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2.4　圆的方程
2.4.1　圆的标准方程
学习任务 1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算)
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”
如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？
知识点1　圆的标准方程
(1)圆的定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．
(2)圆的标准方程
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？
(2)若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
提示：(1)当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)．
(2)当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|.
知识点2　点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝.
位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点
点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 d1．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．在圆上　　　　 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
B　[∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，
∴点P(－2，－2)在圆外，故选B．]
2．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心坐标为________，半径为________．
[答案]　(1，－5)　
3．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是____________．
[答案]　(x－1)2＋(y＋2)2＝9
类型1　求圆的标准方程
【例1】　(源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程．
[解]　法一：设该圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组
①－②，得
(1－a)2＋(3－b)2＝(4－a)2＋(2－b)2，④
化简、整理，得3a－b－5＝0.⑤
联立③⑤解得代入①，得r2＝5.
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5(如图1)．
法二：如图2，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点．线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0.
联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组
解得即圆心C的坐标为(2，1)．
又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
[母题探究]
如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？
[解]　当线段AB为圆的直径时，过点A、B的圆的半径最小，从而周长最小，
即所求圆以线段AB的中点为圆心，
|AB|＝为半径，故所求圆的标准方程为＋＝.
　求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程只需确定圆心C(a，b)和半径r，其求解方法：一是几何法，常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线交点必为圆心”等；二是待定系数法，由三个独立的条件建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
[解]　(1)设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)法一：(待定系数法)
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
解得
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
类型2　点与圆的位置关系
【例2】　已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
[解]　(1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a>0，可得a＝.
(2)由两点间距离公式可得：
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3.
因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3<，所以3即a的取值范围是(3，)．
　试总结点与圆的位置关系的判断方法．
提示：(1)几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；
(2)代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r2的大小．
[跟进训练]
2．(1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．点P在圆内　 B．点P在圆外
C．点P在圆上 D．不确定
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________．
(1)B　(2)[0，1)　[(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外．
(2)由题意知
即解得0≤a<1．]
1．圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D　[由圆过原点知r＝＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D．]
2．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外　　　 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
B　[由12＋32<24知，点P(1，3)在圆内，故选B．]
3．(2022·哈工大附中期末)经过点A(－4，－5)，B(6，－1)，且以线段AB为直径的圆的标准方程为__________．
(x－1)2＋(y＋3)2＝29　[设P(x，y)为圆上任意一点，
则由＝0知，(x＋4)(x－6)＋(y＋5)(y＋1)＝0，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29．]
4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．
2　[圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的标准方程．
提示：圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．如何求圆的标准方程？
提示：确定圆的标准方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.
3．如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？
提示：法一：(代数法)点P在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
点P在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P在圆内 (x0－a)2＋(y0－b)2法二：(几何法)判断点到圆心的距离与半径的大小．2.4　圆的方程
2.4.1　圆的标准方程
学习任务 1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算)
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”
如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？
知识点1　圆的标准方程
(1)圆的定义
圆是平面上到定点的距离______的点的集合，定点称为圆的______，________称为圆的半径．用集合表示为P＝{M|________}．
(2)圆的标准方程
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？
(2)若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝．
位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点
点在圆外 d>r ________________
点在圆上 d＝r ________________
点在圆内 d1．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．在圆上　　　　　　　 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
2．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心坐标为________，半径为________．
3．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是____________．
类型1　求圆的标准方程
【例1】　(源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程只需确定圆心C(a，b)和半径r，其求解方法：一是几何法，常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线交点必为圆心”等；二是待定系数法，由三个独立的条件建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　点与圆的位置关系
【例2】　已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　试总结点与圆的位置关系的判断方法．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟进训练]
2．(1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．点P在圆内　　　　 B．点P在圆外
C．点P在圆上 D．不确定
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________．
1．圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外　　　　　　 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
3．(2022·哈工大附中期末)经过点A(－4，－5)，B(6，－1)，且以线段AB为直径的圆的标准方程为__________．
4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的标准方程．
2．如何求圆的标准方程？
3．如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？2.4.2　圆的一般方程
学习任务 1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象) 2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算) 3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理)
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？
知识点　圆的一般方程
(1)圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
(2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．
点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
提示：点M在圆外＋Dx0＋Ey0＋F>0；点M在圆上＋Dx0＋Ey0＋F＝0；点M在圆内＋Dx0＋Ey0＋F<0.
1．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是________．
(－∞，－1)　[由x2＋y2－2x＋2k＋3＝0得(x－1)2＋y2＝－2k－2，
因为方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，
所以－2k－2>0，解得k<－1．]
2．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5，0)，则圆C的半径r＝________．
4　[由x2＋y2＋2ax＋9＝0得(x＋a)2＋y2＝a2－9.
由－a＝5得a＝－5，所以r2＝16.
所以圆C的半径r＝4．]
类型1　圆的一般方程的辨析
【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
[解]　法一：根据D2＋E2－4F>0求解．
(1)由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<，
即实数m的取值范围为.
(2)－＝－m，－＝1，
＝
＝，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
法二：化为圆的标准方程求解．
(1)方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m.
由题意知1－5m>0，即m<.
所以实数m的取值范围是.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
　圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
[跟进训练]
1．(源自人教B版教材)判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：
(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；
(2)4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0；
(3)x2＋y2－6x＋10＝0.
[解]　(1)原方程可以化为x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝25，
即(x＋2)2＋(y－3)2＝25，所以是圆心坐标为(－2，3)，半径为5的圆的方程．
(2)方程两边除以4，得x2＋y2－2x＋y－＝0.
将左边配方，得(x－1)2＋＝5，
所以是圆心坐标为，半径为的圆的方程．
(3)因为原方程可以化为x2－6x＋9＋y2＝－1，即(x－3)2＋y2＝－1，
又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程．
类型2　求圆的一般方程
【例2】　(源自湘教版教材)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径．
[思路导引]　不在同一直线上的三点可以确定一个圆设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0建立关于D，E，F的方程组求出D，E，F的值圆的一般方程圆的标准方程→写出圆心坐标和半径．
[解]　设外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①
将圆上三点的坐标依次代入方程①，得到一个关于D，E，F的三元一次方程组
解这个方程组，得D＝－6，E＝－8，F＝0.
因此，外接圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.
整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52.
所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5.
[母题探究]
若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围．
[解]　由M(0，b)在圆x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b>0，
解得b<0或b>8，所以b的取值范围是(－∞，0)∪(8，＋∞)．
　待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．
[跟进训练]
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
[解]　圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，
即D＋E＝－2.　①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20.　②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，
∴－<0，即D>0，则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
类型3　圆的轨迹问题
【例3】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解]　(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵∴
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ(图略)，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[母题探究]
1．本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．
[解]　设点E(x，y)，P(x0，y0)．因为B(1，1)，所以整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0.
2．在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
[解]　设T(x，y)．因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在时有kOT·kBT＝－1.
即×＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上．
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
　求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点Q(x0，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．
[跟进训练]
3．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
[解]　(1)法一：(定义法)设P(x，y)．|MP|＝|ON|＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
除去点和点.
法二：(代入法)如图所示，
设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，从而
又点N(x＋3，y－4)在圆上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点和点.
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)
A．(4，－6)，16　　 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
C　[圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，因此圆心坐标为(－2，3)，半径r＝4，故选C．]
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜2
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜
D　[方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，
所以a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，
所以3a2＋4a－4＜0，
所以(a＋2)(3a－2)＜0，
所以－2＜a＜．]
3．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
x2＋y2－2x＝0　[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
所以
解得D＝－2，E＝0，F＝0，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]
4．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
x2＋y2＝9　[设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以|OM|＝|AB|＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的一般方程．
提示：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
提示：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
3．求动点的轨迹方程有哪些常用方法？
提示：直接法、定义法、代入法．2.4.2　圆的一般方程
学习任务 1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象) 2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算) 3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理)
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？
知识点　圆的一般方程
(1)圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程________________叫做圆的一般方程，此时方程表示以____________为圆心，______________为半径的圆．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点____________
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．
(2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．
点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是________．
2．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5，0)，则圆C的半径r＝________．
类型1　圆的一般方程的辨析
【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
[跟进训练]
1．(源自人教B版教材)判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：
(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；
(2)4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0；
(3)x2＋y2－6x＋10＝0．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　求圆的一般方程
【例2】　(源自湘教版教材)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径．
[思路导引]　不在同一直线上的三点可以确定一个圆设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0建立关于D，E，F的方程组求出D，E，F的值圆的一般方程圆的标准方程→写出圆心坐标和半径．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．
[跟进训练]
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　圆的轨迹问题
【例3】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点Q(x0，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．
[跟进训练]
3．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)
A．(4，－6)，16　　　　　 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜2
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜
3．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
4．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的一般方程．
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
3．求动点的轨迹方程有哪些常用方法？

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