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函数的应用
1 函数模型
一次函数
二次函数
指数函数
指数型函数
对数函数
对数型函数
幂函数
幂函数型
2 增长快慢比较
常见函数图象
3 函数的零点
① 函数零点的概念
对于函数，使的实数叫做函数的零点.
② 方程根与函数零点的关系
方程有实数根 函数有零点 函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为.
如 方程的实数根是，
函数与轴的交点横坐标是，
函数的零点是，而不是.
拓展
方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为.
解惑 若让你求解 可能知道，那是否只有一个实数根呢？
而方程的实数根函数与函数的交点横坐标
如图就较容易得到，方程实数根有3个.
③求函数零点方法
(代数法) 求方程的实数根.
(几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.
4函数零点定理
如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
5二分法
① 二分法的概念
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
② 用二分法求方程近似解的步骤
确定区间，验证，给定精确度；
求区间的中点
计算，
若则就是函数的零点；
若，则令(此时零点
若，则令(此时零点)
判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为(或)；否则重复
【题型一】不同函数模型的认识
【典题1】 惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示：
用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
．
【典题2】 假设有一套住房从年的万元上涨到年的万元．如表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是年以来经过的年数．
万元
万元
求函数的解析式；
求函数的解析式；
完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种
【题型二】不同函数模型的应用
【典题1】 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．
求森林面积的年增长率；
到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？
(参考数据：
【典题2】 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到万件)，其中为工厂工人的复工率()．公司生产万件防护服还需投入成本(万元)．
将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；
对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？(精确到)．
巩固练习
(★) 有一组实验数据如表：
则体现这些数据的最佳函数模型是(　　)
． ． ．
(★) 设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为(　　)(参考数据：)
(★★) 某地区今年月，月，月患某种传染病的人数分别为，，．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数．结果月，月，月份的患病人数分别为，，．
求的值；你认为谁选择的模型好．
(★★) 某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳．
试求的函数关系式；
一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．
(★★) 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质．已知向水中每投放个单位的物质(单位：天)时刻后水中含有物质的量增加与的函数关系可近似地表示为．根据经验，当水中含有物质的量不低于时，物质才能有效发挥作用．
若在水中首次投放个单位的物质，计算物质能持续有效发挥作用几天？
若在水中首次投放个单位的物质，第天再投放个单位的物质，试判断第天至第天，水中所含物质的量是否始终不超过，并说明理由．
【题型三】求函数的零点
【典题1】下列函数中，在内有零点且单调递增的是(　　)
． ．
【题型四】函数与方程的关系
【典题1】方程解的情况是( )
有且只有一个根 不仅有根还有其他根
有根和另一个负根 有根和另一个正根
【典题2】 若满足满足，则 .
【典题3】 已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 .
【典题4】 已知偶函数满足，且当时，，若关于的方程在上有个解，则实数的取值范围是 .
巩固练习
1(★) 下列函数中，是偶函数且不存在零点的是(　　)
．
2(★★) 函数的零点个数是　 ．
3(★★) 若方程且有两个不同实数根，则的取值范围是 ．
4(★★) 设依次表示函数，，的零点，则的大小关系为　 ．
5(★★★) 已知函数，函数是最小正周期为的偶函数，且当时，．若函数有个零点，则实数的取值范围是　 ．
6(★★★) 已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围为　 　 ．
【题型五】函数零点定理
【典题1】 设函数满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是(　　)
【典题2】 表示不超过的最大整数，例如，．已知是方程的根，则 　 ．
【题型六】二分法
【典题1】 用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为　 ．
巩固练习
1(★) 设函数，满足，若存在零点，
则下列选项中一定错误的是(　　)
2(★★) [多选题]函数的一个正零点所在的区间不可能是(　　)
3(★★) 已知函数的零点在区间上，则的取值范围为　 　．
4(★★) 若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围是　　．
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1 函数模型
一次函数
二次函数
指数函数
指数型函数
对数函数
对数型函数
幂函数
幂函数型
2 增长快慢比较
常见函数图象
3 函数的零点
① 函数零点的概念
对于函数，使的实数叫做函数的零点.
② 方程根与函数零点的关系
方程有实数根
函数有零点
函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为.
如 方程的实数根是，
函数与轴的交点横坐标是，
函数的零点是，而不是.
拓展
方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为.
解惑 若让你求解 可能知道，那是否只有一个实数根呢？
而方程的实数根函数与函数的交点横坐标
如图就较容易得到，方程实数根有3个.
③求函数零点方法
(代数法) 求方程的实数根.
(几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.
4函数零点定理
如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
5二分法
① 二分法的概念
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
② 用二分法求方程近似解的步骤
确定区间，验证，给定精确度；
求区间的中点
计算，
若则就是函数的零点；
若，则令(此时零点
若，则令(此时零点)
判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为(或)；否则重复
【题型一】不同函数模型的认识
【典题1】 惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示：
用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
．
【解析】方法 由表可知：是关于的增函数；且增幅随的增大而增大，故只有满足要求．故选．
方法 作出散点图，如图，
由函数拟合可知只有满足要求．故选．
方法 由表可知：是关于的增函数；故不适合；
对于：，，；故不接近；
对于：，
，．故接近；
对于：
，故不接近．
故选．
【点拨】
判断最佳函数模型，方法如下
① 根据数据的增减性和增幅，排除不符合的函数；
② 根据表格描点做出散点图，结合常见函数模型进行判断；
③ 代点法，把数值代入函数中，若数值偏离较远则排除.
【典题2】 假设有一套住房从年的万元上涨到年的万元．如表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是年以来经过的年数．
万元
万元
求函数的解析式；
求函数的解析式；
完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种
【解析】由题意可设，
当时，；当时，，
，解得，
；
由题意可设，
，，
，解得，
；
表中数据如下：
万元
万元
在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示：
有图象可知，呈直线增长，增长速度较慢；呈指数型增长，增长速度较快．
【点拨】求函数的解析式，当已知函数类型时用“待定系数法”.
【题型二】不同函数模型的应用
【典题1】 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．
求森林面积的年增长率；
到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？
(参考数据：
【解析】(1)设森林面积的年增长率为，则，解得，
森林面积的年增长率为1；
(2)设已经植树造林年，则由题意可知，
，，
已经植树造林年；
(3)设为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年，则，
，
，
，
故为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年．
【典题2】 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到万件)，其中为工厂工人的复工率()．公司生产万件防护服还需投入成本(万元)．
将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；
对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？(精确到)．
【解析】
，．
若对任意的，公司都不产生亏损，
则在恒成立，
即， (分离参数法)
记，则，
此时，
由于函数在单调递增，(对勾函数)
所以当时，，
，
即当工厂工人的复工率达到时，对任意的，公司都不产生亏损．
【点拨】
① 根据题意求出函数的解析式，在实际问题中，特别注意自变量的取值范围；
② 求函数最值问题中，注意基本不等式和对勾函数的应用.
巩固练习
(★) 有一组实验数据如表：
则体现这些数据的最佳函数模型是(　　)
． ． ．
【答案】
【解析】把的值分别代入中，不成立，故不能最佳体现这些数据关系；
把的值分别代入中，不成立，故不能最佳体现这些数据关系；
把的值分别代入中，基本成立，故能最佳体现这些数据关系；
把的值分别代入中，不成立，故不能最佳体现这些数据关系．
故选：．
(★) 设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为(　　)(参考数据：)
【答案】
【解析】设通过这样的玻璃x块，则由题意得，化得，
两边同时取常用对数，可得，
因为，所以，
则至少通过块玻璃，
故选：．
(★★) 某地区今年月，月，月患某种传染病的人数分别为，，．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数．结果月，月，月份的患病人数分别为，，．
求的值；你认为谁选择的模型好．
【答案】 )，，, ，， 乙模型
【解析】 (1)由甲模型：令，
可得：，，，
解得，，．
由乙模型：设，
可得：，，，
解得，，．
(2)由 (1)可得：，
，
，
；
由乙模型可得：，
，，．
可得：、、比、、更接近真实值．
(★★) 某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳．
试求的函数关系式；
一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．
【答案】)
教师能够合理安排时间讲完题目
【解析】(1)当时，设，
将点代入得c，
∴当时，；
当时，将点代入，得a，
所以；
(2)当时，，
解得，所以，
当时，
解得，所以，
综上时学生听课效果最佳，
此时，
所以教师能够合理安排时间讲完题目．
(★★) 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质．已知向水中每投放个单位的物质(单位：天)时刻后水中含有物质的量增加与的函数关系可近似地表示为．根据经验，当水中含有物质的量不低于时，物质才能有效发挥作用．
若在水中首次投放个单位的物质，计算物质能持续有效发挥作用几天？
若在水中首次投放个单位的物质，第天再投放个单位的物质，试判断第天至第天，水中所含物质的量是否始终不超过，并说明理由．
【答案】 第天至第天，水中所含物质的量始终不超过
【解析】(1)由题意x，(单位：天)时刻后水中含有物质N的量为．
解，得．
所以若在水中首次投放个单位的物质，物质N能持续有效发挥作用天．
(2)设第天水中所含物质的量为，
则，
，
当且仅当，即 时，等号成立．即当时，．
所以第天至第天，水中所含物质的量始终不超过．
【题型三】求函数的零点
【典题1】下列函数中，在内有零点且单调递增的是(　　)
． ．
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，其定义域为，在上没有定义，不符合题意；
对于，在上有零点，且在为增函数，符合题意；
对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；
对于，在上为减函数，不符合题意；
故选：．
【点拨】求函数零点方法：① 代数法，即解方程；② 几何法，即数形结合.
【题型四】函数与方程的关系
【典题1】方程解的情况是( )
有且只有一个根 不仅有根还有其他根
有根和另一个负根 有根和另一个正根
【解析】方程等价为
设，
则函数在上为减函数，
方程有且只有一个根，故选.
【点拨】本题巧妙的把方程的解转化为函数与的交点问题.
【典题2】 若满足满足，则 .
【解析】 设，，
满足
是函数与函数交点横坐标，
满足
是函数与函数交点横坐标，
由于函数与函数互为反函数，
所以它们的图象关于直线轴对称，
故两图象与直线的交点也关于对称，
所以，
【点拨】
① 指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称.
② 方程问题转化为函数问题时，在构造函数时，常把常见的函数模型(一次函数型、二次函数型、反比例函数型，指数函数型、对数函数型等)分开，比如方程与函数，方程函数与函数.
【典题3】 已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 .
【解析】(函数的零点等价于函数与的交点)
作出的函数图象如图所示，
由图象知，
而得，
，
令，则，
令，
则在上单调递减，，
，
即
【点拨】
① 函数零点的问题转化为函数与的交点问题；
② 遇到分段函数常常需要数形结合；
③ 求的取值范围，应该根据图象找出的关系，在利用“消元”的思想把问题化简成“求的取值范围”，从而想到构造函数.
【典题4】 已知偶函数满足，且当时，，若关于的方程在上有个解，则实数的取值范围是 .
【解析】是偶函数，
，
是以为周期的函数．
关于的方程在上有个解，
关于的方程在上有个解．
做出在一个周期上的函数图象如图所示：
令，由函数图象可知：
当时，只有解，
当或时，有解，
当时，有解，
当时，有解．
关于的方程在和上各有解或和上各有解，
若方程的一解为，则方程的另一解为，不符合题意．
关于的方程在)和上各有解，
，解得．
【点拨】
① 由可得关于对称，又由于是偶函数，可得函数的周期；
② 在“关于的方程在上有个解”这一步中的区间是，不能是.
巩固练习
1(★) 下列函数中，是偶函数且不存在零点的是(　　)
．
【答案】
【解析】对于，的对称轴为轴，故是偶函数，
令得，所以的零点为．不符合题意．
对于，的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意．
对于，的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意．
对于，，故是偶函数，
令，方程无解．即无零点．
故选：．
2(★★) 函数的零点个数是　 ．
【答案】
【解析】令，则，
因此函数的零点个数即为函数和函数的图象交点的个数，
在直角坐标系中画出函数和函数的图象如下：
由图象可得有个零点．
故选：．
3(★★) 若方程且有两个不同实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】方程有两个不同实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点．
当时，如图(1)有两个不同交点；
当时，如图(2)有且仅有一个交点．
故选：．
4(★★) 设依次表示函数，，的零点，则的大小关系为　 ．
【答案】
【解析】函数，x－，的零点，
就是方程的解，
在坐标系中画出函数，与的图象，如图：
可得，
故选：．
5(★★★) 已知函数，函数是最小正周期为的偶函数，且当时，．若函数有个零点，则实数的取值范围是　 ．
【答案】
有个零点，
与的函数图象有个交点，
作出得函数图象如图所示：
若，即，则与的函数图象只有个交点，不符合题意；
若，即，则与的函数图象有无数多个交点，不符合题意；
若，即，若与的函数图象有个交点，
则，且，
解得：．
故选：．
6(★★★) 已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围为　 　 ．
【答案】
【解析】作出函数的图象如图，
若，显然无解；
若，则，只有唯一解，不合题意；
若，则在与中分别有一解，但由于，
因此只在上有一解，此时有三个解，不合题意；
若，则在与中分别有一解，在上有一解，此时有三个解，
因此由题意，在中有一解需要得出有两解，而由于，因此的取值需保证在中的解位于区间中，计算得，可得；
若，则，此时有两解，不合题意；
若，显然无解．
综上，．
故答案为：()．
【题型五】函数零点定理
【典题1】 设函数满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是(　　)
【解析】函数函数的定义域为，函数是增函数，
满足，说明有个是负数两个正数(且负数一定是)或个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在，在，在，不可能在．
故选．
【点拨】
① 利用了分离常数法.
② 判断函数零点所在的区间，就要注意区间上端点对应的函数值(本题中)是正数还是负数.
【典题2】 表示不超过的最大整数，例如，．已知是方程
的根，则 　 ．
【解析】是方程的根，
设，显然单调递增，
故只有一个根，
故，所以，
【点拨】
① 若在上是单调函数，则它在上至多只有一个零点.
② 求函数零点的近似值，可利用代入一些数值进行逼近，再用函数的零点判断定理确认零点的范围.
【题型六】二分法
【典题1】 用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为　 ．
【解析】根据题意，原来区间的长度等于，每经过二分法的一次操作，区间长度变为
原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为，若，即；
故最少为次.
【点拨】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度.
巩固练习
1(★) 设函数，满足，若存在零点，
则下列选项中一定错误的是(　　)
【答案】
【解析】函数的定义域为，函数是增函数，
满足，说明，，，有个是负数一定是两个正数或个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在，在，在，不可能在．
故选：．
2(★★) [多选题]函数的一个正零点所在的区间不可能是(　　)
【答案】
【解析】函数，把代入，
若，则零点在，，，
，，，
所以，，
所以函数的零点在，
故选：．
3(★★) 已知函数的零点在区间上，则的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】因为函数的零点在区间上是单调递增，
函数的零点在区间上，
，，，可得
所以，解得．
4(★★) 若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围是　　．
【答案】
【解析】函数在区间上有一个零点，
若方程的判别式为，可得或，
当时，，有零点，不满足题意；
当时，，有零点，不满足题意；
若可得，可得或，
，
可得，解得－，
综上，
故答案为：.
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