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3.3　抛物线
3.3.1　抛物线及其标准方程
学习任务 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象) 2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模)
抛物线这个几何对象，我们并不陌生．
例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图象是一条抛物线；等等．
到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？
知识点1　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
定点F不在准线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线．
知识点2　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) F x＝－
y2＝－2px(p>0) F x＝
x2＝2py(p>0) F y＝－
x2＝－2py(p>0) F y＝
(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
(2)如何区分抛物线的四个标准方程？
提示：(1)p(p>0)的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (　　)
(5)抛物线y2＝－2px(p>0)中p是焦点到准线的距离． (　　)
(6)方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线． (　　)
(7)抛物线y2＝x的准线方程为x＝． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×　(7)×
类型1　求抛物线的标准方程
【例1】　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
[解]　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝·(－4)，即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
　1．抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
2．求抛物线标准方程时应注意的问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3)注意p与的几何意义．
[跟进训练]
1．(1)焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝±3y　　　 B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)(源自湘教版教材)求适合下列条件的抛物线的标准方程．
①焦点为F(0，－4)；
②准线方程为x＝.
(1)C　[由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y．]
(2)[解]　①因为焦点在y轴的负半轴上，并且－＝－4，
即p＝8.
因此，所求抛物线的标准方程为x2＝－16y.
②由准线方程为x＝知，焦点在x轴的负半轴上，并且＝，即p＝1.
因此，所求抛物线的标准方程为y2＝－2x.
类型2　抛物线定义的应用
【例2】　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
(1)A　[由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．]
(2)[解]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝＝.
[母题探究]
1．若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解]　将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±.
所以点A在抛物线y2＝2x的内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是.
即|PA|＋|PF|的最小值是.
2．若将本例(2)中的“点(0，2)”换成为“直线l1：3x－4y＋＝0”，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
[解]　如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值为点F到直
线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1.
即所求最小值为1.
　抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[跟进训练]
2．(1)已知抛物线的方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
(2)已知位于y轴右侧的动点M到点F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程．
(1)－1　[由抛物线的方程为y2＝－4x，得其焦点F(－1，0)，准线方程为x＝1.
如图，过点A作直线l的垂线，垂足为H，则|AH|＝n.过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于点B，则|AB|＝m，|AC|＝m＋1.
根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AC|＝m＋1，
所以m＋n＝|AF|＋|AH|－1.
过点F作直线l的垂线，垂足为H1，
则|FH1|＝＝.
当点A为垂线段FH1与抛物线的交点时，|AF|＋|AH|最小，最小值为|FH1|＝，
此时，m＋n取得最小值－1．]
(2)[解]　由于位于y轴右侧的动点M到点F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到点F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式．
又＝，所以p＝1，2p＝2.故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
类型3　抛物线的实际实用
【例3】　(源自北师大版教材)某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：m)．某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
[解]　如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－3)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
将点A的坐标代入上式，得9＝6p，即2p＝3.
所以抛物线的标准方程为x2＝－3y.
将x＝1.5代入抛物线的标准方程，得y＝－0.75，则5－0.75＝4.25<4.5.
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
　求解抛物线实际应用题的步骤
[跟进训练]
3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p＞0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，
即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，
此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
1．满足＝的点P(x，y)的轨迹是(　　)
A．圆　　　　　 B．双曲线
C．直线 D．抛物线
C　[依题意得，点P到点F(0，－1)和到直线l：2x＋3y＋3＝0的距离相等，又F(0，－1)在l上，所以点P的轨迹是直线，即为过点F且与l垂直的直线．故选C．]
2．抛物线y＝x2的焦点坐标是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(2，0) D．(0，2)
B　[抛物线的标准方程为x2＝4y，则2p＝4，可得＝1，因此抛物线y＝x2的焦点坐标为(0，1)．故选B．]
3．若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是(　　)
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32x
C　[由题意知点P到点F(4，0)和直线x＝－4的距离相等．
所以P点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，又p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x.故选C．]
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m．
2　[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，
所以水面宽为2 m．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．抛物线是如何定义的？试写出其标准方程．
提示：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
焦点在x轴上的抛物线标准方程为y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上的抛物线标准方程为x2＝±2py(p>0).
2．当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？
提示：可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．3.3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质
学习任务 1．掌握抛物线的几何性质．(数学抽象) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(直观想象、数学运算) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(逻辑推理、数学运算)
已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务．
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出抛物线C是否具有对称性；
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点1　抛物线的几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
性质 焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称 轴 x轴 y轴
顶点 (0，0)
离心率 e＝1
1．抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同？
提示：抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别，它的离心率为定值1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有渐近线，没有对称中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线．
知识点2　直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
(1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；
(2)k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线相交 有两个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线相切 只有一个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线相离 没有公共点．
2.直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
提示：可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
知识点3　直线与抛物线相交的弦长问题
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝或|AB|＝(k≠0)．
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称． (　　)
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心． (　　)
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为________．
0或　[由
消去x得ky2－y＋2＝0.
若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，
则y＝2，符合题意；
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝.
综上，k＝0或．]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为________．
12　[抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12．]
4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．
2　[由抛物线的方程可知焦点F(1，0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得＝(2)2＝12，所以xA＝＝3，
所以所求距离为3－1＝2．]
类型1　抛物线性质的应用
【例1】　(1)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3，0)，求|PA|取得的最小值；
(2)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．
[解]　(1)设点P的坐标为(x，y)，因为y2＝4x，x≥0，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.当x＝1时，|PA|取得最小值2.
(2)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，解得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
　利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
[跟进训练]
1．(1)已知正△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长；
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
[解]　(1)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝＝2px2.
又|OA|＝|OB|，
所以＝，
即＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1>0，x2>0，2p>0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与＝2px1联立，解得y1＝2p.
所以|AB|＝2y1＝4p，
即这个三角形的边长为4p.
(2)如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
因为F是△AOB的垂心，
所以AF⊥OB，
所以kAF·kOB＝－1，
即＝－1.所以＝x0，
又因为＝2px0，所以x0＝2p＋＝.
所以直线AB的方程为x＝.
类型2　直线与抛物线的位置关系
【例2】　(源自湘教版教材)已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况．
[解]　(Ⅰ)若直线l的斜率存在，记为k.又直线过定点(0，－2)，可设直线l的方程为y＝kx－2.①
由方程组②
消去y，并整理得k2x2－(4k＋2)x＋4＝0.③
(1)当k＝0时，由方程③，得x＝2.此时方程①的解为y＝2.
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(2，2)．
(2)当k≠0时，方程②的判别式
Δ＝[－(4k＋2)]2－4·k2·4＝16k＋4.
若Δ>0，解得k>－.
于是，当k>－，且k≠0时，方程③有两个实数解，从而方程组②有两组实数解．这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点．
若Δ＝0，解得k＝－.
于是，当k＝－时，方程③有一个实数解，从而方程组②只有一组实数解．这时，直线l与抛物线有一个公共点．
若Δ<0，解得k<－.
于是，当k<－时，方程③无实数解，从而方程组②无实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
(Ⅱ)若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线y2＝2x相切，即有一个公共点．
综上可得：
当k＝0，或k＝－，或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当k>－，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；
当k<－时，直线l与抛物线没有公共点．
直线l与抛物线C的位置关系如图所示．
　直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．已知抛物线y2＝8x和直线l：y＝k(x－1)－1，判断直线l与抛物线的位置关系，若l与抛物线相交于不同两点，求以点(1，－1)为中点的弦所在的直线方程．
[解]　直线l过定点(1，－1)，且在抛物线内部，故直线l与抛物线相交．
设所求直线与抛物线y2＝8x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝8x2.
＝8(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝－2，∴k＝＝＝－4.
∴方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.
类型3　抛物线的焦点弦问题
【例3】　设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求直线l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解]　(1)由题意得F(1，0)，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此直线l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
　过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
[跟进训练]
3．抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4，4)，过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求线段MN的长．
[解]　(1)依题意设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，
因为抛物线C过点A(4，4)，
所以42＝8p，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)可得抛物线的焦点为F(1，0)，
则直线l的方程为y＝x－1，
联立得x2－6x＋1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，
根据抛物线的定义可得|MN|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
1．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
CD　[设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，
依题意令y＝，代入x2＝2py或令y＝－，代入x2＝－2py得|x|＝p，∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y．]
2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(　　)
A．5 　　　B．6　　　C．8 　　　D．10
C　[抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，
因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，
所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，
所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8．]
3．(2022·浙江诸暨期中)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，则实数p＝______；若过点F且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|＝________．
2　8　[因为抛物线的焦点为F(1，0)，所以＝1，得p＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x－1，将直线AB的方程代入抛物线方程y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，从而|AB|＝x1＋x2＋p＝8．]
4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
0或1　[当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
综上，k＝0或1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．怎样确定抛物线上的点的横坐标与纵坐标的范围？
提示：法一：利用方程确定．如x2＝2py(p>0)，由x2≥0知y≥0，x∈R.
法二：先根据方程画出抛物线，再根据图形确定．
2．直线y＝kx＋b与抛物线x2＝－2py(p>0)相交，且经过抛物线的焦点F，若交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|与点A，B的坐标有什么关系？
提示：|AB|＝p－(y1＋y2)．第2课时　抛物线的方程及性质的应用
学习任务 1．会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(逻辑推理、数学运算) 2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(逻辑推理、数学运算)
一条斜率为k的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，类似的你还能得到其他结论吗？
知识点　与抛物线有关的焦点弦的相关结论
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)S△AOB＝(α为直线AB的倾斜角)；
(5)以AB为直径的圆必与准线l相切．
你能证明＋＝这个结论吗？
提示：(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝.
由得y2＝p2.
∴y＝±p.
从而|AF|＝|BF|＝p，
∴＋＝.
(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝k，
由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，
∴x1＋x2＝＝p＋，x1x2＝，
∴＋＝＋
＝＝
＝＝＝，
即＋＝.
综合(1)(2)可得，＋＝.
直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝______．
　[由＋＝，得＋＝1，
解得|BF|＝．]
类型1　和抛物线有关的轨迹问题
【例1】　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
[解]　(1)法一：(直接法)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
法二：(定义法)由题意知，点P到定点M与直线y＝－的距离相等，则点P的轨迹是以点M为焦点，以直线y＝－为准线的抛物线，且p＝1.
∴点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝
＝
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
　求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
[跟进训练]
1．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
[解]　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.
因为两圆外切，
所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
类型2　与弦长、弦中点有关的问题
【例2】　过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度．
[解]　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)．
∵P是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
则k＝＝＝4，
∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
由消x整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
由弦长公式得|AB|＝|y1－y2|＝＝.
法二：由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
由消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，
∵P是AB的中点，
∴＝1，∴＝2，∴k＝4.
∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0.
由消x整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
由弦长公式得|AB|＝|y1－y2|
＝
＝.
　涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系运用“设而不求”“整体代入”等解法．
注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
[跟进训练]
2．(1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．25
(2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________．
(1)A　(2)y2＝4x　x－y＝0　[(1)由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l过焦点F，所以kl＝＝，所以直线l的方程为y＝(x－2)．
由
得B点的坐标为.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
所以AB的中点到准线的距离为.
(2)由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为，y2)，
则有且x1≠x2，
两式相减得＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，
所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0．]
类型3　与抛物线有关的综合问题
【例3】　(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，＝3.
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β 取得最大值时，求直线AB的方程．
[解]　(1)抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时＝p＋＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1，
由可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4，
由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，
直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，
Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝＝＝，
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，
所以kAB＝tan β＝＝，
若要使α－β最大，则β∈，
设kMN＝2kAB＝2k>0，则tan ＝＝＝≤＝，
当且仅当＝2k即k＝时，等号成立，
所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，
代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直线AB：x＝y＋4.
当直线MN斜率不存在时，α＝β＝90°，α－β＝0°，
tan (α－β)＜.
综上，直线AB的方程为x＝y＋4，即x－y－4＝0.
　最值问题类型较多，总体上主要有两种方法：一是几何法，即利用曲线的定义、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)变式的函数，然后利用函数方法、不等式方法等求解．
[跟进训练]
3．(2022·山师大附中高二月考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且直线l⊥MF，设直线MF与抛物线C的另一个交点为K，求的最小值．
[解]　由题意知F(1，0)，直线l的斜率k存在且不为0，
设l的方程为y＝k(x－1)，
由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为直线l⊥MF，所以直线MF的斜率为－.
设M(x3，y3)，K(x4，y4)，同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故＝()·()
＝
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋x1＋x2＋1＋x3x4＋x3＋x4＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得最小值16.
1．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
A　[设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，
以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，
∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x．]
2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝4，则弦AB的中点到y轴的距离为(　　)
A． 　　　B．2　　　C．3 　　　D．4
A　[因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，所以p＝1，抛物线的方程为y2＝2x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p，所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝＝．]
3．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
(3，2)　[将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2.
∴所求点的坐标为(3，2)．]
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝.
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．解决和抛物线有关的问题，有哪些方法？
提示：直接法、定义法．
2．如何解答最值问题？
提示：最值问题的常用解法有两种：
(1)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、均值不等式法、单调性法．
(2)几何法：若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用几何图形性质来解决．

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