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全书要点速记
第四章　数列
01
要点一　数列的概念
1．在数列{an}中，
an＋1＞an {an}是递增数列；
an＋1＜an {an}是递减数列；
an＋1＝an {an}为常数列．
2．一般规律数列
(1)数列1，2，3，4，…的通项公式是an＝n(n∈N*)；
(2)数列1，3，5，7，…的通项公式是an＝2n－1(n∈N*)；
(3)数列2，4，6，8，…的通项公式是an＝2n(n∈N*)；
(4)数列1，2，4，8，…的通项公式是an＝2n-1(n∈N*)；　
(5)数列1，4，9，16，…的通项公式是an＝n2(n∈N*)；　
(6)数列1，，，，…的通项公式是an＝(n∈N*)．　
要点二　等差数列
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．等差中项
a，A，b成等差数列 A是a，b的等差中项 2A＝a＋b．
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
4．等差数列的前n项和公式
首项为a1，公差为d，末项为an，项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn＝＝na1＋．
5．等差数列的性质
数列{an}是公差为d的等差数列，则：
(1)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝(n≠m)．
(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
特别地，①若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N*)；
②有穷等差数列中，与首末两项等“距离”的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…．
(3)下标成等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成以md为公差的等差数列．
(4)数列{tan＋λ}(t，λ是常数)是公差为td的等差数列．
(5)若数列{bn}为等差数列，则数列{tan±λbn}(t，λ是常数)仍为等差数列．
6．等差数列前n项和的性质
(1)项数的“等和”性质：Sn＝＝．
(2)若等差数列共有2n－1项，则S2n－1＝an；
若等差数列共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)．
(3)与项数有关的“奇偶”性质(S奇，S偶分别表示所有奇数项的和与所有偶数项的和)：
①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
②若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·．　
(5)“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列．
(6)数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．
7．等差数列的判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*) {an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数) {an}是等差数列．
(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数) {an}是等差数列．
要点三　等比数列
1．等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
2．等比中项
a，G，b成等比数列 G是a，b的等比中项 G2＝ab(ab≠0)．
3．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝a1qn-1(a1，q≠0)．
4．等比数列的前n项和公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和公式为
Sn＝
5．等比数列的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则
(1)an＝amqn－m(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则aman＝apaq．
特别地：①若m＋n＝2r，则aman＝(m，n，r∈N*)；
②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i(n∈N*，n≥2，i＝1，2，…，n)．
(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．
(4)数列{λan}(λ≠0)仍是公比为q的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
数列{|an|}是公比为|q|的等比数列；
若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列．
(5)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk+1．
(6)已知b>0且b≠1，如果数列{an}是以d为公差的等差数列，那么数列是以bd为公比的等比数列．
如果数列{an}是各项均为正且公比为q的等比数列，那么数列{logban}是以logbq为公差的等差数列．
6．等比数列前n项和的性质
(1)当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝．
(2)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm．
(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q．
(4)当q≠－1时，连续m项的和(如，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(公比为qm，m≥2)．
7．等比数列的判断方法
(1)定义法：如果数列{an}满足关系式＝q(q≠0，n∈N*)，那么数列就是一个以q为公比的等比数列．
(2)等比中项法：如果数列{an}满足关系式＝an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，那么数列{an}就是一个等比数列．
(3)通项公式法：如果数列{an}满足关系式an＝k·qn-1(k≠0，q≠0，n∈N*)，那么该数列{an}是以k为首项，以q为公比的等比数列．
(4)前n项和法：如果数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0)，那么数列{an}是一个等比数列．
8．求数列{an}通项公式的方法
(1)公式法：若{an}为等差数列，则an＝a1＋(n－1)d；
若{an}为等比数列，则an＝a1qn-1．
(2)累加法：an＋1－an＝f (n)型．
(3)累积法：＝f (n)型．
(4)构造法：即构造等差数列或等比数列求通项．
9．数列求和的方法
(1)裂项相消法：常见的裂项类型与方法如下：
①an＝＝(t≠0)；
②an＝＝；
③an＝loga＝loga(n＋1)－logan；
④an＝＝[－]；
⑤an＝＝－．
(2)错位相减法
设数列{an}为等差数列，公差为d；数列{bn}为等比数列，公比为q(q≠1)；数列{anbn}的前n项和为Tn．则Tn的求解步骤如下．
①列出和式Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn．
②两边同乘以公比q：qTn＝a1b1q＋a2b2q＋a3b3q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋anbn＋1．
③两式相减(错位相减)并求和：
(1－q)Tn＝a1b1＋(a2b2－a1b2)＋(a3b3－a2b3)＋…＋(anbn－an－1bn)－anbn＋1＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d×－anbn＋1．
④两边同除以(1－q)即得数列{anbn}的前n项和Tn．
(3)分组求和法
分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成cn＝an＋bn的形式的数列求和问题，其中数列{an}与{bn}是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列．基本的解题步骤为：
①准确拆分，根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；
②分组求和，分别求出各个数列的和；
③得出结论，对拆分后每个数列的和进行求和，解决原数列的求和问题．
第五章　一元函数的导数及其应用
02
要点一　导数的几何意义
1．导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f (x)在点(x0，f ′(x0))处的切线的斜率k0，即
k0＝f ′(x0)＝．
2．切线方程的求法
(1)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y＝f ′(x0)(x－x0)＋y0．
(2)求曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤：
①设切点为A(xA，f (xA))，求切线的斜率k＝f ′(xA)，写出切线方程(含参)；
②把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．
要点二　导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
函数 导数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ax ln a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x
2．导数的四则运算及复合函数的导数
和差的导数 [f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)，可推广为[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)
乘积的导数 [f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)，
特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x)
商的导数
复合函数 的导数 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
要点三　导数的应用
1．函数单调性与其导函数的关系
一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a，b)上，如果f ′(x)>0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调递增；
在某个区间(a，b)上，如果f ′(x)<0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调递减．
2．函数极值的概念
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，则我们把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
“f ′(x0)＝0”是“x0为极值点”的必要不充分条件．
3．利用导数判断函数单调性的一般步骤
—般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f (x)的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出
f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
4．求函数极值的方法
一般地，可按如下方法求函数y＝f (x)的极值：
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极小值．
5．求函数最值的方法
一般地，求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
6．不等式恒成立问题
(1)不等式f (x)≥0在定义域内恒成立，等价于≥0；
(2)不等式f (x)≤0在定义域内恒成立，等价于≤0；
(3)不等式f (x)>g(x)，x∈(a，b)恒成立，等价于F (x)＝f (x)－g(x)>0，x∈(a，b)恒成立．

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