资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
点差法
1、点差法的原理
设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
2.有心二次曲线的点差法
（1）设点：若，是椭圆上不重合的两点，则，
（2）作差：两式相减得，
（3）表斜率：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，
注意：在双曲线中有适用条件
当中点满足时，中点弦不存在。
3.抛物线中的点差法
已知抛物线，其任意弦AB的中点为，将点代入曲线方程，得，两式作差，得，式子两边同除以，得。
4.点差法的基本题型
（1）求以定点为中点的弦所在直线的方程；
（2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题；
（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的问题；
与中点有关的集合特征：中垂线、等腰三角形、平行四边形等。
一、求直线问题
已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．
【简要答案】
【答案】
由题意得，又，解得．
∴椭圆的方程为．∴椭圆右焦点的坐标为，
设线段的中点为，
由三角形重心的性质知，从而，
解得，所以点Q的坐标为．
设，则，且，
以上两式相减得，
∴，
故直线的方程为，即．
答案：
已知双曲线，过能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且B为线段PQ的中点？
【简要答案】不存在
【答案】假设直线存在，由点差法，所以，可得，此时联立方程得，所以，矛盾。
已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【简要答案】B
【答案】由题意得：设，都在抛物线上
，直线还经过，
所以直线方程为。
已知是抛物线的焦点,是上的两个点,线段的中点为,则的面积等于 ．
【简要答案】2
【解析】:代入结论可得，，直线AB方程为，面积为2。
二、求轨迹问题
已知椭圆的方程是.设斜率为的直线,交椭圆于 两点,的中点为.证明:当直线平行移动时,动点在一条过原点的定直线上.
【简要答案】略
【答案】利用点差法可得：，即，即在过原点的定直线上。
已知椭圆的弦AB所在的直线过点，求AB的中点F的轨迹方程。
【简要答案】
【答案】设，①当AB斜率存在时，由点差法可得，即（），整理得（）；②当AB斜率不存在时，，此时，满足方程，综上F的轨迹为。
设椭圆方程为:,过点的直线交椭圆于点,是坐标原点,点满足,当绕点旋转时，求动点的轨迹方程。
【简要答案】
【答案】设，①当AB斜率存在时，由点差法可得，即（），整理得（）；②当AB斜率不存在时，，此时，满足方程，综上P的轨迹为。
三、与中点有关的圆锥曲线问题
已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【简要答案】A
【答案】设A（，），B（，），又的中点为，则
又因为A、B在椭圆上所以
两式相减，得：
∵,
∴，∴，平方可得, ∴=,，
故选A.
已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为 .
【简要答案】：.
【答案】中点弦问题一般采用点差法.，
设两式作差得
即
，所以双曲线方程为.
已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.
【简要答案】
【答案】由△外接圆的面积为，则其外接圆半径为.
∵△是以为底边的等腰三角形，设，则，
∴，得，∴或.
不妨设点在轴下方，由△是以为底边的等腰三角形，知：或
又根据点差法可得，有，而此时焦点在轴上，舍去)∵为椭圆的右焦点，
∴，故椭圆的长轴长为.故答案为：.
已知直线：与椭圆：交于，两点.
（1）若直线过椭圆的左焦点，求；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.
【简要答案】（1）；（2）.
【答案】（1）由题意，椭圆，可得，
则，左焦点，
则直线的方程为，设，，
联立方程，整理得，
所以，且，，
所以.
（2）设，，的中点，
由题知线段的垂直平分线方程为，直线不平行于轴，即，由，两式相减整理得 ①，
因为是的中点，所以，，
因为，所以，
所以①变形为，解得，所以，
代入直线，可得，解得.
练习题
1.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由结论可得：，得，，选D。
2.已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且的中点为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由结论可得：，得，，选B。
3．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
【解析】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），
F（x2，y2），则有①，②，
①﹣②式可得：
又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，
∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0即得kEF=
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选D．
4．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率. 故选：C.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
点差法
1、点差法的原理
设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
2.有心二次曲线的点差法
（1）设点：若，是椭圆上不重合的两点，则，
（2）作差：两式相减得，
（3）表斜率：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，
注意：在双曲线中有适用条件
当中点满足时，中点弦不存在。
3.抛物线中的点差法
已知抛物线，其任意弦AB的中点为，将点代入曲线方程，得，两式作差，得，式子两边同除以，得。
4.点差法的基本题型
（1）求以定点为中点的弦所在直线的方程；
（2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题；
（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的问题；
与中点有关的集合特征：中垂线、等腰三角形、平行四边形等。
一、求直线问题
已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．
已知双曲线，过能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且B为线段PQ的中点？
已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
已知是抛物线的焦点,是上的两个点,线段的中点为,则的面积等于 ．
二、求轨迹问题
已知椭圆的方程是.设斜率为的直线,交椭圆于 两点,的中点为.证明:当直线平行移动时,动点在一条过原点的定直线上。
已知椭圆的弦AB所在的直线过点，求AB的中点F的轨迹方程。
设椭圆方程为:,过点的直线交椭圆于点,是坐标原点,点满足,当绕点旋转时，求动点的轨迹方程。
三、与中点有关的圆锥曲线问题
已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为 .
已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.
已知直线：与椭圆：交于，两点.
（1）若直线过椭圆的左焦点，求；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.
练习题
1.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且的中点为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
3．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
4．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑