资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
定比点差法
1.定比分点
（1）若，则称点M为线段AB的定比分点。
①当时，点M在线段AB上，称点M为内分点；
②当时，点M在线段AB的延长线或反向延长线上，称点M为外分点。
（2）定比分点公式：若点，，则点M的坐标为.
2.定比点差法的原理
若，，则称M，N调和分割A，B，根据定义，那么A，B也调和分割M，N.
定理 设A，B为有心二次曲线上的两点，若存在M，N两点，满足，，则一定有.
【证明】（1）设点因为，，所以由定比分点公式可得，，.将A，B的坐标代入曲线方程，得，得，于是，则.
（2）若点M为异于原点的定点，则点N在直线上。
3.定比点差法的基本题型
（1）求弦长被坐标轴分成的两段的比值范围；
（2）简化证明过定点的直线问题的运算及定值问题。
已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于A，B两点（可重合），求的取值范围.
【简要答案】
【答案】设，则，将A，B的坐标代入椭圆方程，得，①－②得，可得，又因为，所以，因为，所以，所以.
已知椭圆，直线与y轴交于点P，与椭圆交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得，求m的取值范围。
【简要答案】
【答案】当时，，显然成立；当时，，因为A，P，B三点共线，所以，所以.
由定比点差法可得，所以，结合可得且，可得。
过点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足，求证：Q点总在某定直线上。
【简要答案】
【答案】由定比点差法可知：点Q在直线上。
已知分别为有心二次曲线的左右焦点，P为曲线上任一点，直线分别交曲线于点A，B（异于点P），设，，求证：为定值.
【简要答案】
【答案】设，由定比点差可知，于是，又，①+②得，同理，所以为定值。
已知椭圆，过点作椭圆的割线AB，C为B关于x轴的对称点，求证：直线AC恒过定点。
【简要答案】（1,0）
【答案】设，则，设AC与x轴的交点为，，，所以，，所以，，由定比点差法可知，所以，所以m=1，所以直线过定点（1,0）。
过椭圆的右焦点F的直线交其于A、B两点，点，求证：。
【简要答案】略
【答案】当直线AB与x轴重合或垂直时，显然成立，当AB不与x轴重合或垂直时，设，点B关于x轴的对称点为，令ON为的角分线，下面证明在N与M重合来证明。
根据角平分线定理，设，所以，则，，由定比点差可知，所以N与M重合，即。
已知椭圆，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B，设，直线PA与椭圆交于C，直线PB与椭圆交于D，若C，D和点共线，求k。
【简要答案】1
【答案】设，，则，由定比点差可知，同理，故，由C，D，Q共线，可知，化简可得，所以
练习题
1.已知点，椭圆上的两点A,B满足，则当m为何值时，点B的横坐标的绝对值最大？
【简要答案】5
【答案】由定比点差法可得，所以，，所以，所以，所以，所以m=5时符合题意。
2.过椭圆左焦点的直线与椭圆交于AB两点，且AB的斜率为，延长AP，BP分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值。
【简要答案】
【答案】设，，由定比点差可知，，
，所以。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
定比点差法
1.定比分点
（1）若，则称点M为线段AB的定比分点。
①当时，点M在线段AB上，称点M为内分点；
②当时，点M在线段AB的延长线或反向延长线上，称点M为外分点。
（2）定比分点公式：若点，，则点M的坐标为.
2.定比点差法的原理
若，，则称M，N调和分割A，B，根据定义，那么A，B也调和分割M，N.
定理 设A，B为有心二次曲线上的两点，若存在M，N两点，满足，，则一定有.
【证明】（1）设点因为，，所以由定比分点公式可得，，.将A，B的坐标代入曲线方程，得，得，于是，则.
（2）若点M为异于原点的定点，则点N在直线上。
3.定比点差法的基本题型
（1）求弦长被坐标轴分成的两段的比值范围；
（2）简化证明过定点的直线问题的运算及定值问题。
已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于A，B两点（可重合），求的取值范围.
已知椭圆，直线与y轴交于点P，与椭圆交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得，求m的取值范围。
过点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足，求证：Q点总在某定直线上。
已知分别为有心二次曲线的左右焦点，P为曲线上任一点，直线分别交曲线于点A，B（异于点P），设，，求证：为定值.
已知椭圆，过点作椭圆的割线AB，C为B关于x轴的对称点，求证：直线AC恒过定点。
过椭圆的右焦点F的直线交其于A、B两点，点，求证：。
已知椭圆，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B，设，直线PA与椭圆交于C，直线PB与椭圆交于D，若C，D和点共线，求k。
练习题
1.已知点，椭圆上的两点A,B满足，则当m为何值时，点B的横坐标的绝对值最大？
2.过椭圆左焦点的直线与椭圆交于AB两点，且AB的斜率为，延长AP，BP分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑