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第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
1．理解匀速圆周运动的数学模型．(数学建模)
2．理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响．(直观想象)
3．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(逻辑推理)
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．
(1)　　　　　　　　　　　(2)　
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝A sin (ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
知识点　A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位长度所得图象的解析式是y＝sin ． (　　)
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x． (　　)
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x． (　　)
2．函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin 的图象．
类型1　匀速圆周运动的数学模型
【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，射线OA为终边的角为α，则点A的坐标是________，从A点出发，以恒定的角速度ω逆时针转动，经过t秒转动到点B，点B在y轴上的投影为点C，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型函数，求解时注意结合正弦函数的定义．
[跟进训练]
1．已知以原点O为圆心的单位圆上有一质点P，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动．则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系为(　　)
A．y＝sin ，t≥0
B．y＝sin ，t≥0
C．y＝cos ，t≥0
D．y＝cos ，t≥0
类型2　平移变换
【例2】　(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)
A．y＝sin ＋2
B．y＝sin －2
C．y＝sin －2
D．y＝sin ＋2
(2)(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　图象平移变换的方法
(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．
(2)当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位长度；若φ＜0，则右移|φ|个单位长度．
(3)当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移个单位长度；若φ＜0，则右移个单位长度．
[跟进训练]
2．为了得到y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个单位长度．
类型3　伸缩变换
【例3】　已知函数y＝sin ，该函数的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)
思路导引：先平移后伸缩还是先伸缩后平移．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ| 和，但平移方向是一致的．
(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．
[跟进训练]
3．把函数y＝f (x)的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin ，则f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3cos x B．f (x)＝3sin x
C．f (x)＝3cos x＋3 D．f (x)＝sin 3x
1．(2022·北京通州期末)将函数y＝sin x的图象C向左平移个单位长度得到曲线C1，然后再使曲线C1上各点的横坐标变为原来的得到曲线C2，最后再把曲线C2上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3，则曲线C3对应的函数是(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
2．为了得到函数y＝4sin ，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin ，x∈R的图象上所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
3．(2022·河南新乡一中月考)已知P是半径为3 cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为 rad/s．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若∠P0Ox＝，则点P到x轴的距离d关于时间t(单位：s)的函数关系为(　　)
A．d＝3
B．d＝3
C．d＝3
D．d＝3
4．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能描述一下由y＝sin x的图象，通过图象变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种不同的变换途径吗？第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
1．理解匀速圆周运动的数学模型．(数学建模)
2．理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响．(直观想象)
3．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(逻辑推理)
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．
(1)　　　　　　　　　　(2)
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝A sin (ωx＋φ)与函数y＝sin x 有什么关系呢？
知识点　A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位长度所得图象的解析式是y＝sin ． (　　)
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x． (　　)
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin 的图象．
[答案]　伸长　3
类型1　匀速圆周运动的数学模型
【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，射线OA为终边的角为α，则点A的坐标是________，从A点出发，以恒定的角速度ω逆时针转动，经过t秒转动到点B(x，y)，点B在y轴上的投影为点C，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系为________．
　y＝r sin (ωt＋α)(t≥0)
[设A(x0，y0)，则＝cos α，＝sin α，
所以x0＝r cos α，y0＝r sin α，即A．
经过t秒，以射线OB为终边的角为ωt＋α，则B，
所以点C的纵坐标y与时间t的函数关系为y＝r sin (ωt＋α)(t≥0)．]
　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型函数，求解时注意结合正弦函数的定义．
[跟进训练]
1．已知以原点O为圆心的单位圆上有一质点P，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动．则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系为(　　)
A．y＝sin ，t≥0
B．y＝sin ，t≥0
C．y＝cos ，t≥0
D．y＝cos ，t≥0
A　[当时间为t时，点P所在角的终边对应的角等于t＋，所以点P的纵坐标y关于时间t的函数关系为y＝sin ，t≥0．]
类型2　平移变换
【例2】　(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)
A．y＝sin ＋2 B．y＝sin －2
C．y＝sin －2 D．y＝sin ＋2
(2)(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
(1)D　(2)D　[(1)向左平移个单位长度得y＝sin ，再向上平移2个单位长度得y＝sin ＋2，故选D．
(2)因为y＝2sin 3x＝2sin ，所以把函数y＝2sin 图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象．故选D．]
　图象平移变换的方法
(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．
(2)当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位长度；若φ＜0，则右移|φ|个单位长度．
(3)当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移个单位长度；若φ＜0，则右移个单位长度．
[跟进训练]
2．为了得到y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个单位长度．
　[y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ，只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin ．]
类型3　伸缩变换
【例3】　已知函数y＝sin ，该函数的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)
思路导引：先平移后伸缩还是先伸缩后平移．
[解]　法一(先平移后伸缩)：
①把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin 的图象；
②把函数y＝sin 的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin 的图象；
③把函数y＝sin 的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数y＝sin 的图象．
法二(先伸缩后平移)：
①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象；
②把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin 的图象；
③把函数y＝sin 的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin 的图象．
　三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的．
(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．
[跟进训练]
3．把函数y＝f (x)的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin ，则f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3cos x B．f (x)＝3sin x
C．f (x)＝3cos x＋3 D．f (x)＝sin 3x
A　[y＝2sin y＝3sin y＝3sin y＝3sin ＝3sin ＝3cos x．
故选A．]
1．(2022·北京通州期末)将函数y＝sin x的图象C向左平移个单位长度得到曲线C1，然后再使曲线C1上各点的横坐标变为原来的得到曲线C2，最后再把曲线C2上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3，则曲线C3对应的函数是(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
C　[由题得C1：y＝sin ，所以C2：y＝sin ，得到C3：y＝2sin ．故选C．]
2．为了得到函数y＝4sin ，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin ，x∈R的图象上所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
A　[函数y＝4sin 的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin 的图象．]
3．(2022·河南新乡一中月考)已知P是半径为3 cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为 rad/s．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若∠P0Ox＝，则点P到x轴的距离d关于时间t(单位：s)的函数关系为(　　)
A．d＝3 B．d＝3
C．d＝3 D．d＝3
D　[由题意可知，经过t秒后，点P在角t－的终边上，由三角函数定义可知，点P到x轴的距离d＝3．故选D．]
4．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
　[函数y＝cos xy＝cos x．所以ω＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能描述一下由y＝sin x的图象，通过图象变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种不同的变换途径吗？
[提示]　(1)y＝sin xy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin ＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)．第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用
1．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．(直观想象)
2．能够根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式．(直观想象、数学运算)
3．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质．(数学运算)
类型1　“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
【例1】　作出函数y＝sin 在一个周期内的简图．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”．
[跟进训练]
1．已知函数f (x)＝cos ，在给定坐标系中作出函数f (x)在[0，π]上的图象．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
【例2】　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
思路导引：
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z．
(2) 五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式为(　　)
A．y＝2cos ＋4
B．y＝2cos ＋4
C．y＝4cos ＋2
D．y＝4cos ＋2
类型3　函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的综合应用
【例3】　已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
将本例中“偶函数”改为“奇函数”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f (θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f (θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间．
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝A sin t的性质．
[跟进训练]
3．(多选)已知函数f (x)＝sin ，以下命题中为真命题的是(　　)
A．函数f (x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f (x)的一个零点
C．函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f (x)在上是增函数
1．已知函数f (x)＝A sin (A＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8
2．已知函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
3．(多选)设函数f (x)＝cos ，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的一个周期为－2π
B．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x＋π)的一个零点为x＝
D．f (x)在上单调递减
4．在函数y＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．作函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)图象时，其五个关键点有何特征？
2．求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？
3．在研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用
1．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．(直观想象)
2．能够根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式．(直观想象、数学运算)
3．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质．(数学运算)
类型1　“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
【例1】　作出函数y＝sin 在一个周期内的简图．
[解]　列表：
2x＋ 0 π 2π
x －
y＝sin 0 0 － 0
描点、连线，如图所示．
　用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”．
[跟进训练]
1．已知函数f (x)＝cos ，在给定坐标系中作出函数f (x)在[0，π]上的图象．
[解]　f (x)＝cos ，列表如下．
2x－ － 0 π
x 0 π
f (x) 1 0 －1 0
图象如图．
类型2　求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
【例2】　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
思路导引：
[解]　法一(逐一定参法)：
由图象知A＝3, T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin (2x＋φ)．∵点在函数图象上，
∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
又|φ|，∴φ＝，∴y＝3sin ．
法二(五点对应法)：
由图象知A＝3．∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin ．
法三(图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
∴y＝3sin ，即y＝3sin ．
　给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z．
(2) 五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式为(　　)
A．y＝2cos ＋4
B．y＝2cos ＋4
C．y＝4cos ＋2
D．y＝4cos ＋2
A　[由函数f (x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f (x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f (x)的图象上，
所以6＝2cos ＋4，所以cos ＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝－，所以f (x)＝2cos ＋4．故选A．]
类型3　函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的综合应用
【例3】　已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φπ)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[解]　∵f (x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f (x)取得最大值或最小值，
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z．又0≤φπ，∴φ＝．
由f (x)的图象关于点M对称，
可知sin ＝0，解得ω＝k－，k∈Z．
又f (x)在上是单调函数，∴T≥π，即≥π，∴0ω≤2，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2．综上，φ＝，ω＝或2．
[母题探究]
将本例中“偶函数”改为“奇函数”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．
[解]　因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0．
因为f (x)＝sin ωx在上是增函数，
所以 ，
于是，
解得0＜ω≤，所以ω的最大值为．
　研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f (θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f (θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间．
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝A sin t的性质．
[跟进训练]
3．(多选)已知函数f (x)＝sin ，以下命题中为真命题的是(　　)
A．函数f (x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f (x)的一个零点
C．函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f (x)在上是增函数
ABD　[令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，即函数f (x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f (x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f (x)在上是增函数，选项D正确．故选ABD．]
1．已知函数f (x)＝A sin (A＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8
B　[函数f (x)＝A sin (A>0)的周期T＝＝6．∵函数f (x)＝A sin (A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，∴，∴A＝2，故选B．]
2．已知函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
D　[依题意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2．
又sin ＝sin ＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
由|φ|，得φ＝－．故选D．]
3．(多选)设函数f (x)＝cos ，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的一个周期为－2π
B．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x＋π)的一个零点为x＝
D．f (x)在上单调递减
ABC　[因为T＝2π，故－2π也是f (x)的一个周期，A正确；f ＝cos ＝cos 3π＝－1，故B正确；由f (x＋π)＝cos＝－cos ＝0得x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时x＝，故C正确；函数f (x)＝cos 的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f (x)在上先递减后递增，D错误．
]
4．在函数y＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________．
2　[由题意得－，所以T＝π，又T＝＝π，解得ω＝2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．作函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)图象时，其五个关键点有何特征？
[提示]　 “五点法”中的五个点分别为函数的三个零点和两个最值点．
2．求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？
[提示]　逐一定参法；五点对应法；图象变换法．
3．在研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？
[提示]　采用“换元”法整体代换，将(ωx＋φ)看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝A sin z的性质求解．

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