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必修2《立体几何初步》教材分析与建议
路桥中学　　陈伟丽
一．《课程标准》关于《立体几何初步》的表述及教学要求
1、表述：
《普通高中数学课程标准》（以下简称《课程标准》）指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
2、教学要求：
空间几何体
（1）利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图。
（3）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
（4）完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。
（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
点、线、面之间的位置关系
（1）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可作为推理依据的公理和定理：
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
（２）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂直线，则两个平面垂直。
通过直观感知，操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
（3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
《标准》与原《大纲》比较，在要求上的主要变化有
⑴对于“空间几何体”：
《教学大纲》要求：了解概念，掌握性质；
《课程标准》则要求：认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征。
《课程标准》把重点放在了空间想像能力上，对概念、性质则降低了要求。
⑵对于“点、线、面之间的位置关系”：
《课程标准》把重点放在了定性研究（平行和垂直）上，定量研究(角和距离)在必修中不作要求（移到选修中），对线、面垂直的判定定理不证明，移到空间向量中再证。分段设计，分层递进。
⑶对知识发生的过程提出了较高的要求：
多处使用了“观察”、“认识”、“画出”、“直观感知、操作确认，归纳”等情感、态度与价值要求的行为动词。对空间几何体的要求是直观感知；对线、面关系则要求操作确认、思辨论证；对判定定理的要求是操作确认、合情推理；对性质定理则要求思辨论证、逻辑推理。(4)不要求用反证法证明简单的问题。
二．新老教材在教学内容、教学时间方面的对比
新课标
过渡教材A
过渡教材B
老教材
空间几何体
空间几何体的结构
2
棱柱
4
空间向量运算
6
多面体
29
空间几何体的三视图和直观图
2
棱锥
4
空间向量坐标运算
3
旋转体
空间几何体的表面积与体积
2
阅读及研究性
3
棱柱棱锥
5
多面体和旋转体的体积
实习作业和小结
2
球
4
阅读及研究性
3
球
3
点、
直线
平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
3
平面
3
平面性质
3
平面
28
空间直线
5
空间平行直线与异面直线
2
空间两条直线
平面平行的判定及其性质
3
线面平行的判定和性质
3
线面平行
面面平行
2
空间直线和平面
直线、平面垂直的判定及其性质
3
线面垂直的判定和性质
4
线面垂直
4
空间两个平面
实习作业和小结
1
面面平行的判定和性质
3
线面的角
二面角
3
面面垂直的判定和性质
3
距离
2
小结与复习
3
小结与复习
3
合计
18
39
39
57
选修
文科：推理与证明 10
理科：空间向量与立体几何 12 推理与证明 8
系列3 : 数学史选讲 （3）球面上的几何（5）欧拉公式与闭曲面分类（6）三等分角与数域扩充
系列4 （1）几何证明选讲
三、新课程教材和大纲教材处理的变化
（1）从整体到局部、具体到抽象大纲教材 点、线、面 → 柱、锥、台、球；
课标教材 柱、锥、台、球 → 点、线、面。
（2）强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。
（3）螺旋上升，分层递进，逐步到位。
呈现上的变化。在内容呈现上，通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明。不是不要证明，而是完善过程,既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。
（5）教学内容增减：
删除（或在选修课内体现的）：
1、异面直线所成的角的计算。
2、直线与平面所成角的计算。
3、三垂线定理及其逆定理。
4、二面角及其平面角的计算。
5、多面体及欧拉公式。
6、原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）。新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）。
增加:
简单空间图形的三视图；
专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力。
2、台体的表面积和体积等内容。

四、浙江省数学学科关于《立体几何初步》的教学指导建议
第一章 空间几何体(8课时)
1.1空间几何体的结构（２课时）基本要求
发展要求
说明
1、理解柱、锥、台、球的结构特征。2、了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义。3、了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义。4、了解简单组合体的结构特征。
1、了解和正方体、球有关的简单组合体。2、能根据条件判断几何体的类型。
1、柱、锥、台、球的结构特征只须通过实例概括，不必证明。
2、空间几何体的性质不必深入挖掘。
重点:让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点:如何让学生概括柱、锥、台、球的结构特征。教学建议:
新课标在几何数学中强调几何学习的直观性，强调实物、模型对几何学习的作用。因此对柱、锥、台、球的学习需要从实物图形的感知出发，抽象出其本质特征，来建立多面体、旋转体的概念，进一步研究它们的结构和分类。课外可让学生动手做一做，更直接的感受空间几何图形的特征。如建议学生用纸板或游戏棒或细铁丝（作骨架）做出下列几何体的模型：
⑴正方体；⑵长方体；⑶三棱锥；⑷四棱锥；⑸三棱台。学生通过动手做，亲身体验柱、锥、台的结构特征，必会帮助学生逐步形成空间想像能力。
1.2空间几何体的三视图和直观图（２课时）基本要求
发展要求
说明
1、了解中心投影和平行投影的意义。
2、理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图。
3、掌握斜二测画法，能作简单几何体的直观图。4、能识别三视图所表示的空间几何体。
理解三视图和直观图的联系，并能进行转化。
1、对于画三视图和直观图的几何体，只要求前一节介绍的柱、锥、台、球及它们的一些简单组合，不必研究较复杂的几何体。
重点:让学生画出组合体的三视图，用斜二测画法画空间几何体的直观图。
难点：识别三视图所表示的空间几何体。
教学建议：
1、先让学生明确画好空间图形的必要性。
2、向学生介绍空间图形在平行投影和中心投影下的表现形式，（三视图是正投影的主要应用，斜二侧画法是斜投影的应用）；进而理解画三视图和直观图的基本要求，掌握画三视图和直观图的基本技能，丰富学生的空间想象能力。
在三视图的教学中要通过学生的亲身体验来完成，教师应该充分利用“探究”栏目中提出的问题，让学生在探究中学会三视图的画法，体会三视图的作用，同时要让学生感到三视图缺乏空间图形的立体感，为我们进一步学习直观图的画法埋下伏笔。
为突破本节的难点“识别三视图所表示的空间几何体”，先举例分析根据三视图找对应物体，再由简单图形入手分析识别方法，所选的例题不必太难，注意例题的梯度性。
用斜二测画法画直观图，关键是掌握画水平放置的平面图形，它是画空间几何体直观图的基础。而水平放置的平面图形的画法可以归结为确定点的位置的画法。在平面上确定点的位置我们可以借助直角坐标系来完成，因此画水平放置的直角坐标系是学生首先要掌握的方法。通过例题的教学使学生明确画直观图的基本要求。
教学中可设计用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图及几何体的三视图的问题，让学生动手去画。
让学生用所学的投影知识，解答下面的问题：
⑴画水平放置的正六边形的直观图；
⑵画一个五棱柱，其中底面五边形为正五边形，俯视图也 是正五边形；
⑶已知某个简单几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图。
1.3空间几何体的表面积与体积（２课时）
基本要求
发展要求
说明
1、了解表面与展开图的关系；
2、了解柱、锥、台、球表面积的计算公式，并能计算一些简单组合体的表面积；
3、了解柱、锥、台、球的体积公式，并能计算一些简单组合体的体积。
1、了解柱体、锥体、台体的关系；2、了解三棱柱和三棱锥图形的变化关系
球的体积公式的推导不要求学生掌握。
重点：让学生了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积计算公式。
难点：球的表面积与体积公式的推导。
教学建议：1、应从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系。
2、对于课本通过“思考”提出的“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它的表面积”的问题，可以进行探究教学，充分发挥学生的主观能动性，并进一步把它推广到圆台，并最终把他们都统一到圆台的表面积公式下。
3、通过对球的表面积、体积公式的运用，加深学生对公式的认识，突出公式在实际问题解决中的作
第二章：点、直线、平面之间的位置关系（10课时）
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时）
基本要求
发展要求
说明
1、了解平面的概念，掌握平面的画法、及表示方法。
2、了解平面的基本性质，即公理1、2、3。
3、会进行“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”之间的转化。
4、掌握空间点与直线、点与平面位置关系的分类。
5、理解异面直线的定义，并能正确画出两条异面直线。
6、掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的分类。
7、理解公理4和等角定理。
1、会说明两条直线是异面直线。
2、初步体验将空间问题转化为平面问题的思想方法。
确定平面的3个推论、两条异面直线的公垂线、距离及有关概念不作必修要求
重点：平面的基本性质（公理1、2、3）；直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系难点：文字语言、符号语言与图形语言的转化；对异面直线的认识。
教学建议：
可以先给出一些实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体——长方体模型，有关点、线、面用彩色来突出，让学生仔细的观察；设计一些实例，再给出实物图片，，让学生觉得四个公理确实是显而易见的；设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信。

2.2直线、平面平行的判定及其性质（３课时）
基本要求
发展要求
说明
1、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面平行的判定定理。2、掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理。
3、能运用上述定理证明一些空间位置关系的简单命题。
注意发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力
平行关系的判定定理的证明不作要求。
重点： 通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理。
难点：性质定理的证明，线线平行、线面平行、面面平行这三种平行关系的联系与应用。
教学建议可以先给出一些实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得直线和平面平行，平面和平面平行在生活中处处可见；
长方体模型中有关点、线、面最好用彩色来突出，这样显得更直观，让学生仔细的观察“教室”这一长方体模型和其他长方体模型的线面的位置关系，容易得出直线和直面平行的判定定理，平面和平面平行的判定定理以及直线和平面平行的性质定理，平面和平面平行的性质定理；
例题和习题的设计要有意识的考虑长方体、正方体模型以及一些不太规则的图形。
2.3直线、平面垂直的判定及其性质（３课时）基本要求
发展要求
说明
1、通过直观感知、操作确认，归纳理解直线和平面垂直的定义。2、理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理。 3、掌握直线和平面、平面和平面垂直的性质定理。4、理解直线和平面所成角的概念。5、了解二面角及其平面角的概念。6、能运用判定定理、性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
注意发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力。
1、垂直关系的判定定理的证明不作要求；2、线面距离、面面距离的概念以及三垂线定理及其逆定理不必补充；
3、二面角的平面角的作法仅限于用定义求作。
重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理。
难点：性质定理的证明，线线垂直、线面垂直、面面垂直三种关系的联系与应用。
教学建议：1、先做一个小实验，再结合长方体
模型和教室里的有关实物，正确理解
直线和平面垂直的定义。
小实验：如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，
使三角板的直角顶点C与墙角重合，直角边AC所在直线与
墙角所在直线重合，将三角板绕AC转动，在转动过程中，
直角边CB与地面紧贴，这就表示，AC与地直垂直。
2、在讲授直线和平面垂直的判定定理时，同《2。2直线、平面平行的判定及其性质》一样，先引导学生观察一个长方体模型（或图形），注重引导学生经历直观感知、操作确认的过程，由此“抽象概括”出直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理，在此基础上，再回到长方体模型教室里的有关实物来理解直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理，将更直观、更深刻。
直线和平面垂直的判定定理和平面垂直的判定定理，只要求学生理解和应用，不要求进行证明。
3、讲清与二面角有关的概念即可，教师不能讲得太多。
4、在讲授直线和平面垂直的性质定理、平面和平面垂直的性质定理时，先引导学生观察长方体模型，注重引导学生经历直观感知、操作确认、思辩论证的过程，从而提高学生的几何的直观能力和几何的论证能力。在此基础上，再回到长方体模型和教室里的有关实物来理解直线和平面垂直的性质定理、平面和平面垂直的性质定理，将更直观、更深刻。
5、本章教学中应重视文字语言、符号语言和图形语言的相互“翻译”转换。
6、在讲完这一节后，应该引导学生把直线和直线垂直、直线和平面垂直、平面和平面垂直这三种垂直关系进行比较。
五、本章教学中应注意的几个问题
1、明确空间几何体的结构的教学目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，发展几何直观能力。从空间几何体的结构特征、画三视图和直观图、度量计算三个角度展开，引导学生认识空间几何体。
2、加强几何直观、合情推理教学，适当进行思辨论证，从几何直观、合情推理、逻辑推理等多角度培养学生空间想象能力。
3、注意从不同角度认识几何体
几何体的分类 ——比较法的应用；
描述几何体结构特征的方法——组成几何体的元素及其位置关系，运用已经认识的结构特征描述简单几何体的结构；
4、充分使用长方体模型，
5、注意概念定理的发生发展过程；
6、重视问题表达数学化的教学与练习：借用数学记号，不用或少用汉字；
7、注意内容与呈现的变化。（加强过程，合情推理；从整体到局部，采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算研究几何；内容删多增少，不要过度加深、扩全。）

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