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2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
学习任务 1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(直观想象) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(逻辑推理、数学运算) 3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(逻辑推理、数学运算)
在平面几何中，已经学习了直线与圆的三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离(如图所示)．
通过前面的学习，已经知道，借助平面直角坐标系，平面内的直线l与圆C可以分别用方程表示．那么，由直线l与圆C的方程，如何判断它们的位置关系呢？
知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
判定方法 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系．
(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离．
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　)
A．相交　　　 B．相切
C．相离 D．相切或相交
A　[圆心到直线的距离d＝＝1<4，所以直线与圆相交，故选A．]
2．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．
0或　[直线l的一般式方程为kx－y＋k＝0，圆C的圆心为(0，1)，半径为1，
由直线l与圆C相切得＝1，解得k＝0或．]
类型1　直线与圆的位置关系的判定
【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，
Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0时，
即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点．
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点．
(3)当Δ<0时，即－即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点．
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．
(3)当d>2时，即－即直线与圆没有公共点．
　判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
提示：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系，d＜r 相交；d＝r 相切；d＞r 相离．
(2)代数法：Δ＝b2－4ac，
[跟进训练]
1．(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)
A．l与C相交　　 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
(2)设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
(1)A　(2)C　[(1)将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．]
类型2　直线与圆的相切问题
【例2】　若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
[解]　∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴点P在圆外．
法一：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∵直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，∵＝1，∴k＝.
∴直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
法二：①若直线l的斜率存在，
设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，
与圆的方程联立消去y得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，
整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，
∴Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，
∴k＝.此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
[母题探究]
1．在本例条件下，求此切线长．
[解]　点P(2，3)到圆心(1，－2)的距离为＝，
∴切线长为＝5.
2．若本例点P的坐标改为P(2，－2)，其他条件不变，求直线l的方程．
[解]　∵(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，∴点P在圆上．
∴过P(2，－2)的切线方程为x＝2，
即直线l的方程为x＝2.
　圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
③过圆外一点的切线有两条．
提醒：注意切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．(1)(2022·南京市调研)经过点M(2，)，且与圆x2＋y2＝10相切的直线的方程为________．
(2)经过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切的直线的方程为________．
(1)2x＋y－10＝0　(2)x＝4或21x－20y＋16＝0
[(1)法一：因为22＋()2＝10，
所以点M在圆x2＋y2＝10上，
由题意可知圆心C的坐标为(0，0)，
则直线CM的斜率kCM＝.
因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率k＝－.
故经过点M的切线方程为y－＝－(x－2)，
整理得2x＋y－10＝0.
法二：显然点M(2，)在圆x2＋y2＝10上，因为过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，故所求切线方程为2x＋y＝10，即2x＋y－10＝0.
(2)因为(4－2)2＋52＝29>4，所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外．
法一：若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为y－5＝k(x－4)，
即kx－y＋5－4k＝0.
又圆心为(2，0)，半径r＝2，且圆心到切线的距离等于半径，
所以＝2，解得k＝，
所以直线的方程为21x－20y＋16＝0.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为x＝4，显然满足题意．
综上可知，满足题意的直线的方程为21x－20y＋16＝0或x＝4.
法二：设所求切线方程为(x0－2)(x－2)＋y0y＝4，其中(x0，y0)是圆上的切点，
将(4，5)代入后，得2(x0－2)＋5y0＝4.
由
解得或
故所求切线方程为x＝4或21x－20y＋16＝0．]
类型3　直线与圆相交问题
【例3】　(源自人教B版教材)已知直线l：x＋y＋2＝0与圆C：x2＋y2＝9相交于A、B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)求线段AB中点的坐标．
[解]　(1)法一：如图所示，设AB的中点为M，根据垂径定理可知OM⊥AB，因此△AMO是个直角三角形．
由点到直线的距离公式可知|OM|＝＝，
又OA是圆的半径，因此|OA|＝＝3，
从而在Rt△AMO中，有|AM|＝＝＝.
因此|AB|＝2|AM|＝2.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)都是直线x＋y＋2＝0上的点，所以
第二式减去第一式可得x2－x1＋y2－y1＝0，因此y2－y1＝－(x2－x1)，
从而|AB|2＝(x2－x1)2＋[－(x2－x1)]2＝2(x2－x1)2.
又因为从方程组
中消去y，整理可得2x2＋4x－5＝0，而且x1，x2是这个方程的两个根，
因此由根与系数的关系可知
所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝(－2)2－4×＝14，
因此|AB|2＝2×14＝28，从而可知|AB|＝2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则
x0＝，y0＝.
由(1)中的法二可知
x0＝＝＝－1，
又因为直线l的方程可以化为y＝－x－2，
所以y0＝＝＝－－2＝－(－1)－2＝－1，
因此所求中点坐标为(－1，－1)．
　1．求圆的弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法；
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
2．利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况．
[跟进训练]
3．过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
[解]　将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝
＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为
y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，
得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
B　[∵圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离
d＝＝<1，
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0，0)不在y＝x＋1上，
∴直线不过圆心．]
2．已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　)
A．5 　　　B．4　　　C．3 　　　D．2
C　[由题意知圆心(1，0)到直线x＝a的距离为2，即|a－1|＝2(a>0)，解得a＝3．]
3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
x－y＋2＝0　[由题意点P在圆上且P为切点．
∵点P与圆心(2，0)连线的斜率为＝－，
∴切线的斜率为，
∴切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0．]
4．圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________．
(x－2)2＋(y＋1)2＝4　[设圆的半径为r，由条件，
得圆心到直线y＝x－1的距离d＝＝.又由题意知，半弦长为，
∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
提示：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
2．如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？
提示：(1)点在圆上时，可先求点与圆心连线的斜率，根据切线垂直于过切点的半径，确定切线的斜率，从而求出切线方程．
(2)点在圆外时，可设出切线的点斜式方程，利用几何法或代数法求解，当只有一解时，应注意斜率不存在的情况．
3．直线和圆相交时，如何求弦长？
提示：(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
学习任务 1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(直观想象) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(逻辑推理、数学运算) 3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(逻辑推理、数学运算)
在平面几何中，已经学习了直线与圆的三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离(如图所示)．
通过前面的学习，已经知道，借助平面直角坐标系，平面内的直线l与圆C可以分别用方程表示．那么，由直线l与圆C的方程，如何判断它们的位置关系呢？
知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 __个 __个 __个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r
判定方法 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0
(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系．
(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离．
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　)
A．相交　　　 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．
类型1　直线与圆的位置关系的判定
【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟进训练]
1．(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)
A．l与C相交　　 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
(2)设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
类型2　直线与圆的相切问题
【例2】　若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．在本例条件下，求此切线长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若本例点P的坐标改为P(2，－2)，其他条件不变，求直线l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
③过圆外一点的切线有两条．
提醒：注意切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．(1)(2022·南京市调研)经过点M(2，)，且与圆x2＋y2＝10相切的直线的方程为________．
(2)经过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切的直线的方程为________．
类型3　直线与圆相交问题
【例3】　(源自人教B版教材)已知直线l：x＋y＋2＝0与圆C：x2＋y2＝9相交于A、B两点．
(1)求线段AB的长；
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)求线段AB中点的坐标．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求圆的弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法；
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
2．利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况．
[跟进训练]
3．过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2．已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　)
A．5　　　B．4　　　C．3　　　D．2
3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
4．圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
2．如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？
3．直线和圆相交时，如何求弦长？第2课时　直线和圆的方程的实际应用
学习任务 1．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模、数学运算) 2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．(直观想象)
有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽是多少？
如何才能正确地解决上述问题？
知识点　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．
1．某涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
D　[没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．]
2．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．
－2　[圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0距离为＝，则从村庄外围到小路的最短距离为－2．]
类型1　圆的方程的实际应用
【例1】　某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
[解]　建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有
A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，
D(－5，0)，E(5，0)．
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则有解得
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m，3<3.1，
所以该船可以从桥下通过．
　建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
[跟进训练]
1．如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m.
2　[如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m)．]
类型2　直线与圆的方程的实际应用
【例2】　如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？
[解]　(1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)该船初始位置为点D，则D(－20，－20)，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0，
由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10，
由于圆心C到直线l的距离
d＝＝10＜10，故该船有触礁的危险．
　试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．
提示：(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
[跟进训练]
2．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[解]　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，
即4x＋7y－28＝0.圆心(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，
因为d>r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
1．一辆宽1.6 m的卡车，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的高度不得超过(　　)
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
B　[如图，建立平面直角坐标系，
|OA|＝3.6，|AB|＝0.8，
则|OB|＝≈3.5，
所以卡车的高度不得超过3.5 m．]
2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．π
D　[如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的.
]
3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________．
∪　[由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，
所以d＝≥1，
即a≥或a≤－．]
4．如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为________米．
13　[如图，设圆心为O，半径为r，
则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13米．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用坐标法解答几何问题？
提示：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
2．用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？
提示：第2课时　直线和圆的方程的实际应用
学习任务 1．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模、数学运算) 2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．(直观想象)
有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽是多少？
如何才能正确地解决上述问题？
知识点　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．
1．某涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
2．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．
类型1　圆的方程的实际应用
【例1】　某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
[跟进训练]
1．如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m．
类型2　直线与圆的方程的实际应用
【例2】　如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟进训练]
2．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一辆宽1.6 m的卡车，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的高度不得超过(　　)
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．π
3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________．
4．如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为________米．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用坐标法解答几何问题？
2．用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？2.5.2　圆与圆的位置关系
学习任务 1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象) 2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算) 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
前面我们已经借助直线和圆的方程研究了它们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？
知识点　两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1， r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示：(1)公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
(2)当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　)
提示：(1)×　只有一组实数解时可能外切也可能内切．
(2)×　当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交．
(3)×　只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程．
2．圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是________．
外切　[圆O1的圆心O1(－2，2)，半径r1＝1，
圆O2的圆心O2(2，5)，半径r2＝4，
∴|O1O2|＝＝5＝r1＋r2，
∴圆O1与圆O2外切．]
类型1　两圆位置关系的判断
【例1】　(1)判断圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1的位置关系，如果相交，求出它们交点所在的直线的方程．
(2)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.问：m为何值时，
①圆C1与圆C2外切？
②圆C1与圆C2内含？
[解]　(1)法一：两圆的圆心距为＝，
又因为2－1<<2＋1，所以C1与C2相交．
解方程组
可得或因此两圆的交点为(2，0)，，从而可以求得交点所在的直线方程为2x＋y－4＝0.
法二：设C1与C2的交点为A，B，
则A，B的坐标都满足方程组
将方程组的第一式减去第二式，整理可得2x＋y－4＝0，
显然，A，B的坐标都满足上式，又因为两点能确定一条直线，所以上式就是所求直线的方程．
(2)把圆C1，圆C2的方程化为标准方程，得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
两圆圆心的坐标分别为(m，－2)，(－1，m)，半径分别为3，2.
①若圆C1与圆C2外切，则
＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
②若圆C1与圆C2内含，则
<3－2，即m2＋3m＋2<0，解得－2　试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．
提示：(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d.
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．
[跟进训练]
1．(1)圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　)
A．1条 　　　B．2条　　　C．3条 　　　D．4条
(2)已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
①相切；②相交；③外离；④内含．
(1)C　[圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径等于3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0，3)，半径等于2.
两圆的圆心距等于＝5＝2＋3，
两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，
故选C．]
(2)[解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
①当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
②当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
③当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
④当|C1C2|＜3，即0类型2　相交弦及圆系方程问题
【例2】　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[解]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组
的解．
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆C1的圆心(－3，0)，r＝，
∴C1到直线AB的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，
即两圆的公共弦长为5.
(2)法一：解方程组
得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则＝，
解得a＝，故圆心为，半径为.
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
[母题探究]
1．本例条件不变，求两圆公共弦所在直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦长．
[解]　圆C3的圆心为C3(1，1)，半径R＝5，圆心到直线l的距离d′＝＝2，由条件知R2－d′2＝52－(2)2＝17.
所以直线l被圆C3截得的弦长为2.
2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
[解]　根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆．
∵AB所在直线方程为x－y＋4＝0，
C1C2所在直线方程为x＋y＋3＝0.
∴由得圆心，
由本例(1)解析知|AB|＝5，
∴半径r＝，
故所求圆的方程为＋＝.
　1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[跟进训练]
2．已知点P(－1，－2)在圆C上，且圆C经过直线x＋y＝0与圆C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，求圆C的方程．
[解]　法一：由
得或
所以直线x＋y＝0与圆C1交于点A(1，－1)和点B(－4，4)．
设所求圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
将点A，B，P的坐标代入，得
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以所求圆C的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
法二：设所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0.
因为点P(－1，－2)在圆C上，
所以(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1，
所以所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，
即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
类型3　两圆的相切问题
【例3】　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝.②
＝r.③
解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
[母题探究]
1．将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？
[解]　因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，
所以解得
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
2．将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切”，试求实数m的值．
[解]　圆x2＋y2－2x＝0的圆心为A(1，0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圆心为B(4，4)，半径为r2＝.因为两圆相外切，
所以＝1＋，解得m＝16.
　处理两圆相切问题的两个步骤
定性 即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论
转化 思想 即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)
[跟进训练]
3．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
[解]　(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.
又因为圆O2的圆心O2(2，1)，
所以圆心距|O1O2|＝＝2，
由圆O2与圆O1外切，得圆O2的半径为2－2，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)因为圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，
所以圆心O1到直线AB的距离为＝.
当圆心O2到直线AB的距离为时，圆O2的半径为＝2.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
当圆心O2到直线AB的距离为3时，圆O2的半径为＝.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.
综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
B　[圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0，故圆心坐标与半径分别为O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝，r2－r1＝1，r1＋r2＝3，1<<3，所以两圆相交．]
2．已知圆M的圆心坐标为(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为(　　)
A．(x－2)2＋y2＝2
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
B　[两圆圆心距2，圆M的半径为2－1＝1，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1．]
3．圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
A　[两圆方程相减，消去二次项得4x－1＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．]
4．已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2＋8x－6y＋25－r2＝0(r>0)有公共点，则r的取值范围是________．
[2，8]　[圆x2＋y2＝9，其圆心为(0，0)，半径为3，圆x2＋y2＋8x－6y＋25－r2＝0，其圆心为(－4，3)，半径为r，两圆的圆心距d＝5.因为两圆有公共点，所以|3－r|≤5≤3＋r，解得2≤r≤8．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断两圆的位置关系有哪些方法？
提示：(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．
2．两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？
提示：圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，
两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2；
两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|.
3．两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？
提示：求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．2.5.2　圆与圆的位置关系
学习任务 1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象) 2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算) 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
前面我们已经借助直线和圆的方程研究了它们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？
知识点　两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1， r2的关系 _________ ________ |r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 _个 _个 _个
两圆的位置关系 ____ ____或____ ____或____
(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　)
2．圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是________．
类型1　两圆位置关系的判断
【例1】　(1)判断圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1的位置关系，如果相交，求出它们交点所在的直线的方程．
(2)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.问：m为何值时，
①圆C1与圆C2外切？
②圆C1与圆C2内含？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟进训练]
1．(1)圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　)
A．1条 　　　B．2条　　　C．3条 　　　D．4条
(2)已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
①相切；②相交；③外离；④内含．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　相交弦及圆系方程问题
【例2】　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．本例条件不变，求两圆公共弦所在直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[跟进训练]
2．已知点P(－1，－2)在圆C上，且圆C经过直线x＋y＝0与圆C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，求圆C的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　两圆的相切问题
【例3】　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切”，试求实数m的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　处理两圆相切问题的两个步骤
定性 即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论
转化 思想 即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)
[跟进训练]
3．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
2．已知圆M的圆心坐标为(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为(　　)
A．(x－2)2＋y2＝2
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
3．圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
4．已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2＋8x－6y＋25－r2＝0(r>0)有公共点，则r的取值范围是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断两圆的位置关系有哪些方法？
2．两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？
3．两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？

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