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5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
第五单元 · 三角函数
5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
知识目标
1.在初中锐角三角函数定义的基础上理解任意角三角函数的定义，知道角α的三角函数值与角α终边上所取点的位置无关.
2.能根据角α终边上除原点外的任意一点的坐标求出这个角的正弦值、余弦值和正切值.
能力目标
1.借助图形理解任意角三角函数的定义与任意角终边上一点的坐标之间的关系，培养直观想象和数学抽象的能力；
2.根据角α终边上任意一点的坐标求任意角三角函数值，提升学生的逻辑推理和数学运算能力.
素质目标
学生经历由锐角三角函数定义到任意角三角函数定义的推广，体会数学定义从局部到整体的推广过程，培养抽象概括能力，提升数学抽象核心素养，渗透不断优化的数学思想和勇于探索的科学精神.
教学难点
教学重点
任意角三角函数的定义.
任意角三角函数定义的理解；角α的三角函数值与角α终边上所取点的位置无关.
情景导入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范讲解
4
课堂练习
5
课堂小结
6
直角三角形
复习旧知，观察填空
情境导入
合作探究
抽象概括
示范讲解
课堂练习
课堂小结
对
对
斜
斜
邻
邻
a
a
c
c
b
b
问题提出，动脑思考
情境导入
合作探究
抽象概括
示范讲解
课堂练习
课堂小结
将一个锐角α放入直角坐标系中，使得顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合.已知点 P(x, y)是锐角 α 终 边上的任意一点 ,点 P与原点 O的距离 OP=r (r>0) , 你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角 α 所对应的三角函数值吗
情境分析，问题探究
情境导入
合作探究
抽象概括
示范讲解
课堂练习
课堂小结
过点P做 x 轴的垂线，垂足为M，则
线段OM的长度为 x ,线段MP的长度为 y .
在中,根据勾股定理可得
,即
情境分析
引导追问，归纳总结
在问题情境中，我们所取的点P(x,y)是锐角的终边上任意一点，取点的位置不同会不会导致对应的三角函数值也不同呢？为什么？
引导追问
归纳总结
1
可以根据角终边上除原点外的任意一点P(x,y)的坐标求出角的正弦、余弦和正切值.
2
角的正弦、余弦和正切所对应的比值与角终边上所取的点P(x,y)的位置无关.
3
角的正弦、余弦和正切所对应的比值随角的变化而变化，它们是角的函数.
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.任意角的正弦、余弦和正切的定义
一般地，当为任意角时，点P(x,y)是的终边上异于原点的任意一点，点P到原点的距离为. 的正弦、余弦、正切分别定义为：
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.理解定义
1.为什么在定义任意角的正弦、余弦、正切时，在正切后面增加了一个括号，特别说明
2.在直角坐标系中可以表示为哪个位置的图像？
3.即无意义，此时的角是否存在，如果存在，其位置在哪里？
思考并回答下列问题
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
对于每一个确定值，其正弦、余弦及正切（当时）都分别对应一个确定的比值；因此，正弦、余弦及正切都是以为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数及正切函数.
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数 ，；
余弦函数 ，；
正切函数 ，
.
三角函数定义例题讲解
例1
情境导入
合作探究
抽象概括
示范讲解
课堂练习
课堂小结
解 由已知有, =3, y =-4, 则
于是
.
如图，已知α的终边经过点 P(3，4)， 求
1.对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
P169【随堂练习】1、2题
1.（1）正弦函数表示为 y = ， ;
（2）余弦函数表示为 y = ， ;
（3）正切函数表示为 y = ， .
2．若α的终边过点(-8，6)，则
= ，= ， = .
2.课堂检测
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
P169【随堂练习】3题
3．若α的终边过点(5，12)，则
= ，= ，= .
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
我亲历了什么
我知道了什么
我学会了什么
任意角三角函数定义的理解
由锐角三角函数定义到任意角三角函数定义的推广
根据角终边上任意一点的坐标求任意角三角函数值的方法
学习回顾
我体会了什么
三角函数定义从局部到整体的推广过程
课后拓展延伸
数学活动
自主学习
1.以小组为单位进行三角函数发展史的数学史研究，形成简单的研究文档，并以WORD文档的形式上传到云班课的学习任务内容中.
2.以小组为单位准备1-2分钟的研究分享展示，制作2页配套的展示PPT.
（2）完成学习平台上的知识检测内容.
（1）查阅视频学习用单位圆定义三角函数的方法，加深对三角函数定义的理解.
谢谢
课件负责人：xx
单位：xx职业教育中心

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