资源简介 5.3 诱导公式第1课时 公式二、公式三和公式四1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法.(逻辑推理)2.掌握公式二、公式三和公式四,并能灵活应用.(数学运算)观察单位圆,回答下列问题:(1)角α与角π+α的终边有什么关系?(2)角α与角π+α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗?知识点 公式二~四名称 终边关系 图示 公式公 式 二 角π+α与角α的终边关于原点对称 sin (π+α)=-sin α, cos (π+α)=-cos α, tan (π+α)=tan α公 式 三 角-α与角α的终边关于x轴对称 sin (-α)=-sin α, cos (-α)=cos α, tan (-α)=-tan α公 式 四 角π-α与角α的终边关于y轴对称 sin (π-α)=sin α, cos (π-α)=-cos α, tan (π-α)=-tan α诱导公式中角α只能是锐角吗?[提示] 诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+,k∈Z.填空:(1)若sin (π+α)=,则sin α=________.(2)若cos (π-α)=,则cos α=________.(3)已知tan α=6,则tan (-α)=________.(4)sin 585°=________.[答案] (1)- (2)- (3)-6 (4)-类型1 给角求值问题【例1】 (源自苏教版教材)求值:(1)sin ;(2)cos;(3)tan (-1 560°).[解] (1)sin =sin =-sin =-.(2)cos =cos =cos =cos =-cos =-.(3)tan (-1 560°)=-tan 1 560°=-tan (4×360°+120°)=-tan 120°=-tan (180°-60°)=tan 60°=. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”--用公式一或三来转化.(2)“大化小”--用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”--用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”--得到锐角的三角函数后求值.[跟进训练]1.计算:sin +tan -cos.[解] 原式=sin +tan -cos=sin +tan -cos=sin -tan +cos -1+=0.类型2 给值(式)求值问题【例2】 已知cos (α-75°)=-,且α为第四象限角,求sin (105°+α)的值.思路导引:[解] ∵cos (α-75°)=-<0,且α为第四象限角,∴sin (α-75°)=-=-=-,∴sin (105°+α)=sin [180°+(α-75°)]=-sin (α-75°)=.[母题探究]本例条件不变,求cos (255°-α)的值.[解] cos (255°-α)=cos [180°-(α-75°)]=-cos (α-75°)=. 解决条件求值问题的技巧[跟进训练]2.已知cos,求cos-sin2的值.[解] 因为cos =cos=-cos =-,sin2=sin2=1-cos2=1-,所以cos -sin2=--=-.类型3 利用诱导公式化简【例3】 化简:(1);(2).[解] (1)原式===-tan α.(2)原式====-1. 三角函数式化简的常用方法(1)合理转化:①将角化成2kπ±α,kπ±α,k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.[跟进训练]3.tan (5π+α)=m,则的值为( )A. B. C.-1 D.1A [∵tan (5π+α)=tan α=m,∴=.故选A.]1.计算:sin 210°=( )A. B.- C. D.-D [sin 210°=sin (180°+30°)=-sin 30°=-,故选D.]2.(多选)下列式子中正确的是( )A.sin (π-α)=-sin α B.cos (π+α)=-cos αC.sin (π+α)=sin α D.sin (2π+α)=sin αBD [A中sin (π-α)=sin α,C中sin (π+α)=-sin α,B,D正确.]3.已知sin (45°+α)=,则sin (135°-α)=________. [sin (135°-α)=sin [180°-(45°+α)]=sin (45°+α)=.]4.化简:(1)=________;(2)=________.(1)-cos2α (2)-cosα [(1)===-cos2α.(2)==-cos α.]回顾本节知识,自主完成以下问题:1.你能概括一下公式一~四的特征吗?[提示] 诱导公式一~四可简要概括为“α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”,或者简述为“函数名不变,符合看象限”.2.如何应用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数?[提示] 5.3 诱导公式第1课时 公式二、公式三和公式四1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法.(逻辑推理)2.掌握公式二、公式三和公式四,并能灵活应用.(数学运算)观察单位圆,回答下列问题:(1)角α与角π+α的终边有什么关系?(2)角α与角π+α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗?知识点 公式二~四名称 终边关系 图示 公式公 式 二 角π+α与角α的终边关于____对称 sin (π+α)=________, cos (π+α)=________, tan (π+α)=________公 式 三 角-α与角α的终边关于______轴对称 sin (-α)=________, cos (-α)=________, tan (-α)=________公 式 四 角π-α与角α的终边关于____轴对称 sin (π-α)=________, cos (π-α)=________, tan (π-α)=________诱导公式中角α只能是锐角吗? 填空:(1)若sin (π+α)=,则sin α=________.(2)若cos (π-α)=,则cos α=________.(3)已知tan α=6,则tan (-α)=________.(4)sin 585°=________.类型1 给角求值问题【例1】 (源自苏教版教材)求值:(1)sin ;(2)cos ;(3)tan (-1 560°).[尝试解答] 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化.(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.[跟进训练]1.计算:sin +tan -cos . 类型2 给值(式)求值问题【例2】 已知cos (α-75°)=-,且α为第四象限角,求sin (105°+α)的值.思路导引:[尝试解答] [母题探究]本例条件不变,求cos (255°-α)的值. 解决条件求值问题的技巧[跟进训练]2.已知cos =,求cos -sin2的值. 类型3 利用诱导公式化简【例3】 化简:(1);(2).[尝试解答] 三角函数式化简的常用方法(1)合理转化:①将角化成2kπ±α,kπ±α,k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.[跟进训练]3.tan (5π+α)=m,则的值为( )A. C.-1 D.11.计算:sin 210°=( )A. B.- C. D.-2.(多选)下列式子中正确的是( )A.sin (π-α)=-sin αB.cos (π+α)=-cos αC.sin (π+α)=sin αD.sin (2π+α)=sin α3.已知sin (45°+α)=,则sin (135°-α)=________.4.化简:(1)=________;(2)=________.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.你能概括一下公式一~四的特征吗?2.如何应用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数?第2课时 公式五和公式六1.了解公式五和公式六的推导方法.(逻辑推理)2.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明.(数学运算)观察单位圆,回答下列问题:(1)角α与角-α,角α与角+α的终边有什么关系?(2)角α与角-α的终边与单位圆的交点P,P1的坐标有什么关系?角α与角+α的终边与单位圆的交点P,P2的坐标有什么关系?知识点 诱导公式五、六名称 公式五 公式六终边关系 角-α与角α的终边关于直线y=x对称 角+α与角α的终边垂直图形公式 sin =cos α, cos=sin α sin =cos α, cos=-sin α诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系.可借用口诀“函数名改变,符号看象限”来记忆.如何由公式四及公式五推导公式六?[提示] sin =sin =sin =cos α.cos =cos =-cos =-sin α.(1)已知sin α=,则cos=________;(2)若α∈,sin ,则cos α=________.(1) (2) [(1)∵sin α=,∴cos =sin α=.(2)∵α∈,sin =cos α=,∴cos α=.]类型1 利用诱导公式化简【例1】 化简:.[解] 原式====-=-1. 三角函数式化简的方法和技巧(1)方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.[跟进训练]1.化简:·sin cos.[解] 原式=·sin ·(-sin α)=(-sin α)=·(-cos α)(-sin α)=-cos2α.类型2 利用诱导公式求值【例2】 (源自苏教版教材)已知cos (75°+α)=,且-180°<<-90°,求cos (15°-α) 的值.[解] 由-180°<<-90°,得-105°<75°+α<-15°,则sin (75°+α)<0.又cos (75°+α)=,所以cos (15°-α)=cos [90°-(75°+α)]=sin (75°+α)=-=-=-. 利用互余(互补)关系求值的步骤(1)定关系.确定已知角与所求角之间的关系,一般常见的互余关系有:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.常见的互补关系有:+α与-α;+α与-α等.(2)定公式.依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.(3)得结论.根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到结果.[跟进训练]2.已知cos,求下列各式的值:(1)sin ;(2)sin .[解] (1)sin =sin =cos .(2)sin =sin=-sin =-cos =-.类型3 诱导公式的综合应用【例3】 已知f (α)=.(1)若α=-,求f (α)的值;(2)若α为第二象限角,且cos,求f (α)的值.[解] (1)∵f (α)===cos α,∴f =cos =cos .(2)∵cos ,∴sin α=.∵α为第二象限角,∴f (α)=cos α=-=-. 诱导公式综合应用要“三看”一看角:(1)化大为小;(2)看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看名:一般是弦切互化.三看形:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形.[跟进训练]3.在△ABC中,已知sin =sin ,试判断△ABC的形状.[解] ∵A+B+C=π,∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.又sin =sin ,∴sin =sin ,∴sin =sin ,∴cos C=cos B,又B,C为△ABC的内角,∴C=B,∴△ABC为等腰三角形.1.已知sin α=,则cos等于( )A. B. C.- D.-C [cos =-sin α=-.]2.(多选)下列与sin θ的值相等的是( )A.sin (π+θ) B.sinC.cos D.cosCD [sin (π+θ)=-sin θ;sin =cos θ;cos =sin θ;cos =sin θ.故选CD.]3.已知sin ,则cos的值为( )A. B.- C. D.-C [cos =cos =sin .]4.化简sin (π+α)cos+sin cos (π+α)=________.-1 [原式=(-sin α)sin α+cos α(-cos α)=-sin2α-cos2α=-1.]回顾本节知识,自主完成以下问题:1.公式一~四和公式五~六的函数名称有什么不同?[提示] 公式一~四中函数名称不变,公式五~六中函数名称改变.2.如何用一个口诀描述诱导公式一~六?[提示] “奇变偶不变、符号看象限”.第2课时 公式五和公式六1.了解公式五和公式六的推导方法.(逻辑推理)2.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明.(数学运算)观察单位圆,回答下列问题:(1)角α与角-α,角α与角+α的终边有什么关系?(2)角α与角-α的终边与单位圆的交点P,P1的坐标有什么关系?角α与角+α的终边与单位圆的交点P,P2的坐标有什么关系?知识点 诱导公式五、六名称 公式五 公式六终边关系 角-α与角α的终边关于直线y=x对称 角+α与角α的终边垂直图形公式 sin =______, cos =______ sin =______, cos =______诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系.可借用口诀“函数名改变,符号看象限”来记忆.如何由公式四及公式五推导公式六? (1)已知sin α=,则cos =________;(2)若α∈,sin =,则cos α=________.类型1 利用诱导公式化简【例1】 化简:.[尝试解答] 三角函数式化简的方法和技巧(1)方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.[跟进训练]1.化简:·sin cos . 类型2 利用诱导公式求值【例2】 (源自苏教版教材)已知cos (75°+α)=,且-180°<α<-90°,求cos (15°-α) 的值.[尝试解答] 利用互余(互补)关系求值的步骤(1)定关系.确定已知角与所求角之间的关系,一般常见的互余关系有:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.常见的互补关系有:+α与-α;+α与-α等.(2)定公式.依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.(3)得结论.根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到结果.[跟进训练]2.已知cos =,求下列各式的值:(1)sin ;(2)sin . 类型3 诱导公式的综合应用【例3】 已知f (α)=.(1)若α=-,求f (α)的值;(2)若α为第二象限角,且cos =,求f (α)的值.[尝试解答] 诱导公式综合应用要“三看”一看角:(1)化大为小;(2)看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看名:一般是弦切互化.三看形:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形.[跟进训练]3.在△ABC中,已知sin =sin ,试判断△ABC的形状. 1.已知sin α=,则cos 等于( )A. C.- D.-2.(多选)下列与sin θ的值相等的是( )A.sin (π+θ) B.sinC.cos D.cos3.已知sin =,则cos 的值为( )A. B.- C. D.-4.化简sin (π+α)cos +sin cos (π+α)=________.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.公式一~四和公式五~六的函数名称有什么不同?2.如何用一个口诀描述诱导公式一~六? 展开更多...... 收起↑ 资源列表 新教材2023年秋高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第1课时公式二公式三和公式四学生用书无答案新人教A版必修第一册.doc 新教材2023年秋高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第1课时公式二公式三和公式四教师用书含答案新人教A版必修第一册.doc 新教材2023年秋高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第2课时公式五和公式六学生用书无答案新人教A版必修第一册.doc 新教材2023年秋高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第2课时公式五和公式六教师用书含答案新人教A版必修第一册.doc