2008年海淀区高考数学查漏补缺题

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2008年海淀区高考数学查漏补缺题

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海淀区数学查漏补缺题 2008.05.19
三角部分
1. 已知且
(I)求(或);(II) 求
解(I),
.
()
(II),.
,..
解法2:,,. .
2.右图为函数的一段图象.
(I)请写出这个函数的一个解析式;
(II)求与(I)中函数图象关于直线对称的函数图象的解析式,并作出它一个周期内的简图.
解:(I)又
由的图象过
(为其中一个值).
∴为所求.
(II)设为所求函数图象上任意一点,该点关于直线对称点为,则点必在函数的图象上.
∴,即
的图象关于直线对称的函数图象的解析式是.
列表: 作图:

0
0
-3
0
3
0
概率
3.(文科)一辆车要直行通过某十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶). 已知每辆车直行的概率是,左转行驶的概率是,该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟. 假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟,一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟,求:
(I)前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率;
(II)该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)
解:(Ⅰ)前4辆恰有2辆左转行驶的概率
(Ⅱ)该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率 .
4.(理科) 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.
(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
解:(Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下:
ξ
0
1
2
3
P
甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.
(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则
P(A)===,P(B)===.
因为事件A、B相互独立,
方法一:∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P()=P()P()=(1-)(1-)=.
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P()=1-=.
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
方法二:∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=.
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
立体几何
5. 已知矩形ABCD中,AB=,AD=1. 将△ABD沿BD折起,使点A在平面BCD内的射影落在DC上.
(Ⅰ)求证:平面ADC⊥平面BCD;
(Ⅱ)求点C到平面ABD的距离;
(Ⅲ)若E为BD中点,求二面角B-AC-E的大小.
方法1:
(Ⅰ)证明:∵点A在平面BCD上的射影落在DC上,即平面ACD经过平面BCD的垂线,
∴平面ADC⊥平面BCD.
(Ⅱ)解:依条件可知BC⊥DC,又平面平面,且平面平面=
∴BC⊥平面ACD. ∵DA平面ACD,∴BC⊥DA. ① 依条件可知DA⊥AB. ②
∵AB∩BC=B,∴由①、②得DA⊥平面ABC.
设点C到平面ABD的距离为d,
∵DA⊥平面ABC,∴DA是三棱锥D-ABC的高.
∴由VC-ABD=VD-ABC,得dS△ABD=DAS△ABC. 解得d=.
即点C到平面ABD的距离为.
(Ⅲ)解:取中点,连为中点
由(Ⅱ)中结论可知DA⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.
过F作FG⊥AC,垂足为G,连结EG,
则GF为EG在平面ABC的射影,
∴∠EGF是所求二面角的平面角.
在△ABC中
FG=BC=, 又EFAD,∴EF=
在△EFG中容易求出∠EGF=45°.
即二面角B-AC-E的大小是45°.
方法2:(Ⅰ)证明:如图,以CB所在直线为x轴,DC
所在直线为y轴,过点C,平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.
所以C(0,0,0), B(1,0,0),D(0,-,0),设
∵点A在平面BCD上的射影落在DC上,
由且,得.
∴点A的坐标为A(0,,).
∵n1=(0,0,1)是平面BCD的一个法向量.
而=(1,0,0)是平面ADC的一个法向量.
∵n1·= (0,0,1)·(1,0,0)=0,∴平面ACD⊥平面BCD.
(Ⅱ)解:设点C到平面ABD的距离为d,
∵=(0,,-),=(1,,),=(0,,),
容易求出平面ABD的一个法向量为n2=(-,1,-1) .
∴d=|||cos<,n2>|=|1×|=.
即点C到平面ABD的距离为.
(Ⅲ)解:∵= (-1,-,), =(1,0,0),
∴容易求出平面ABC的一个法向量为n3= (0,1,1) .
又A(0,-,),E(,-,0),∴= (,0,-).
∴容易求出平面AEC的一个法向量为n4= (2,,) .
∵n3·n4=0++=2,| n3|=,| n4|=2,
∴cos< n3,n4>==.
∴二面角B-AC-E的大小是45°.
6*. 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=NC1.
(Ⅰ)求证:AM面BC;(或若为的中点,求证:.)
(Ⅱ)若二面角B1-AM-N的平面角的余弦值为,求的值;
(Ⅲ)在第(Ⅱ)的前提下,求点B1到平面AMN的距离.
解法1:(Ⅰ)因为M是底面BC边上的中点,且AB=AC,所以AMBC,
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面, AM 又.所以AM平面.
(或:连结, 又,.)
(II)因为AM平面
且M平面,NM平面
∴AMM, AMNM,
∴MN为二面角—AM—N的平面角.
∴,设C1N=,则CN=1-
又M=,MN=,
连N,得N=,
在MN中,由余弦定理得, 得=.故=2.
(III)过在面内作直线,为垂足.又平面,所以AMH.于是H平面AMN,故H的长即为到平面AMN的距离.在中,
H=M.故点到平面AMN的距离为1.
解法2:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,1),M(0,,0),
C(0,1,0), A (),设N (0,1,a) ,所以,
,,
因为所以,同法可得.
又故AM面BC.
(II)由(Ⅰ)知﹤﹥为二面角—AM—N的平面角,以下同法一.
(Ⅲ)设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量,则由得,由(II)知
. 故可取
到平面AMN的距离为
解不等式
7. 已知集合A=,B=.
(I)当a=2时,求AB; (II)求使BA的实数a的取值范围.
解:(I)当a=2时,A=(2,7),B=(4,5)∴ A B=(4,5)
(II)解集合B=,
当,则 B=;当,则 B=(2a,a2+1),
解集合A=
当a<时,A=(3a+1,2);当a=时,A=;当a>时,A=(2,3a+1);
要使BA,
当,则 B=, B A成立;
当,则 B=(2a,a2+1),
当a<时,A=(3a+1,2)要使B A,必须, 此时a=-1;
当a=时,A=,而B,故使BA的a不存在;
当a>且时,A=(2,3a+1),要使BA,必须, 此时1综上可知,使BA的实数a的取值范围为
8.*(理)已知不等式:----------①
--------------------------------------------②
------------------------------------------③
(I)分别求不等式①②的解集.
(II)若同时满足①②的x的值也满足不等式③,求实数m的取值范围.
(III)若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.
(文)已知不等式:----------------------------------------------------①
--------------------------------------------②
------------------------------------------③
(I)分别求不等式①②的解集.
(II)若同时满足①②的x的值也满足不等式③,求实数m的取值范围.
(III)若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.
解:(I) ①的解集为A={x|-1I ②的解集为B={}
(II)由(1):或知
要满足题意的要求,则方程2x2+mx-1=0的一根小于等于0(文:小于0),另一根大于等于3.
设f(x)= 2x2+mx-1,则(文)
(III)要满足题意的要求,则方程2x2+mx-1=0的两根应在区间(-1,4]上.
设f(x)= 2x2+mx-1,抛物线开口向上且f(0)=-1<0, 故
则.
数列
9.已知各项均为正数的数列,, 其中,
(I)证明 ;
(II)设,试证明 ;
(III)若数列满足,求数列的前项和.
(I)运用数学归纳法证明如下:
①当时,由条件知,故命题成立;
②假设当时,有 成立
那么当时, 故命题成立
综上所述,命题对于任意的正整数都成立.
(II)
(III) 且
数列是以为首项,以2为公比的等比数列.
.
10. 已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().
(I)若,求;
(II)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
解:(I).
(II),

当时,.
解析几何
11. 已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0).
(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点P、、关于直线y=x的对称点分别为、、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.
解:(I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为+,其半焦距.
, ∴,
,故所求椭圆的标准方程为+;
(II)点P(5,2)、(-6,0)、(6,0)关于直线y=x的对称点分别为:
、(0,-6)、(0,6)
设所求双曲线的标准方程为,由题意知半焦距,
, ∴,
,故所求双曲线的标准方程为.
12.已知定点点P在轴上运动,M在x轴上,N为动点,且
;
(Ⅰ)求点N的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A,B两点,设点, 的夹角为,求证:
解:(Ⅰ)
由 ①
0,0,即并代入①,
得即为所求.
(Ⅱ)过点的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A,B两点
设l的方程为且
由消去y,得
设则
.
函数与导数
13. 已知函数和的图象关于y轴对称,且
(I)求函数的解析式;
(II)解不等式;
解:(I)设点为函数的图象上任意一点,则点P关于y轴对称点为,因为函数和的图象关于y轴对称,所以点一定在函数图象上,代入得,所以.
(II)
或或
所以不等式的解集为
14..如图,等腰梯形的三边分别与函数,的图象切于点.求梯形面积的最小值.
解: 设梯形的面积为,点P的坐标为.
由题意得,点的坐标为,直线的方程为.

直线的方程为
即:
令 得,
令 得,
当且仅当,即时,取“=”且,
时,有最小值为.
梯形的面积的最小值为.
八、应用题
15.某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
(I)写出y与x之间的函数关系式;
(II)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值)
(III)使用若干年后,对机床的处理方案有两种:
(1)当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;
(2)当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.
问用哪种方案处理较为合理?请说明理由.
解:(I)依题得:
(II)解不等式
(III)(1)
当且仅当时,即x=7时等号成立.
到2015年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利12×7+30=114万元.
(2)
故到2018年,盈利额达到最大值,工厂获利102+12=114万元
因为盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理.
16*.甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在、两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为1千克的药瓶,他们从、两个喷雾器中分别取1千克的药水,将中取得的倒入中,中取得的倒入中,这样操作进行了次后,喷雾器中药水的浓度为%,喷雾器中药水的浓度为%.
(Ⅰ)证明是一个常数;
(Ⅱ)求与的关系式;
(Ⅲ)求的表达式.
解:(Ⅰ)开始时,中含有1012%=1.2千克的农药,中含有106%=0.6千克的农药,次操作后,中含有10%=0.1千克的农药,中含有10%=0.1千克的农药,它们的和应与开始时农药的重量和相等,从而有,所以=18(常数).
(Ⅱ)第次操作后,中10千克药水中农药的重量具有关系式:,
即,再由(1)知,代入化简得 ①
(Ⅲ)令,利用待定系数法可求出=-9,
所以,由①,,,
可知数列是以为首项,为公比的等比数列,
由等比数列的通项公式知:,
所以. 

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