
(2)依题意得，与β终边相同的角为＋2kπ，k∈Z，由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z，可知k＝－2，－1，0，1，所以所求角的集合为．
类型3　弧长公式与扇形面积公式的应用
【例3】　已知扇形的周长为8 cm．
(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
思路导引：(1)
(2)
[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S．
(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，
解得r＝2，l＝4，所以S＝lr＝4(cm2)．
(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0，4)，
则S＝lr＝(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，
当r＝2时，Smax＝4，此时l＝4，圆心角α＝＝2 rad．
　扇形的弧长和面积的求解策略
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程(组)求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的最值问题，将扇形面积表示为半径r的函数，转化为关于r的二次函数．
[跟进训练]
3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．若一幅扇面的尺寸如图所示，则该扇面的面积为________ cm2．
704　[如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
由题意可得解得r＝．
所以S扇面＝S扇面OCD－S扇面OAB＝×64－×24×＝704(cm2)．]
1．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
ABC　[根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．]
2．已知α＝－3 rad，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C　[∵α＝－3 rad≈－3×57.30°＝－171.9°，
∴角α的终边在第三象限．故选C．]
3．若扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，则扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2．
　　[已知扇形的圆心角α＝60°＝，
半径r＝10 cm，则弧长l＝α·r＝×10＝(cm)，
面积S＝lr＝××10＝(cm2)．]
4．在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
π，π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝π rad，
所以在[0，4π]中与72°终边相同的角有π，π．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．角度制与弧度制怎样转化？
[提示]　1°＝ rad，1 rad＝°．
2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？
[提示]　
度量单位类别 角度制 弧度制
弧长 l＝ l＝|α|r
面积 S＝ S＝lr＝5.1.2　弧度制
1．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．(数学抽象)
2．能对弧度和角度进行正确的转换，掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．(数学运算)
如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？
知识点1　角度制与弧度制
(1)度量角的两种制度
角度制 定义 用____作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的______为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以____为单位来度量角的单位制
1弧度 的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．1弧度记作1 ________
(2)弧度数的计算
比值与所取的圆的半径大小是否有关？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)角度制与弧度制的换算
知识点2　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝______ l＝______
扇形的面积 S＝______ S＝______＝______
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧． (　　)
(2)用弧度表示的都是正角． (　　)
(3)160°化为弧度制是π rad． (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大． (　　)
2．(1) rad化为角度是________．
(2)105°的弧度数是________ rad．
3．(1)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长扩大为原来的______倍；
(2)半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
类型1　角度与弧度的互化与应用
【例1】　将下列各角度与弧度互化：
(1)67.5°；(2)112°30′；(3)；(4)3．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数．
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
[跟进训练]
1．(1)(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D． rad化成角度是15°
(2)将下表中的角度与弧度互化．
角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°
弧度 2π
类型2　用弧度制表示角的集合
【例2】　(1)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
(2)用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用．
[跟进训练]
2．已知角α＝－1 125°．
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在[－4π，4π]范围内找出与β终边相同的角的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　弧长公式与扇形面积公式的应用
【例3】　已知扇形的周长为8 cm．
(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
思路导引：(1)
(2)
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　扇形的弧长和面积的求解策略
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程(组)求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的最值问题，将扇形面积表示为半径r的函数，转化为关于r的二次函数．
[跟进训练]
3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．若一幅扇面的尺寸如图所示，则该扇面的面积为________ cm2．
1．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2．已知α＝－3 rad，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，则扇形的弧长为______ cm，面积为______ cm2．
4．在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．角度制与弧度制怎样转化？
2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？

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