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2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.1　倾斜角与斜率
学习任务 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象) 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(数学抽象) 3．掌握倾斜角和斜率之间的关系．(逻辑推理) 4．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算)
由初中的平面几何知识，我们知道两点确定一条直线；由必修教材课程中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线．那么，怎样用代数方法刻画直线呢？
知识点1　直线的倾斜角
(1)直线的方向：在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．
(2)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角．
(3)特例：直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为0°.
(4)倾斜角α的范围：0°≤α<180°．
1．任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
知识点2　直线的斜率
(1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α．
(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
2.当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？
提示：当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．
知识点3　直线的斜率与方向向量的关系
(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，k)．
(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°． (　　)
(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在． (　　)
(3)不存在倾斜角相同的直线． (　　)
(4)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　)
(5)若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应． (　　)
(6)与y轴垂直的直线的斜率为0． (　　)
(7)与x轴垂直的直线的斜率不存在． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)√
2．若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为________．
(1，－1)　[直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，－1)．]
类型1　直线的倾斜角
【例1】　(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　　 B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　)
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
(1)D　(2)AB　[(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
(2)根据题意，画出图形，如图所示．
通过图象可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]
　直线倾斜角的求法及注意点
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论；
(2)注意倾斜角的范围．
[跟进训练]
1．(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　)
A．α＋60°　　　 B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
BC　[直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为180°－(60°－α)＝120°＋α．]
2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
135°　[设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．]
类型2　直线的斜率和方向向量
【例2】　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　)
A．1　　B．5　　　C．－1　　D．－5
(2)已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2，4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________．
(1)D　(2)2　　[(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，
∴＝tan 135°＝－1，
解得y＝－5，故选D．
(2)由直线l的方向向量为(2，4)得，直线l的斜率为＝2，因此＝2，
解得m＝．]
　(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
[跟进训练]
3．(源自人教B版教材)已知直线l经过点A(0，1)与B(1，1－)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角．
[解]　直线l的斜率k＝＝－，
∴直线l的一个方向向量为(1，－)，
直线的倾斜角θ满足tan θ＝－，从而可知θ＝120°.
4．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？
[解]　因为kAB＝＝－1，
kAC＝＝－1，kAD＝＝－，
所以kAB＝kAC≠kAD，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线．
类型3　直线的倾斜角和斜率的综合
【例3】　(1)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
(2)(源自北师大版教材)根据下列条件，求直线l的倾斜角：
①斜率为－；
②经过A(－2，0)，B(－5，3)两点；
③一个方向向量为＝.
(1)(－∞，－]∪[1，＋∞)　[如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．]
(2)[解]　设直线l的倾斜角为α.
①因为直线l的斜率为－，
所以tan α＝－.
又因为0≤α<π，所以α＝.
②由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜率k＝＝－1，
又因为0≤α<π，所以α＝.
③由直线l的一个方向向量为＝，可得斜率k＝＝，
又因为0≤α<π，所以α＝.
[母题探究]
(1)若将本例(1)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
(2)若将本例(1)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角α的取值范围．
[解]　(1)∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kAP＝＝，
kBP＝＝.
由图可知，直线l斜率的取值范围为.
(2)如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，
由图象知直线l的倾斜角α的取值范围为{α|0°≤α≤45°}∪{α|135°≤α<180°}．
　1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题
已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．
2．直线的倾斜角和斜率的关系
直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
[跟进训练]
5．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
[解]　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
ABC　[由直线的倾斜角和斜率的定义知，ABC正确，D错误．故选ABC．]
2．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为(　　)
A． 　　　B．－　　　C． 　　　D．－
B　[因为直线的斜率k和倾斜角α的关系是k＝tan α (α≠90°)，
所以当倾斜角为120°时，直线的斜率k＝tan 120°＝－tan 60°＝－．]
3．已知经过两点A(2，3)，B(4，5)的直线的一个方向向量为(1，k)，则k的值为________．
1　[依题意得＝(2，2)，由与方向向量(1，k)共线，可得2k－2＝0，因此k＝1．]
4．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，当m＝________时，直线l的斜率是1.
　[kMN＝＝1，解得m＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？
提示：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.
2．直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？
提示：把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是90°的直线没有斜率．
直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是k＝.
3．直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？
提示：若直线的斜率为k，则n＝(1，k)是其方向向量．
反之若直线的方向向量n＝(x，y)，则斜率k＝(x≠0).2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.1　倾斜角与斜率
学习任务 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象) 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(数学抽象) 3．掌握倾斜角和斜率之间的关系．(逻辑推理) 4．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算)
由初中的平面几何知识，我们知道两点确定一条直线；由必修教材课程中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线．那么，怎样用代数方法刻画直线呢？
知识点1　直线的倾斜角
(1)直线的方向：在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向______，其他直线________的方向为这条直线的方向．
(2)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴________与直线l________之间所成的角．
(3)特例：直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为0°．
(4)倾斜角α的范围：____________．
1．任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　直线的斜率
(1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________．
(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝__________．当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
2．当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．
知识点3　直线的斜率与方向向量的关系
(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为________．
(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝________．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°． (　　)
(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在． (　　)
(3)不存在倾斜角相同的直线． (　　)
(4)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　)
(5)若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应． (　　)
(6)与y轴垂直的直线的斜率为0． (　　)
(7)与x轴垂直的直线的斜率不存在． (　　)
2．若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为________．
类型1　直线的倾斜角
【例1】　(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　　　 B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　)
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　直线倾斜角的求法及注意点
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论；
(2)注意倾斜角的范围．
[跟进训练]
1．(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　)
A．α＋60°　　　　 B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
类型2　直线的斜率和方向向量
【例2】　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　)
A．1　 B．5　　　C．－1　　　D．－5
(2)已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2，4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
[跟进训练]
3．(源自人教B版教材)已知直线l经过点A(0，1)与B(1，1－)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　直线的倾斜角和斜率的综合
【例3】　(1)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
(2)(源自北师大版教材)根据下列条件，求直线l的倾斜角：
①斜率为－；
②经过A(－2，0)，B(－5，3)两点；
③一个方向向量为＝．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
(1)若将本例(1)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
(2)若将本例(1)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角α的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题
已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．
2．直线的倾斜角和斜率的关系
直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
[跟进训练]
5．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为(　　)
A． B．－ C． D．－
3．已知经过两点A(2，3)，B(4，5)的直线的一个方向向量为(1，k)，则k的值为________．
4．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，当m＝________时，直线l的斜率是1．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？
2．直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？
3．直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
学习任务 1．理解两条直线平行与垂直的条件．(数学抽象) 2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理) 3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算)
在平面几何中，我们已经学习了两条直线平行或垂直的性质定理和判定定理．那么，在平面直角坐标系中，怎样根据两条直线的倾斜角或斜率的关系来判断两条直线的平行或垂直关系呢？
知识点1　两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
1．两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
提示：不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
知识点2　两条直线垂直与斜率之间的关系
图示
对应 关系 l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
2.“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？
提示：不是．“两条直线的斜率之积等于－1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
1．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为________．
－8　[由题意知＝－2，
解得m＝－8．]
2．l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________．
－　[由条件l1⊥l2得－×＝－1，解得m＝－．]
类型1　两直线平行的判定及应用
【例1】　(1)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为(　　)
A．1　　　B．0 　　　C．0或1　　　D．0或2
(2)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
①l1经过点A(2，3)，B(－4，0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；
②l1的斜率为－，l2经过点A(4，2)，B(2，3)；
③l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；
④l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)．
(1)C　[法一：∵A(m，3)，B(2m，m＋4)，
∴其方向向量为＝(m，m＋1)．
∵C(m＋1，2)，D(1，0)，
∴其方向向量为＝(－m，－2)，
由直线AB与直线CD平行，得m×(－2)－(m＋1)×(－m)＝0，
解得m＝0或m＝1.
经检验，m＝0或m＝1时，两直线不重合，故选C．
法二：当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在，此时AB∥CD，满足题意．
当m≠0时，kAB＝＝，kCD＝＝，
由题意得kAB＝kCD，即＝，
解得m＝1或m＝0(舍去)．
经检验，m＝0或m＝1时，两直线不重合，
∴m的值为0或1.故选C．]
(2)[解]　①kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行．
②l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合．
③由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1∥l2.
④由题意，知kEF＝＝1，kGH＝＝1，kEF＝kGH，所以l1与l2平行或重合．
需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝＝1.
所以E，F，G，H四点共线，
所以l1与l2重合．
　判断两条不重合的直线是否平行的两种方法
(1)利用直线的斜率判断：
(2)利用直线的方向向量判断：求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，进而得到两条直线是否平行．
[跟进训练]
1．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A，B，C，则点D的坐标为________．
　[法一：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，AB∥CD，AD∥BC．
由两直线平行的条件知kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴
化简，得
解得
∴点D的坐标为.
法二：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，＝.
依题意得，＝，＝，
因此解得
∴点D的坐标为．]
类型2　两条直线垂直的判定及应用
【例2】　已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
[解]　若∠A为直角，则AC⊥AB，
∴kAC·kAB＝－1，
即×＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即×＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
∴kAC·kBC＝－1，
即×＝－1，解得m＝±2.
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
　判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
[跟进训练]
2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[解]　∵A，B两点纵坐标不相等，
∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，
∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，m≠－3.
(1)当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1.
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
(2)当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝＝，
kCD＝＝.
∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，
即＝－1，
解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
类型3　两条直线平行与垂直的综合应用
【例3】　已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD．
[解]　设D(x，y)，由题意得kAB＝＝3，kCD＝＝，kBC＝＝－2，kAD＝.
因为直线CD⊥AB，且BC∥AD，
所以kAB·kCD＝3·＝－1，
kBC＝kAD，即＝－2.
联立解得即D(0，1)．
[母题探究]
将本例中的三点变为A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，其他的条件不变，求点D的坐标．
[解]　设点D的坐标为(x，y)，由已知得直线AB的斜率kAB＝1，直线CD的斜率kCD＝，直线BC的斜率kBC＝－，直线AD的斜率kAD＝，由AB⊥CD，且AD∥BC，
得解得
所以点D的坐标为(10，－6)．
　关于直线平行与垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论．
[跟进训练]
3．已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
[解]　①若∠A＝∠D＝90°，如图1，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．
　
②若∠A＝∠B＝90°，如图2.设A(a，b)，
则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝.
由AD∥BC kAD＝kBC，即＝－3；由AB⊥BC kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1.解得故A.
综上所述，A点坐标为(1，－1)或.
1．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　)
A．　　　B．－　　　C．2　　　D．－2
B　[由kPQ＝kMN，
即＝，得m＝－.
经检验知，m＝－符合题意．]
2．对于两条不重合的直线，下列说法不正确的是(　　)
A．若两直线斜率相等，则两直线平行
B．若l1⊥l2，则k1·k2＝－1
C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交
D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行
B　[当k1＝k2时，l1与l2平行，A正确；B中也可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，不正确；C，D正确．]
3．(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面结论中正确的是(　　)
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．RP⊥QS
ABD　[由斜率公式知：
kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，
所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.而kPS≠kQS，
所以PS与QS不平行，故A、B、D正确．]
4．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
－1　[若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意．
故PQ斜率存在．
由kPQ＝＝1，
得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？
提示：两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在．
2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？
提示：两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
3．经过A，B两点的直线其斜率不存在，则A，B两点的坐标有什么特点？
提示：A，B两点横坐标相同，纵坐标不相同．2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
学习 任务 1．理解两条直线平行与垂直的条件．(数学抽象) 2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理) 3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算)
在平面几何中，我们已经学习了两条直线平行或垂直的性质定理和判定定理．那么，在平面直角坐标系中，怎样根据两条直线的倾斜角或斜率的关系来判断两条直线的平行或垂直关系呢？
知识点1　两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 ________ l1∥l2 两直线斜率都________
图示
1．两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　两条直线垂直与斜率之间的关系
图示
对应 关系 l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零) ____________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ________
2．“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为________．
2．l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________．
类型1　两直线平行的判定及应用
【例1】　(1)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为(　　)
A．1 B．0 　　C．0或1 　　D．0或2
(2)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
①l1经过点A(2，3)，B(－4，0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；
②l1的斜率为－，l2经过点A(4，2)，B(2，3)；
③l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；
④l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断两条不重合的直线是否平行的两种方法
(1)利用直线的斜率判断：
(2)利用直线的方向向量判断：求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，进而得到两条直线是否平行．
[跟进训练]
1．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A，B，C，则点D的坐标为________．
类型2　两条直线垂直的判定及应用
【例2】　已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
[跟进训练]
2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　两条直线平行与垂直的综合应用
【例3】　已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
将本例中的三点变为A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，其他的条件不变，求点D的坐标．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　关于直线平行与垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论．
[跟进训练]
3．已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　)
A．　　　B．－　　　C．2　　　D．－2
2．对于两条不重合的直线，下列说法不正确的是(　　)
A．若两直线斜率相等，则两直线平行
B．若l1⊥l2，则k1·k2＝－1
C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交
D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行
3．(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面结论中正确的是(　　)
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．RP⊥QS
4．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？
2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？
3．经过A，B两点的直线其斜率不存在，则A，B两点的坐标有什么特点？

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