立几回归课本知识汇总

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立体几何概念方法汇总
一、判定两线平行的方法
平行于同一直线的两条直线互相平行
垂直于同一平面的两条直线互相平行
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明
判定线面平行的方法
据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个 平面平行
两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面
平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义:没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行
3 垂直于同一直线的两个平面平行
4、平行于同一平面的两个平面平行
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行
垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直
如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
定义:成角
直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直
一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
定义:两面成直二面角,则两面垂直
一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
二面角的平面角为
在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
1、异面直线所成的角的取值范围是:
2、直线与平面所成的角的取值范围是:
3、斜线与平面所成的角的取值范围是:
4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:
如求异面直线所成的角常用平移法(转化为相交直线);求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角;而求二面角(-l-(的平面角(记作()通常有以下几种方法:
(1) 根据定义;
(2) 过棱l上任一点O作棱l的垂面(,设(∩(=OA,(∩(=OB,则∠AOB=((图1);
(3) 利用三垂线定理或逆定理,过一个半平面(内一点A,分别作另一个平面(的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C),连结AC,则∠ACB=( 或∠ACB=(-((图2);
(4) 设A为平面(外任一点,AB⊥(,垂足为B,AC⊥(,垂足为C,则∠BAC=(或∠BAC=(-((图3);
(5) 利用面积射影定理,设平面(内的平面图形F的面积为S,F在平面(内的射影图形的面积为S(,则cos(=.
图 1 图 2 图 3
5.空间的距离问题,主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间(限于给出公垂线段的)、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离.
求距离的一般方法和步骤是:一作——作出表示距离的线段;二证——证明它就是所要求的距离;三算——计算其值.此外,我们还常用体积法求点到平面的距离
十、三角形的心
内心:内切圆的圆心,角平分线的交点
外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点
重心:中线的交点
垂心:高的交点
十二
球面距离(θ用弧度表示,)
(s`为直截面面积)


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