资源简介 海淀区数学查漏补缺题 2008.05.19三角部分1. 已知且(I)求(或);(II) 求解(I),.() (II),.,..解法2:,,. .2.右图为函数的一段图象. (I)请写出这个函数的一个解析式; (II)求与(I)中函数图象关于直线对称的函数图象的解析式,并作出它一个周期内的简图.解:(I)又由的图象过(为其中一个值).∴为所求.(II)设为所求函数图象上任意一点,该点关于直线对称点为,则点必在函数的图象上.∴,即的图象关于直线对称的函数图象的解析式是.列表: 作图: 00-3030概率3.(文科)一辆车要直行通过某十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶). 已知每辆车直行的概率是,左转行驶的概率是,该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟. 假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟,一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟,求: (I)前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率; (II)该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)解:(Ⅰ)前4辆恰有2辆左转行驶的概率 (Ⅱ)该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率 .4.(理科) 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解:(Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下:ξ0123P甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则P(A)===,P(B)===.因为事件A、B相互独立,方法一:∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P()=P()P()=(1-)(1-)=.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P()=1-=.答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.方法二:∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=.答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.立体几何5. 已知矩形ABCD中,AB=,AD=1. 将△ABD沿BD折起,使点A在平面BCD内的射影落在DC上.(Ⅰ)求证:平面ADC⊥平面BCD; (Ⅱ)求点C到平面ABD的距离;(Ⅲ)若E为BD中点,求二面角B-AC-E的大小. 方法1:(Ⅰ)证明:∵点A在平面BCD上的射影落在DC上,即平面ACD经过平面BCD的垂线,∴平面ADC⊥平面BCD. (Ⅱ)解:依条件可知BC⊥DC,又平面平面,且平面平面=∴BC⊥平面ACD. ∵DA平面ACD,∴BC⊥DA. ① 依条件可知DA⊥AB. ②∵AB∩BC=B,∴由①、②得DA⊥平面ABC.设点C到平面ABD的距离为d,∵DA⊥平面ABC,∴DA是三棱锥D-ABC的高.∴由VC-ABD=VD-ABC,得dS△ABD=DAS△ABC. 解得d=.即点C到平面ABD的距离为. (Ⅲ)解:取中点,连为中点由(Ⅱ)中结论可知DA⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.过F作FG⊥AC,垂足为G,连结EG,则GF为EG在平面ABC的射影,∴∠EGF是所求二面角的平面角. 在△ABC中FG=BC=, 又EFAD,∴EF=在△EFG中容易求出∠EGF=45°.即二面角B-AC-E的大小是45°. 方法2:(Ⅰ)证明:如图,以CB所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,过点C,平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.所以C(0,0,0), B(1,0,0),D(0,-,0),设∵点A在平面BCD上的射影落在DC上,由且,得.∴点A的坐标为A(0,,).∵n1=(0,0,1)是平面BCD的一个法向量.而=(1,0,0)是平面ADC的一个法向量.∵n1·= (0,0,1)·(1,0,0)=0,∴平面ACD⊥平面BCD. (Ⅱ)解:设点C到平面ABD的距离为d,∵=(0,,-),=(1,,),=(0,,),容易求出平面ABD的一个法向量为n2=(-,1,-1) .∴d=|||cos<,n2>|=|1×|=.即点C到平面ABD的距离为.(Ⅲ)解:∵= (-1,-,), =(1,0,0),∴容易求出平面ABC的一个法向量为n3= (0,1,1) .又A(0,-,),E(,-,0),∴= (,0,-).∴容易求出平面AEC的一个法向量为n4= (2,,) .∵n3·n4=0++=2,| n3|=,| n4|=2,∴cos< n3,n4>==. ∴二面角B-AC-E的大小是45°. 6*. 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=NC1.(Ⅰ)求证:AM面BC;(或若为的中点,求证:.)(Ⅱ)若二面角B1-AM-N的平面角的余弦值为,求的值;(Ⅲ)在第(Ⅱ)的前提下,求点B1到平面AMN的距离.解法1:(Ⅰ)因为M是底面BC边上的中点,且AB=AC,所以AMBC,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面, AM 又.所以AM平面. (或:连结, 又,.) (II)因为AM平面 且M平面,NM平面 ∴AMM, AMNM,∴MN为二面角—AM—N的平面角.∴,设C1N=,则CN=1-又M=,MN=, 连N,得N=,在MN中,由余弦定理得, 得=.故=2.(III)过在面内作直线,为垂足.又平面,所以AMH.于是H平面AMN,故H的长即为到平面AMN的距离.在中,H=M.故点到平面AMN的距离为1. 解法2:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,1),M(0,,0),C(0,1,0), A (),设N (0,1,a) ,所以,,,因为所以,同法可得.又故AM面BC.(II)由(Ⅰ)知﹤﹥为二面角—AM—N的平面角,以下同法一.(Ⅲ)设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量,则由得,由(II)知. 故可取到平面AMN的距离为解不等式7. 已知集合A=,B=. (I)当a=2时,求AB; (II)求使BA的实数a的取值范围.解:(I)当a=2时,A=(2,7),B=(4,5)∴ A B=(4,5)(II)解集合B=,当,则 B=;当,则 B=(2a,a2+1),解集合A=当a<时,A=(3a+1,2);当a=时,A=;当a>时,A=(2,3a+1);要使BA,当,则 B=, B A成立;当,则 B=(2a,a2+1),当a<时,A=(3a+1,2)要使B A,必须, 此时a=-1;当a=时,A=,而B,故使BA的a不存在;当a>且时,A=(2,3a+1),要使BA,必须, 此时1综上可知,使BA的实数a的取值范围为8.*(理)已知不等式:----------① --------------------------------------------② ------------------------------------------③ (I)分别求不等式①②的解集. (II)若同时满足①②的x的值也满足不等式③,求实数m的取值范围. (III)若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围. (文)已知不等式:----------------------------------------------------① --------------------------------------------② ------------------------------------------③ (I)分别求不等式①②的解集. (II)若同时满足①②的x的值也满足不等式③,求实数m的取值范围. (III)若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.解:(I) ①的解集为A={x|-1I ②的解集为B={} (II)由(1):或知要满足题意的要求,则方程2x2+mx-1=0的一根小于等于0(文:小于0),另一根大于等于3.设f(x)= 2x2+mx-1,则(文) (III)要满足题意的要求,则方程2x2+mx-1=0的两根应在区间(-1,4]上.设f(x)= 2x2+mx-1,抛物线开口向上且f(0)=-1<0, 故则. 数列9.已知各项均为正数的数列,, 其中, (I)证明 ; (II)设,试证明 ; (III)若数列满足,求数列的前项和.(I)运用数学归纳法证明如下:①当时,由条件知,故命题成立;②假设当时,有 成立那么当时, 故命题成立综上所述,命题对于任意的正整数都成立. (II) (III) 且 数列是以为首项,以2为公比的等比数列. . 10. 已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().(I)若,求;(II)试写出关于的关系式,并求的取值范围; 解:(I). (II), ,当时,. 解析几何11. 已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0).(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;(Ⅱ)设点P、、关于直线y=x的对称点分别为、、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.解:(I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为+,其半焦距., ∴,,故所求椭圆的标准方程为+;(II)点P(5,2)、(-6,0)、(6,0)关于直线y=x的对称点分别为:、(0,-6)、(0,6)设所求双曲线的标准方程为,由题意知半焦距,, ∴,,故所求双曲线的标准方程为.12.已知定点点P在轴上运动,M在x轴上,N为动点,且; (Ⅰ)求点N的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A,B两点,设点, 的夹角为,求证:解:(Ⅰ)由 ①0,0,即并代入①,得即为所求.(Ⅱ)过点的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A,B两点设l的方程为且由消去y,得设则 .函数与导数13. 已知函数和的图象关于y轴对称,且(I)求函数的解析式;(II)解不等式;解:(I)设点为函数的图象上任意一点,则点P关于y轴对称点为,因为函数和的图象关于y轴对称,所以点一定在函数图象上,代入得,所以.(II)或或 所以不等式的解集为14..如图,等腰梯形的三边分别与函数,的图象切于点.求梯形面积的最小值.解: 设梯形的面积为,点P的坐标为.由题意得,点的坐标为,直线的方程为. 直线的方程为即:令 得,令 得, 当且仅当,即时,取“=”且,时,有最小值为.梯形的面积的最小值为.八、应用题15.某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(I)写出y与x之间的函数关系式;(II)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值)(III)使用若干年后,对机床的处理方案有两种:(1)当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;(2)当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.问用哪种方案处理较为合理?请说明理由.解:(I)依题得:(II)解不等式(III)(1)当且仅当时,即x=7时等号成立.到2015年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利12×7+30=114万元.(2)故到2018年,盈利额达到最大值,工厂获利102+12=114万元因为盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理.16*.甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在、两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为1千克的药瓶,他们从、两个喷雾器中分别取1千克的药水,将中取得的倒入中,中取得的倒入中,这样操作进行了次后,喷雾器中药水的浓度为%,喷雾器中药水的浓度为%.(Ⅰ)证明是一个常数;(Ⅱ)求与的关系式;(Ⅲ)求的表达式.解:(Ⅰ)开始时,中含有1012%=1.2千克的农药,中含有106%=0.6千克的农药,次操作后,中含有10%=0.1千克的农药,中含有10%=0.1千克的农药,它们的和应与开始时农药的重量和相等,从而有,所以=18(常数). (Ⅱ)第次操作后,中10千克药水中农药的重量具有关系式:, 即,再由(1)知,代入化简得 ①(Ⅲ)令,利用待定系数法可求出=-9, 所以,由①,,,可知数列是以为首项,为公比的等比数列, 由等比数列的通项公式知:,所以. 展开更多...... 收起↑ 资源预览